Domande orale Scienza delle costruzioni

PROBLEMA di DE SAINT VENANT

DETERMINARE :

• SPOSTAMENTO
• TENSIONE
• DEFORMAZIONE

V PUNTO DI UN SOLIDO ELASTICO DI FORMA CILINDRICA PRIVO DI CARICHI SULLA SUP. LATERALE E SOLLECITATO SULLE BASI DA CONDIZIONI DI CARICO GLOBALI.

Hp:

• FORMA SOLIDO + ANNULLARE DELLE COMPONENTI SULLA SUP. LATERALE =
• ASSI∞ TRA FIBRE LONGITUDINALI SIA LUNGO ξ;
• GEOMETRIA: La deformazione dipende prevalentemente da sforzi e momenti risultanti sulle basi

COMPOSIZIONE DELL'AMMOSFERA DELLO STATO ELASTICO DEL SOLIDO.

4 SEMPLICI CASI

• TRAZIONE _SEMPLICE
• FLESSIONE PURA _SEMPLICE
• TORSIONE
• FLESSIONE E TAGLIO

Soluzione generale: combinazione dei 4 casi semplici

Hp:

• TRAVE RETTILINEA A SZ. COSTANTE
• SUFFICIENTEMENTE SNELLA
• NON VINCOLATA ESTERNAMENTE
• MATERIALE : ELASTICO LINEARE, OMOGENEO E ISOTROPO
• NO FORSE DI VOLUME Fx=Fy=Fz=0
• NO FORSE DI PRESSIONE SULLA SUP. LATERALE
• UNICHE FORZE AGENTI : SISTEMI SULLE AREE DI BASE
• TRAVE IN EQUILIBRIO

Scopo: ricavare lo stato tensionale sotto le sollecitazioni esterne.

PRINCIPIO: Lo stato tensionale all'interno del solido dipende solo dai {Rf⃗} e {Mf}, non da come le {Pf} siano geometricamente distribuite (sulle aree di base)

{Rf}: RISULTANTE F DI PRESSIONE

{Mf}: MOMENTO RISULT. FORZE DI PRESSIONE

• CASI DI SOLLECITAZ. :
• SFORZO NORMALE N
• FLESSIONE SEMPLICE Mx
• FLESSIONE COMPOSTA Mx+My
• SFORZO NORMALE ECCENTRICO N+Mx+My
• TORSIONE PURA
• TAGLIO E TORSIONE Vy+Mx

Scansionato con CamScanner

PROBLEMA di DE SAINT VENANT

METOD'800

DETERMINARE :

• SPOSTAMENTO
• TENSIONE
• DEFORMAZIONE

HP :

• FORMA SOLIDO + ANNULLARE DELLE COMPONENTI SULLA SUP. LATERALE = ATTR. TRA FIBRE LONGITUDINALI SENZA LUNGO XI;
• GEOMETRIA: LA DEFORMAZIONE DIPENDE PREVALENTEMENTE DA FORZE E MOMENTI RISULTANTI SULLE BASI.

COMPOSIZIONE DELL'AMMONTARE DELLO STATO ELASTICO DEL SOLIDO.

4 SEMPLICI CASI :

• TRAZIONE
• FLESSIONE PURA
• TORSIONE
• FLESSIONE E TAGLIO

Soluzione generale: combinazione dei 4 casi semplici

HP:

• TRAVE RETTINURA A SEC. COSTANTE
• SUFFICIENTEMENTE SOTTILE
• NON VINCOLATO ESTERNAMENTE
• MATERIALE: ELASTICO LINEARE, OMOGENEO E ISOTROPO
• NO FORI DI PRENSICE SULLA SUP. LATERALE
• UNICHE FORZE AGENTE: SISTEMI SULLE AREE DI BASE
• TRAVE IN EQUILIBRIO

SCOPO: RICAVARE LO STATO TENSIONALE SOTTO LE SOLLECITAZIONI ESTERNE.

