Domande orale Scienza delle costruzioni

Problema di De Saint Venant

Determinare: sposamento tensione deformazione ∃ punto di un solido elastico di forma cilindrica privo di carichi sulla sup. laterale e sollecitato sulle basi da condizioni di carico globali.

HP: forma solido + annullare delle componenti sulla sup. laterale = assi = tra fibre longitudinali sul lungo Γ; geometria; la deformazione dipende prevalentemente da forze e momenti risultanti sulle basi.

Scomposizione dell’ampollò dello stato elastico del solido.

4 semplici casi: trazione _semplice flessione pura _semplice torsione flessione e taglio.

Soluzione generale: combinazione dei 4 casi semplici.

HP: trave rettilinea a sez. costante sufficientemente snella non vincolata esternamente materiale: elastico lineare, omogeneo e isotropo no forze di pressione sulla sup. laterale uniche forze agenti: sistemi sulle aree di base trave in equilibrio.

Scopo: ricavare lo stato tensionale forte le sollecitazioni esterne.

Principio: lo stato tensionale all’interno del solido dipende solo da {_P} e {_M}, non da come le {_P} sono geometricamente distribuite (sulle aree di base).

{_P}: risultanti di pressione {_M}: momento risult. forze di pressione sf orzo normale N flessione semplice Mx flessione composta Mx+My sforzo normale eccentrico N+Mx+My torsione pura taglio e tensione Vy+Mz.

Problema di De Saint Venant

Determinare: spostamento tensione deformazione.

HP: forma solido + annullare delle componenti sulla sup. laterale = attacchi tra fibre longitudinali sono lunghi ξ; geometria: la deformazione dipende principalmente da forze e momenti risultanti sulle basi.

Composizione dell'ammontare dello stato elastico del solido.

4 semplici casi: trazione _semplice flessione pura _semplice torsione flessione e taglio.

Soluzione generale: combinazione dei 4 casi semplici.

HP: trave rettilinea a sez. costante --- sufficientemente snella --- non vincolata esternamente materiale: elastico lineare, omogeneo e isotropo no forze di pressione sulla sup. laterale uniche forze agenti: sistemi sulle aree di base trave in equilibrio.

Casi di sollecitaz.: sforzo normale N flessione semplice Mx flessione composta Mx+My sforzo normale eccentrico N+Mx+My torsione pura taglio e flessione Vx+My.

Scopo: ricavare lo stato tensionale sotto le sollecitazioni esterne.

Principio: lo stato tensionale all'interno del solido dipende da {R} e {M}, non da come le {P} sono geometricamente distribuite (sulle aree di base).

{R}: risultanti F di pressione {M}: momento risult. forze di pressione.

Flessione retta + Navier

(Da De Saint Venant)

Consideriamo una trave soggetta a due coppie di forze alle estremità.

Vettore momento ⊥ asse di simmetria geometrica.

Momento // asse centrale d'inerzia della sezione → flessione retta.

Supponiamo che la trave si deformi in un arco di cerchio.

Esiste un insieme di fibre  piano 1/2, che non subiscono da loro qualunque durante la deformazione.

Facendo una vista nel piano (x,y), questo insieme di fibra è visto come un’unica fibra: fibra neutra.

¹/_S = ^Mb_z/_{E • Izz} ɛ_x = - ^y/_δ iσ_x = - ^{Mb_z • y}/_Izz → formula di Navier.

Espressione generale formula di Navier: σ_x = - ^{(y I_yy - z I_yz) Mb_z + (y I_yz - z I_zz) Mb_y}/_{Iyy Izz - Iyz²} + ^N/_A.

Dimensioni e legame costitutivo

Dimensioni tensione (Pa) T deformazione adim. ε modulo di Young E (N/m²) coeff. di Poisson adim. ν modulo elastico tangenziale G (N/m²).

Legame costitutivo tensori e deformazioni.

Materiali elastici isotropi.

Corpo isotropo: corpo il cui comportamento meccanico è uguale per qualsiasi direzione a cui viene applicata ad esso una sollecitazione.

Parallelepipedo soggetto solo a σ_x: dilatazione lungo x contrazione lungo y e z.

ε_x = σ_x / E, ε_y = ε_z = -ϕ ε_x.

Considerando gli effetti di τ_xy: varia l'angolo fra le fibre parallele ad x e y: ε_xy = π/2 - ϕ_xy scorrimento angolare = τ_xy / G.

Sovrapponendo gli effetti:

ε_x = σ_x / E - ϕ / E (σ_y + σ_z)

ε_y = σ_y / E - ϕ / E (σ_x + σ_z)

ε_z = σ_z / E - ϕ / E (σ_x + σ_y)

γ_xy = τ_xy / G, γ_xz = τ_xz / G, γ_yz = τ_yz / G.

