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Un’azienda fabbrica un prodotto in due differenti formati.
Il formato piccolo (A) richiede 3 ore di lavorazione mentre il formato grande (B) richiede 2 ore.
Ci sono quattro operatori esperti impegnati 40 ore a settimana.
Il formato piccolo richiede 1 kg di materia prima e quello grande 3 kg di materia prima. La materia prima è limitata e si dispone soltanto di 120 kg alla settimana.
Il trasporto ai centri di distribuzione richiede 2 ore per il prodotto di piccolo formato e 0,7 ore per il prodotto di grande formato.
Il contratto con il trasportatore prevede un impegno di almeno 21 ore a settimana. Il formato piccolo ha un profitto di € 40, quello grande ha un profitto di € 60.
Si determini la produzione settimanale che massimizza il profitto globale.
Spiegare l'uso dell'enumerazione implicita all'interno di uno schema di Branch and Bound per la PLI.
Illustrare le caratteristiche del rilassamento lineare per un problema di PLI (di minimizzazione)
Un’azienda imbottiglia 2 tipi di bevanda (indicati come A e B).
Vincoli di mercato impongono di produrre almeno 5 lotti a settimana di A e al massimo 13 lotti a settimana in totale tra A e B.
Vincoli tecnologici impongono di produrre la bevanda A in quantità pari al massimo al triplo della quantità di B.
Il costo unitario di produzione di A è il triplo del costo unitario di produzione di B.
Si vuol determinare il piano di produzione settimanale che minimizzi il costo totale di produzione.
Descrivere in dettaglio la Regola di Bland per l’algoritmo del simplesso per la PL motivando il suo impiego.
max z = 20x1 + 12,5x2
s.t.
12x1 + 23x2 ≤ 1500
35x1 + 20x2 ≤ 3150
40x1 + 25x2 ≤ 2000
x1, x2 ≥ 0
Enunciare il teorema della dualità forte e spiegarne le implicazioni
La casa editrice ALFABETA pubblica un quotidiano che viene distribuito da quattro centri di smistamento S1, S2, S3 e S4 che richiedono rispettivamente 100000, 150000, 50000 e 75000 copie.
Il giornale viene stampato in tre tipografie T1, T2 e T3 che producono rispettivamente 125000, 180000 e 70000 copie.
Sapendo che i costi per la spedizione sono di Euro 0.10/Km per giornale e che le distanze tra le tipografie ed i centri di smistamento sono rispettivamente di 20, 25, 15 e 5 Km per la prima tipografia, 12, 14, 18 e 30 Km per la seconda tipografia e 19, 11, 40 e 12 Km per la terza tipografia, la casa editrice vuole pianificare le sue spedizioni giornaliere in modo da minimizzare i costi di spedizione.
Formulare il modello di Programmazione Matematica corrispondente.
Spiegare in cosa consiste l'operazione di branching nell’algoritmo di Branch & Bound per la PLI
Dato il problema di PL così definito:
max Z = 4X1 - 5X2 + 3X3 + 2X4
X1 + 2X2 + 3X3 = 2
X1 - X3 + X4 = 3
X1, X2, X3, X4 ≥ 0
trovare i vertici del poliedro che costituisce il suo insieme ammissibile.
Spiegare cosa si intende per “soluzione di base degenere” per un problema di PL e come può essere riconosciuta durante l’esecuzione dell’algoritmo del simplesso.
Formulare il duale del seguente problema di PL e scrivere le condizioni di complementarietà per la coppia Primale-Duale risultante.
max z = 3x1 + 2x2
-4x1 + 5x2 ≤ 10
6x1 + 5x2 ≤ 32
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Spiegare come viene formulato il problema per la prima fase del semplice primale
Esercizio Una fabbrica di giocattoli produce due tipi di trenini. Il primo tipo è in legno ed il secondo in plastica. Il processo produttivo si svolge in tre reparti. La fabbrica impiega 18 operai nel primo reparto, 10 nel secondo e 8 nel terzo. Gli operai lavorano 8 ore al giorno per 5 giorni a settimana. I tempi di lavorazione (in minuti) richiesti ed i relativi profitti sono riportati nella tabella seguente.
Prodotti Reparto 1 Reparto 2 Reparto 3 Profitti (in euro) Trenini in legno 25' 40' 7' 45 Trenini in plastica 50' 70' 10' 65Determinare quanti giocattoli produrre per massimizzare il profitto settimanale.
Spiegare come si determina nella tabella finale del simplesso se il problema ha più soluzioni ottime
min z = 150x1 + 300x2
s.t.
2x1 ≥ 13
2x1 + x2 ≥ 4
3x1 + 10x2 ≥ 12
x1, x2 ≥ 0
Spiegare cosa si intende per Upper Bound per un problema PLI di minimizzazione
min z = 3⁄10 x3 + 1⁄5 x4 - 7⁄2
s.t.
x2 + 7⁄30 x3 + 2⁄5 x4 = 5⁄2
x1 - 1⁄10 x3 + 3⁄5 x4 = 3⁄2
xi ≥ 0 per i = 1, …, 4
Spiegare cosa si intende per formulazione ideale
per un problema di PLI
Min z = 4x1 + 2x2 - x3 + 2x4
s.t.
- -2x1 + 5x2 + 8x3 + 5x4 = 15
- 4x1 + 8x2 - 2x3 + 6x4 = 31
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
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