PRINCIPIO: LO STATO TENSIONALE ALL'INTERNO DEL SOLIDO DIPENDE SOLO DA {R_B} E {M_B}, NON DA COME LE {p_B} SIANO GEOMETRICAMENTE DISTRIBUITE (SULLE AREE DI BASE).

{R_B}: RISULTANTE F DI PRENSICE

{M_B}: MOMENTO RISULT. FORZE DI PRENSIONE

CASI DI SOLLECITAZ.:

• SFORZO NORMALE N
• FLESSIONE SEMPLICE MX
• FLESSIONE COMPOSTA MX+MY
• SFORZO NORMALE ECCENTRICO N+MX+MY
• TORSIONE PURA
• TAGLIO E TENSIONE

Flessione Retta + Navier

(Da de Saint Venant)

Consideriamo una trave soggetta a due coppie di forze alle estremità.

Vettore momento ⊥ asse di simmetria geometrica.

“Momento” || asse centrale d’inerzia della sezione → flessione retta

Supponiamo che la trave si deformi in un arco di cerchio.

Esiste un insieme di fibre e piano 1/3, che non mutano da loro qualsiasi durante la deformazione.

Facendo una vista nel piano (x,y), questo insieme di fibre è visto come un’unica fibra: fibra neutra.

\[\frac{1}{\rho} = \frac{Mbz}{E \cdot Izz} \]

\[ \varepsilon_x = -\frac{y}{\rho} \quad \sigma_x = -\frac{Mbz}{Izz} \cdot y \quad \text{Formula di Navier} \]

Espressione Generale Formula di Navier:

\[ \bar{\sigma_x} = -\frac{(y I_{yy} - z I_{yz}) Mbz + (y I_{yz} - z I_{zz}) Mby}{I_{yy} I_{zz} - I_{yz}^2} + \frac{N}{A} \]

Dimensioni

• Tensione (_Pa)
• Deformazione _ADIM.
• Modulo di Young (^N/_m²)
• Coeff. di Poisson _ADIM.
• Modulo elastico tangenziale (^N/_m²)

Legame costitutivo Tensioni e deformazioni

Materiali Elastico isotropi

Corpo Isotropo: corpo il cui comportamento meccanico è uguale per qualsiasi direzione a cui viene applicata ad esso una sollecitazione.

Prendendo soggetto solo a σ_x: - Dilatazione lungo x          - Contrazione lungo y e z

ε_x = ^σ_x/_E,     ε_y = ε_z = -νε_x

Considerando gli effetti di τ_xy: Varie longitud. tra le fibre          parallele ad x e y:

L_xy = ^π/₂ - ρ_xy scorrimento angolare

                = ^τ_xy/_G

Sovrapponendo gli effetti:

ε_x = ^σ_x/_E - ν ^{(σ_y + σ_z)}

ε_y = ^σ_y/_E - ν ^{(σ_x + σ_z)}

ε_z = ^σ_z/_E - ν ^{(σ_x + σ_y)}

γ_xy = ^τ_xy/_G,     γ_xz = ^τ_xz/_G ,     γ_yz = ^τ_yz/_G

RELAZIONI COSTITUTIVE

Formula di Bredt

Torsione di sezioni cave in parete sottile

sotto che la sezione è sottile le tensioni tangenziali sono circa parallele al contorno e circa costanti sulla percorso.

t(s*) : spessore in corrispondenza dell'ascissa s*

Equilibrio lungo z :

τ_sz(s*)t(s*)Δz - τ_sz(s*_z)t(s*_z)Δz = Φ

τ_sz(s*)t(s*) = τ_sz(s*_z)t(s*_z)

τ_sz(s*)t(s*) = Q(s*)