Relazioni costitutive

Formula di Bredt

Torsione ai sezioni cave in parte sottile.

(S^*): spessore in corrispondenza dell'ascissa S^*.

Equilibrio lungo z: τ_zx (S^*) t (S^*) Δz - τ_zx(S^*2) t (S^*2) Δz = Φ τ_s (S^*) t(S^*) = τ_z (S^*2) t(S^*2).

τ_zs (S^*) t (S^*) = Q (S^*) ed è costante nella sezione.

Momento prodotto dalle tensioni tangenziali rispetto al polo "O":

dF = τ_s t ΔA = τ_s (S^*) t (S^*) ds^*.

dM = dF R(S^*) = τ_s t dA = = τ_zs (S^*) t (S^*) h(S^*) ds^* = τ_zs (S^*) t (S^*) 2dΩ τ_zs (S^*) = Ω = \(\frac{1}{2} h(S^*) ds^*.

M_t = τ_zs (S^*) t(S^*) 2Ω τ_zs (S^*) = \(\frac{M_t}{2Ωt(S^*)}\) formula di Bredt.

Equazioni indefinite di equilibrio

q(x) > φ se nella stessa direz. di y - equilibrio vet. conso tra x e x+Δx.

Approssimo con andamento trapezoidale.

R = qΔx F + V(x+Δx) - V(x) + q(x)Δx + ¹/₂[q(x+Δx) - q(x)]Δx = φ.

Divido per Δx (V(x+Δx) - V(x)) / Δx = - ¹/₂q(x+Δx) - ¹/₂q(x).

lim_Δx→φ lim_Δx→φ (V(x+Δx) - V(x)) / Δx = dv/dx = V¹(x).

lim_Δx→φ q(x+Δx) = q(x).

dv/dx = V¹ = -q(x).

Equilibrio alla traslazione verticale - equilibrio alla rotazione.

V(x)Δx + Mb(x+Δx) - Mb(x) - q(x)Δx² - ¹/₂[q(x+Δx) - q(x)]Δx Δx³/₃ = φ.

Divido per Δx: (Mb(x+Δx) - Mb(x)) / Δx = -V(x) + q(x)Δx - ¹/₆[q(x+Δx) - q(x)]Δx.

lim_Δx→φ dMb/dx = Mb' - V(x).

Equilibrio alla rotazione.

Ora consideriamo una distribuzione di carichi n(xdx), lungo la linea d’asse della trave.

n(x)_ϕ se nella stessa direzione di x.

R_MH = n(x)ϕdx.

R_ZH = [n(x+dx)-n(x)] dx².

Equilibrio in direzione orizzontale + N(x+dx) - N(x) + n(x)dx + [n(x+dx) - n(x)]dx² = ϕ.

Divido per dx N(x+dx) - N(x)^dx + ¹/₂ [n(x+dx) + n(x)] = ϕ.

lim dx→ϕ dN/dx = - n(x)ϕ equilibrio alla torsione orizzontale.

Equazioni indefinite d’equilibrio della trave rettilinea

Equilibrio in direzione x di un elemento di area A₁, di lunghezza Δx.

Area A₁ definita da una corda di normale s̅.

ΔF_sx: risultante tensioni tangenziali.

q_sx = lim ΔF_sx / Δx Δx→0 flusso di taglio.

q_sx = -VQ/I_zz, Q = ∫_A1 y dA, τ_sx = -VQ/I_zz·b.

Q: momento statico.

Legame costitutivo termoelastico della temperatura

In generale una variazione di temperatura uniforme produce l’espansione uniforme del solido se questa variazione è positiva viceversa una diminuzione di temperatura rispetto a quella iniziale produce una contrazione.

_ε^t_x = _ε^t_y = _ε^t_z = α (T - T₀), ɣ_xy = ɣ_xz = ɣ_yz = φ.

α > φ: coeff. di dilatazione.

T: temperatura corrente del corpo.

T₀: temperatura iniziale.

Teorema di Cauchy

Principio di Cauchy: le forze di contatto sono riconducibili a forze per unità di superficie rappresentabili con un vettore T (vettore tensione) che dipende dal punto della sup. e dalla normale n̅ alla sup. in tale punto.

Teorema di Cauchy: "La conoscenza delle tensioni su tre distinte giaciture in P è sufficiente a determinare la tensione su ogni altra giacitura in P."

Consideriamo un elemento in stato piano di sforzo a forma di prisma triangolare:

σ_{x' Δz: MN - τxyΔyΔz cosΘ - τxyΔyΔz senΘ - τxyΔxΔz cosΘ - τyΔxΔz senΘ = φ} → τ_x' = τ_x cos²Θ + 2τ_xy senΘ cosΘ + τ_y sen²Θ.

