Domande orale/scritto

Omogeneità: se l’ingresso x(t) viene moltiplicato per un fattore costante, l’uscita y(t) risulta

moltiplicato per lo stesso fattore.

Additività: la risposta alla somma di più ingressi è pari alla somma delle risposte degli ingressi

applicati separatamente.

- Matematicamente un sistema lineare è descritto da un sistema di equazioni lineari. Un circuito

costituito da elementi lineari (es resistori, condensatori, induttori, generatori) è lineare perché le

loro relazioni costitutive sono regolate da operatori lineari (es. derivate e integrali) e i sistemi

risolutivi sono o algebrici o sistemi di equazioni differenziali.

- Come conseguenze della linearità: l’analisi di un circuito resistivo ha un sistema risolutivo

algebrico. L’analisi di un circuito con memoria un sistema risolutivo integro differenziale con

solo termini lineari.

15. Cosa si intende per Principio di sovrapposizione degli effetti:

- Il PSE afferma che l’effetto dovuto all’azione di più cause che agiscono insieme è pari alla

somma degli effetti che si ottengono quando le cause agiscono separatamente. Coincide con la

proprietà di additività perciò è valido per i sistemi lineari.

- Per circuiti lineari vale la seguente: una tensione(o corrente) è pari alla somma delle

tensioni(correnti) che si ottengono quando ciascuno dei generatori agisce da solo.

- Non vale per il calcolo della potenza su un elemento perché la potenza dipende dal quadrato

della tensione/corrente e non è una relazione lineare.

- Può essere usato insieme agli altri metodi di analisi.

16. Descrivi cosa si intende per teorema di sostituzione e come si lega al concetto di equazione di porta:

- Una parte di circuito accessibile da una porta composta dai terminali A B può essere sostituita da

un generatore di tensione che assicura la tensione di porta o da un generatore di corrente che

imprime la corrente di porta senza alterare le grandezze elettriche nella parte del circuito esterna

alla porta.

- Le grandezze di porta vAB(t) e iAB(t) sono vincolate dalle equazioni di porta. Se fisso il valore

di una delle due grandezze alla porta, automaticamente l’altra è vincolata.

17. Cosa è l’equazione di porta e come si può ricavare:

- Si consideri una parte di circuito accessibile da una porta composta dai terminali A-B. La

tensione vAB(t) e la corrente iAB(t) sono vincolati a soddisfare una relazione del tipo:

f( vAB(t), iAB(t) ) = effetto dei generatori.

- Per i circuiti resistivi si hanno due casi:

assenza di generatori: αvAB(t) + β iAB(t)=0 da cui si ricavano: vAB(t)=R*iAB(t) o

iAB(t)=G*vAB(t);

presenza di generatori: αvAB(t) + β iAB(t)=cost

- L’equazione di porta individua una curva nel piano i-v dove giacciono i valori delle grandezze di

porta che non possono assumere tutti i punti dello spazio bidimensionale.

- E’ ricavabile tramite uno dei metodi di analisi (anelli/nodi) dai quali otteniamo un’equazione con

iAB / vAB e una costante dalla quale ricaviamo α e β

18. Enunciato e dimostrazione del teorema di Thevenin e sua relazione con il partitore di tensione:

- Il teorema di Thevenin afferma che un circuito lineare con due terminali può essere sostituito

con un circuito equivalente formato da un generatore di tensione Vth in serie ad una resistenza

Rth. Vth è la tensione a vuoto calcolata ai terminali e Rth è la resistenza di ingresso o

equivalente vista ai terminali quando i generatori indipendenti sono spenti.

- Dimostrazione:

- Relazione con il partitore di tensione:

il circuito equivalente di Thevenin risulta un partitore di tensione. Per calcolare vAB possiamo

G(*)) ∗ ℎ

usare le sue formule : vAB= G *) NG/O

19. Enunciato e dimostrazione del teorema di Norton e sua relazione con il partitore di corrente:

- Il teorema di Norton afferma che un circuito lineare con due terminali può essere sostituito da un

circuito equivalente formato da un generatore di corrente In in parallelo ad un resistore Rn. La

corrente In è la corrente di corto circuito ai terminali e Rn è la resistenza equivalente ai terminali

quando i generatori indipendenti sono spenti.

- Dimostrazione:

- Relazione con il partitore di corrente:

il circuito equivalente di Norton risulta un partitore di corrente. Per calcolare I(AB) possiamo

Q(*)) ∗

usare la seguente: I(AB)= Q *) NQ/O

20. Equivalenza tra circuito di Thevenin e circuito di Norton, ovvero equivalenza tra generatore reale di

tensione e generatore reale di corrente:

- Una trasformazione di generatori è l’operazione di sostituzione di un generatore di tensione Vs

in serie a un resistore R con un generatore di corrente Is in parallelo a un resistore R, o

viceversa. < =0

− +

1 G U

− =

1

=

= −

= 1 =

− deve essere:

- − =

Perché le due relazioni di tensione siano uguali : 0

1 <

e e quindi

= = =

:

0

1 < <

- equivalenza tra circuito di Thevenin e circuito di Norton:

- che si ottengono tramite le equivalenze tra i generatori.