Flusso di taglio

ed è costante nella sezione

Momento prodotto dalle tensioni tangenziali rispetto al polo "O" :

dF = τ_z da = τ_z(s*)t(s*)ds*

dM_t = dF ρ(s*) = τ_z da =

= τ_z(s*)t(s*)h(s*)ds*

= τ_z(s*)t(s*). 2dΩ

dΩ = ½h(s*)ds*

τ_zθ(s*) =

M_t = τ_z(s*)t(s*)2dΩ

τzθ(s*) = Mt2Σt(s*) #Formula di Bredt

Equazioni indefinita di equilibrio

9(x) > φ se nella stessa direzione di y

- Equilibrio vet con(c) tra x e x+Δx

Approssimo con andamento trapezoidale

R = qΔx

↑

V(x+Δx)-V(x)+9(x)Δx+¹⁄₂[9(x+Δx)-9(x)]Δx = φ

Divido per Δx

V(x+Δx)-V(x)⁄_Δx= -¹⁄₂9(x+Δx) - ¹⁄₂9(x)

lim_Δx→φ

lim_Δx→φ V(x+Δx)-V(x)⁄_Δx = dV⁄_dx = V′(x)

lim_Δx→φ 9(x+Δx) = 9(x)

dVdx = V′ = -9(x)

Equilibrio alla traslazione verticale

- Equilibrio alla rotazione

¹⁄₃ V(x)Δx + Mb(x+Δx)-Mb(x) -9(x)Δx^Δx⁄₂ -¹⁄₂[9(x+Δx)-9(x)]Δx ^Δx⁄₃ = φ

Divido per Δx:

Mb(x+Δx)-Mb(x)⁄_Δx = -V(x)+9(x)^Δx⁄₂ -¹⁄₆[9(x+Δx)-9(x)]Δx

lim_Δx→φ

dMbdx = Mb′ - V(x)

Equilibrio alla rotazione

Ora consideriamo una distribuzione di carichi n(x), lungo la linea d'asse della trave.

n(x) dx se nella stessa direzione di x

Equilibrio in direzione orizzontale

Divido per Δx

lim Δx→Φ

Equilibrio alla traslazione orizzontale

Equazioni indefinite d'equilibrio della trave rettilinea

Jodrowski

Equilibrio in direzione x di un elemento di area A₁, di lunghezza Δx

Area A₁ definita da una corda di normale ṡ

ΔF_sx: risultante tensioni tangenziali

Lim_Δx→0 (ΔF_sx/Δx) flusso di taglio

Q_sx = - VQ/I_zz, Q = ∫_A y͂dA , ṡ_sx = - VQ/I_zz·b

Q: Momento statica

Legame costitutivi tenendo conto della temperatura

In generale una variazione di temperatura uniforme produce l'espansione uniforme del solido se questa variazione è positiva viceversa una diminuzione di temperatura rispetto a quella iniziale produce una contrazione.

ε_x^t = ε_y^t = ε_z^t = α (T - T₀) ,   γ_xy = γ_xz = γ_yz = ϕ

• α > ϕ: Coeff. di dilatazione
• T: temperatura corrente del corpo
• T₀: temperatura iniziale

Teorema di Cauchy

Principio di Cauchy:le forze di contatto sono riconducibili a forze per unitàdi superficie rappresentabili con un vettore T (vettoretensione), che dipende dal punto della sup. e dallanormale n alla sup. in tale punto.

Teorema di Cauchy:“La conoscenza delle tensioni su tre distinte giaciturein P è sufficiente a determinare la tensione su ognialtra giacitura in P.”

Consideriamo un elemento in stato piano di sforzoa forma di prisma triangolare:

\(\bar{\sigma}_{x'} \Delta z = MN - \tau_x \Delta y \Delta z \cos \theta - \tau_{xy} \Delta y \Delta z \sin \theta - \tau_{x'} \Delta x \Delta z \cos \theta - \sigma_y \Delta x \Delta z \sin \theta = \phi\)

\(\Rightarrow \bar{\sigma}_{x'} = \sigma_x \cos^2 \theta + 2 \tau_{xy} \sin \theta \cos \theta + \sigma_y \sin^2 \theta\)

τ_xyΔx_MN + τ_xΔy_A senθ - τ_xy Δy_A cosθ + τ_xyΔy_A senθ - τ_y Δx₁ Δ cosφ

→ τ'xy = -τ_x senθcosφ + τ_xy(cos²θ-sen²θ) + τ_y senθcosφ =

= ^τ_y-τ_x/₂ sen2θ + τ_xy cos2θ

Eq.ne Differenziale della Linea Elastica

Linea elastica: curva che rappresenta la forma assunta dall'asse della trave a deformazione avvenuta.

