Domande orale Scienza delle costruzioni

PROBLEMA DI DE SAINT VENANT

DETERMINARE:

• SPOSTAMENTO
• TENSIONE
• DEFORMAZIONE

V PUNTO DI UN SOLIDO ELASTICO DI FORMA CILINDRICA

PRIVO DI CARICHI SULLA SUP. LATERALE E

SOLLECITATO SULLE BASI DA CONDIZIONI DI CARICO GLOBALI.

HP:

• FORMULA SOLIDO + ANNULLARE DELLE COMPONENTI SULLA SUP. LATERALE =
• ASCIUGARE TRA FIBRE LONGITUDINALI SÌO LUNGO ϕ;
• GEOMETRIA; LA DEFORMAZIONE DIPENDE PRINCIPALMENTE DA FORZE E MOMENTI RISULTANTI SULLE BASI

SCOMPOSIZIONE DELL'AMPOULS NELLO STATO ELASTICO DEL SOLIDO.

1. TRAZIONE SEMPLICE
2. FLESSIONE PURA SEMPLICE
3. TORSIONE
4. PRESSIONE E TAGLIO

SOLUZIONE GENERALE: COMBINAZIONE DEI 4 CASI SEMPLICI

HP:

• TRAVE RETTILINEO A SEZ. COSTANTE
• "SUFFICIENTEMENTE SOTTILE
• "NON VINCOLATA ESTERNAMENTE
• MATERIALE = ELASTICO LINEARE, OMOGENEO E ISOTROPO
• NO FORZE DI VOLUME Fx = Fz = 0
• NO FORZE DI PRENSILE SULLA SUP. LATERALE
• UNICHE FORZE AGENTI: SISTEMI SULLE AREE DI BASE
• TRAVE IN EQUILIBRIO

SCOPO: RICERCARE LO STATO TENSIONALE SOTTO LE SOLLECITAZIONI ESTERNE.

PRINCIPIO: LO STATO TENSIONALE ALL'INTERNO DEL SOLIDO DIPENDE

DA {F} E {M}, NON DA CARICHI {P} SOLO

GEOMETRICAMENTE ATTRIBUIBILE (SULLE AREE DI BASE)

• {F}: RISULTANTE F DI PRENSIONE
• {M}: MOMENTO RISULT. FORI DI PRENSIONE

CASI DI SOLLECITAZ.:

• SFORZO NORMALE N
• FLESSIONE SEMPLICE Mx
• FLESSIONE COMPOSTA Mx+My
• SFORZO NORMALE ECCENTRICO N + Mx + My
• TORSIONE PURA Mt
• TAGLIO E TENSIONE Ty + Tz

Flessione Retta + Navier

(da Desarts Exault)

Consideriamo una trave soggetta a due coppie di forze alla estremità.

Vettore momento: l'asse di simmetria geometrica

Momento: l'asse centrale d'inerzia della sezione

→ FLESSIONE RETTA

Supponiamo che la trave si deformi in XY secondo un arco di cerchio.

Esiste un insieme di fibre e piano H Z, che non mutano la loro lunghezza durante la deformazione.

Facendo una vista nel piano (X, Z), questo insieme di fibre è visto come un'unica fibra: FIBRA NEUTRA.

1/s = Mbz / E · Izz

ε_x = - y/s ; σ_x = - Mbz / Izz ; y FORMULA DI NAVIER

ESPRESSIONE GENERALE FORMULA DI NAVIER:

σ_x = - (y I_yy z I_yz) Mbz + (y I_yz z I_zz) Mby / I_yy I_zz I_yz² + N / A

Equazioni indifferenti ai equilibri

q(x)≫ se nella stessa direzione di y

- Equilibrio vett conico tra x e x+Δx

Approssimo con andamento trapezioide

R≈qΔx

V(x+Δx)-V(x)+q(x)Δx+1/2[q(x+Δx)-q(x)]Δx=

Divido per Δx

[V(x+Δx)-V(x)]/Δx = -1/2 q(x+Δx) - 1/2 q(x)

lim_Δx→

lim_Δx→ V(x+Δx)-V(x)/Δx = dV/dx = V'(x)

lim_Δx→ q(x+Δx) = q(x)

dV/dx = V' = -q(x)

Equilibrio alla traslazione verticale

- Equilibrio alla rotazione

V(x)Δx + Mb(x+Δx)-Mb(x)-q(x)Δx²/2 [q(x+Δx)-q(x)]Δx Δx²/3 =

Divido per Δx : Mb(x+Δx)-Mb(x)/Δx = -V(x)+q(x)Δx/2 + 1/6[q(x+Δx)-q(x)]Δx

lim_Δx→

dMb/dx = M'b - V(x)

Equilibrio alla rotazione

T_x'y' = T_x'y' Δτ mn + τ_x Δy Δτ sen θ - τ_x'y' Δy Δτ cos θ + τ_x'l Δτ sen θ - τ_y' Δx Δτ cos θ

= - τ_ix sen θcos θ + τ_iy'(cos^2 θ - sen^2 θ) + τ_ij sen θcos θ =

= ^{τ_y - τ_x} /₂ sen2θ ± τ_xy cos2θ

INSTABILITA' - ASTA di EULERO

(non trascuriamo la deformata dell'asta)

V_y + ΔV_y - V_y + qΔx = 0ΔV_y / Δx = - q(x)

M_b + ΔM_b - M_b + V_y Δx / 2 + (V_y + ΔV_y) Δx / 2 + PΔu = 0

ΔM_b / Δx + V_y + 1/2 ΔV_y Δx + P Δu / Δx = 0

lim_{Δx → 0}

dV_y / dx = - q(x) , dM_b / dx + V_y + P du / dx = 0

differenziando la II eqne , utilizzando le I , ricordando che M_b = EI d²u / dx²

d² / dx² [ EI d²w / dx² ] + d / dx ( ρ du / dx ) = q(x)