21. Teorema del massimo trasferimento di potenza per reti resistive:

- Si ha la massima potenza trasferita al carico quando la resistenza di carico è uguale alla

resistenza di Thevenin vista dal carico (RL=Rth)

22. Enunciato e dimostrazione del teorema di Millman :

- Il teorema di Millman afferma che la tensione di un parallelo di:

generatori di tensione V(Ai) con in serie resistenze R(Ai),

generatori di corrente I(Bj) con eventualmente in serie resistenze R(Bj),

resistenze R(Ck),

è data dal prodotto di una corrente Io per una resistenza Ro, dove Io è la somma delle correnti

V(Ai)/R(Ai) e I(Bj) e Ro è il parallelo delle resistenze R(Ai) e R(Ck).

- Dimostazione:

23. Caratteristiche dei circuiti RC e RL del primo ordine e differenza tra risposta naturale e forzata :

- Un circuito del primo ordine è un circuito caratterizzato da un’equazione differenziale del primo

ordine. Esistono due tipi di circuito del primo ordine RC (resistore-condensatore) e RL

(resistore-induttore) e due modi di eccitazione:

autonoma: si ha una condizione sull’elemento dinamico. L’energia iniziale è immagazzinata

nell’elemento capacitivo o induttivo provocando il passaggio di corrente nel circuito. L’energia

viene gradualmente dissipata nei resistori. Questi circuiti non comprendono generatori

indipendenti;

forzata: eccitazione per mezzo di generatori indipendenti, questi determinano il comportamento

del circuito nel tempo.

- Risposta naturale: rappresenta il comportamento intrinseco di un circuito senza l’intervento di

sorgenti esterne di eccitazione.

- La risposta forzata è così definita perché è prodotta dal circuito quando ad esso è applicata una

forza esterna ( es un generatore di tensione/corrente).

Risposta forzata del circuito RC:

Per KCL: Ic(t)- iR=0; per KVL: − + = 0

a ] G

\ e / I< /

< d V

c

iR =

− + = =

à

a ] G G G

+< / < / I\] / e(/)

V V

Riprendendo la KCL + =0

+/ G

+< / < /

V V

=− <0

+/ G@

. +< / < / I\] /

V V

=− , >0

+/ G@

Considero per t > 0:

+< / ?

V = −

< / I\] / K

V

/ /

?

i

[ln − ) = − ′

a ]

/k1 /k1

K I/

ln − − ln 0 − =

a ] a ] K

< / I< I/

V d

ln =

< 1 I< K

V d –m

< / I<

V d = n

< 1 I<

V d –m

= + 0 − n

a ] a ]

–m

= + − n

a ] 1 ]

=risposta al transitorio + risposta a regime

a

Dove :

- La risposta transitoria è la risposta temporanea del circuito che tende ad annullarsi con il passare

del tempo

- La risposta a regime è il comportamento del circuito molto tempo dopo aver applicato

l’eccitazione esterna

–m –m

= + [1 − ]

n n

a 1 ]

= risposta naturale + risposta forzata.

a

La risposta naturale è dovuta all’energia iniziale presente sul condensatore e alle sue

caratteristiche fisiche e per questo è definita naturale.

= rappresenta la rapidità con la quale la tensione decresce. È una costante di tempo e da

informazione sul tempo impiegato dalla risposta per decrescere di un fattore 1/e, cioè

raggiungere il 36,8% del suo valore iniziale.

Calcolo della potenza dissipata dal resistore:

m

t

m \ s n

I r

= =

à

cq

1 G G

Hm

H

\ I

r

= = n

G G

Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:

Risposta naturale del circuito RL:

Si vuole determinare la risposta al circuito i(t) nell’induttore.

All’istante t=0 si suppone che l’induttore abbia una corrente iniziale pari a

1

i(0) =

1 + = 0

Applichiamo la KVL alla maglia: E G

+=

= .

Sfruttando le leggi costitutive: = e Allora sarà:

E G

+/

+= += G

+ = 0 + =0

à

+/ +/ E

Riordinando i termini e integrando:

= / /

+= G

−

=

u 1

= E

r G/ G/ =(/) G/

=(/) /

ln | − | = − + 0 ln = −

à à

= ln i(t) – ln 1

1

u E E u E

r r

Eliminando il logaritmo:

cm

I

i(t)= w

1 E

con = G

Calcolo della potenza dissipata nel resistore:

Energia assorbita dal resistore fino all’istante t :

24. Analisi di circuiti RC e RL del primo ordine tramite circuito equivalente di Thevenin :

- Un circuito RC o RL può essere studiato considerando C (L) come carico e ricavando il circuito

equivalente di Thevenin.

- Si applicano poi le relazioni tensione/corrente

25. Analisi di circuiti a regime permanente sinusoidale: concetti di fasore, impedenza e ammettenza

- Una sinusoide è un segnale che ha la forma di un seno o coseno

- Una corrente/ tensione sinusoidale è detta anche alternata

= cos +

x

con : = ampiezza