• A, B: due punti sulla linea elastica posti a distanza ds
• : angolo formato dalla tg in A alla curva con x
• d: angolo al centro dell'arco AB
• O: centro di curvatura

ds = r d

¹/_r = ∣d/ds∣

Per dimensioni molto piccole ds ≈ dx → ≈ tg = dy/dx

Sostituendo si ottiene ¹/_r = -d²y/dx²

Confrontando questa con la definizione di curvatura ¹/_r,

¹/_r = M/EI = ,

si ottiene:

EI d²y/dx² = -M

Eq.ne differenziale della linea elastica

Tensioni e Direzioni Principali

Esistono due direzioni privilegiate che corrispondono al caso in cui il diametro della circonferenza di Mohr risulta orizzontale.

Tra tutte le possibili orientazioni, le direzioni x* e y* sono le uniche per le quali:

• La tensione normale è massima o minima;
• La tensione tangenziale è nulla.

Tali direzioni sono le DIREZIONI PRINCIPALI DI TENSIONE e le corrispondenti tensioni sono le TENSIONI PRINCIPALI.

σ_x* = ^{σ_x + σ_y}/₂ + R

σ_y* = ^{σ_x + σ_y}/₂ - R

tg 2θ_p* = ^2τ_xy/_{σx - σy}

DIAGRAMMA SFORZO-DEFORMAZIONE

I risultati della prova di trazione si rappresentano in un diagramma P-δ:

Si definiscono le quantità:

σ = ^P/_A tensione o stress ^F/_L²

ε = δ/L deformazione o strain [adim.]

Il grafico P-δ si rappresenta più convenientemente in un grafico σ-ε:

σ_y: tensione di snervamento

τ_el : E : modulo elastico o di Young

FASE I: σ = E ⋅ ε

FASE I: fase elastica lineare

FASE II: fase di snervamento

FASE III: fase di incrudimento

Si ha un aumento di carico seguito da una sua diminuzione per poi arrivare a rottura

CRITERI DI RESISTENZA

3 criteri di resistenza per uno stato tensionale alla di Saint-Venant:

σx ≠ 0, σy ≠ 0, σz = τxy = τyz = τyz = φ (asse z è principale).

• CRITERIO DI VON MISES (o della massima energia di distorsione):

Condizione di non crisi

√(σx² + 3σxy²) ≤ σy

• CRITERIO DI TRESCA (o della massima tensione tangenziale):

Condizione di non crisi

√(σx² + 4σxy²) ≤ σy

• CRITERIO DI GALILEO (o della massima tensione normale):

Condizione di non crisi

max{ | σx/2 - √(σx²/4 + σxy²) |, | σx/2 + √(σx²/4 + σxy²) | } ≤ σy

Domini limite:

Tresca: criterio più restrittivo (più cautelativo)

Vi sono stati di tensione che sono verificati per uno dei criteri, ma non lo sono per gli altri.

Instabilità - Asta di Eulero

(non trascuriamo la deformata deviata)

ΔVy/Δx = -q(x)

lim_Δx→Φ

dVy/dx = -q(x) ,

dMb/dx + Vy + P ∂u/∂x = Φ

Differenziando la I equazione, utilizzando la II, ricordando che Mb = EI d²u/dx²

d²/dx²[EI d²u/dx²] + d/dx (P ∂u/∂x) = q(x)

TRAVI RETICOLARI

Grado di vincolo esterno + numero aste = numero nodi · 2

2 eq. nei nodi

• WARREN
• PRATT
  • trazione
• HOWE
  • compressione
• FINK

• Metodo dei nodi
• Metodo di Ritter