T_xy Δz MN + T_x Δy Δz senΦ - T_xy Δy Δz · cosΦ + T_xy Δz · senΦ - T_y Δx Δz cosΦ.

T_xy' = -T_xi senΘ cosΦ + T_xy (cos²Θ - sen²Θ) + T_yj senΘ cosΦ == S_y-S_x / 2 · sen2Θ + T_xy cos2Θ.

Equazione differenziale della linea elastica

Linea elastica: curva che rappresenta la forma assunta dall’asse della trave a deformazione avvenuta.

• A, B: due punti sulla linea elastica posti a distanza ds.
• φ: angolo formato dalla tg in A alla curva con x.
• Dφ: angolo al centro dell’arco AB.
• O: centro di curvatura.

ds = r dφ.

¹⁄_r = |^dφ⁄_ds|.

Per dimensioni molto piccole ds ≅ dx → φ ≈ tgφ = ^dy⁄_dx.

Sostituendo si ottiene ¹⁄_r = - ^d2y⁄_dx².

Confrontando questa con la definizione di curvatura r; ¹⁄_r = ^M⁄_EI = φ, si ottiene:

EI ^d2y⁄_dx² = - M.

Eq.ne differenziale della linea elastica.

Tensioni e direzioni principali

Esistono due direzioni privilegiate che corrispondono al caso in cui il diametro della circonferenza di Mohr risulta orizzontale.

Tra tutte le possibili orientazioni, le direzioni X^* e Y^* sono le uniche per le quali:

• La tensione normale è massima o minima.
• La tensione tangenziale è nulla.

Tali direzioni sono le direzioni principali di tensione e le corrispondenti tensioni sono le tensioni principali.

σ_x^* = ^{σ_x + σ_y}⁄₂ + R.

σ_y^* = ^{σ_x + σ_y}⁄₂ - R.

tg 2θ^* = |^2τ_xy⁄_{σx - σy}|.

Diagramma sforzo-deformazione

I risultati della prova di trazione si rappresentano in un diagramma P-δ:

• Fase I: fase elastica lineare.
• Fase II: fase di snervamento.
• Fase III: fase di incrudimento.

Si ha un aumento di carico seguito da una sua diminuzione per poi arrivare a rottura.

Si definiscono le quantità:

σ = ^P/_A tensione o stress [^F/_L²].

ε = δ/L deformazione o strain [adim.].

Il grafico P-δ si rappresenta più convenientemente in un grafico σ-ε:

σ_y: tensione di snervamento.

τ_max^E: modulo elastico o di Young.

Fase I: σ = E · ε.

Criteri di resistenza

3 criteri di resistenza per uno stato tensionale alla di Saint-Venant: σ_x≠0, σ_xy≠0, τ_xz=τ_yz=γ_z=ϕ (asse z è principale).

• Criterio di Von Mises (o della massima energia di distorsione): condizione di non crisi: √(σ_x²+3τ_xy²) ≤ σ_y.
• Criterio di Tresca (o della massima tensione tangenziale): condizione di non crisi: √(τ_x²+4τ_xy²) ≤ σ_y.
• Criterio di Galileo (o della massima tensione normale): condizione di non crisi: max{│(σ_x/2)-(√(σ_x²/4+τ_xy²))│, │(σ_x/2)+(√(σ_x²/4+τ_xy²))│} ≤ σ_y.

Domini limite:

Tresca: criterio più restrittivo (più cautelativo).

Vi sono stati di tensore che sono verificati per uno dei criteri, ma non lo sono per gli altri.

Instabilità - Asta di Eulero

Vy + ΔVy - Vy + q Δx = 0 → ^ΔVy/_Δx = -q(x).

Mb + ΔMb - Mb + Vy ^Δx/₂ + (Vy + ΔVy) ^Δx/₂ + PΔv = 0 → ^ΔMb/_Δx + Vy + ¹/₂ ^ΔVy/_Δx + P^Δv/_Δx = 0.

lim Δx → 0 ^dVy/_dx = -q(x), ^dMb/_dx + Vy + P ^∂v/_∂x = 0.

Differentziando la II eqre, utilizzando la I, ricordando che Mb = EI ^d²v/_dx² ^d²/_dx² [EI ^d²v/_dx²] + ^d/_dx (ρ ^∂v/_∂x) = q(x).

Travi reticolari a doppietti paralleli

Grado di vincolo esterno + numero aste = numero nodi • 2.

2 c.e. n. fissi e n. aggi. nodo.

• Warren.
• Pratt.
• Howe.
• Fink.
• Metodo dei nodi.
• Metodo di Ritter.

Trazione.

Compressione.