Domande esame Costruzioni Idrauliche

P

2 -θ/K

Q = P (1 – e )

Q

P2 P2 2

Avrò una curva crescente fino ad un valore

di massimo che si realizza al tempo t = t ,

Q

P P

P1

1 dove t indica la durata della pioggia

P

seguita da una curva decrescente che

tende asintoticamente a 0.

Modello di Nash

Partendo da tale modello semplice, con opportune combinazioni si può ottenere un modello complesso,

proprio come nel caso del “MODELLO nel quale si immagina una

DELLA CASCATA DI SERBATOI LINEARI”,

sequenza di serbatoi disposti in serie, caratterizzati tutti quanti dalla stessa costante k (per semplicità), nel

primo serbatoio entra la sollecitazione p(t) mentre l’uscita dell’ultimo serbatoio è q(t).

Conoscendo l’Idrogramma Unitario Istantaneo di ciascuno dei modelli componenti si vuole ricavare lo IUH

della serie, cioè h(t). Per determinare l’Idrogramma Unitario Istantaneo, siccome è la risposta del sistema,

che in questo caso è composto da n serbatoi in serie, ad una sollecitazione unitaria e impulsiva, anziché

considerare un ingresso generico p(t) si adotta il cosiddetto “Delta di Dirac” δ(t).

Nel primo serbatoio entra δ(t) mentre la sua uscita prende il nome di che entra a sua volta nel secondo

q

1

serbatoio, la cui uscita è invece pari a quest’ultima si versa nuovamente nel terzo serbatoio che

q ,

2

rappresenta proprio l’ultimo serbatoio, la cui l’uscita corrisponde proprio ad h(t) in questo caso specifico

q

3

avendo inserito come ingresso δ(t).

Questa formula può essere generalizzata osservando che tutti i risultati ottenuti presentano la stessa forma:

Questa è la portata in uscita da un generico serbatoio, quando entra la sollecitazione unitaria e impulsiva

δ(t). Essendo in altri termini la risposta del sistema a tale sollecitazione è proprio l’Idrogramma Unitario

Istantaneo dello stesso sistema.

Nella figura di sinistra è riportato come varia lo IUH di Nash per un k fissato (k=1) con n che varia, n=2,3,4.

Per n=1 avremmo ottenuto lo IUH del modello di invaso, caratterizzato da una forma monotona decrescente.

Invece, nei casi riportati in figura la curva è caratterizzata da un primo ramo ascendente e da un seguente

ramo discendente che tende a 0 soltanto al tendere all’infinito del tempo (ricorda la forma di un’onda di

piena). Mentre nella figura di destra si fissa un certo n, n=2 per esempio, e si vede l’effetto del variare del k.

Modello cinematico con evento critico

ES.4)

CAPITOLO 3

Applicando il modello cinematico con curva area-tempi lineare e tempo di corrivazione Tc, con metodo

ES.5)

di depurazione delle piogge di tipo percentuale, si disegni l’idrogramma di piena conseguente a una pioggia

di intensità costante nel tempo e durata maggiore o minore di Tc. Si ricavino le espressioni analitiche che

definiscono lo stesso idrogramma nel caso θ>Tc .

Il Modello Cinematico della corrivazione è uno dei modelli più semplici, A=A(t) corrisponde all’area del bacino

che contribuisce in un tempo minore o uguale a t al deflusso nella sezione di chiusura.

È possibile ipotizzare che la curva delle aree in funzione dei tempi sia lineare; la costruzione teorica della

curva avviene per mezzo delle linee isocorrive, ma nella pratica si può approssimare la curva ad una linea.

La curva area tempi viene usata per determinare l’IUH, h(t) nel caso in cui la curva A(t) sia lineare diventa:

Imponendo A(t) = A · , l’idrogramma unitario istantaneo si semplifica notevolmente diventando e a

T

questo punto si va a scrivere l’integrale di convoluzione: In cui p(τ) = P (cost.)

Si suppone una precipitazione netta di intensità costante in tutto il bacino e per tutta la durata θ dell’evento.

Volendo determinare in forma analitica q(t) si possono individuare due casi diversi:

1) θ < T

c

2) θ > T

c

Caso θ ≥ T c

Valutando la variazione della portata Q al variare del tempo t, possono presentarsi tre situazioni diverse a

dipendere dall’intervallo adottato.

0 ≤ t ≤ T

o c

Partendo dall’integrale di convoluzione generale, posso semplificare e portare fuori P dato che la

pioggia è costante:

Poi opero con un cambio di variabile di integrazione, e andando a riscrivere l’integrale i nuovi estremi

dell’intervallo di integrazione sono:

A questo punto scambio gli estremi di integrazione e tolgo il segno meno davanti per una delle

proprietà dell’integrale:

Sapendo che h(x)=1/T è una costante per cui si può portare fuori dall’integrale ed ottengo:

C

L’espressione ottenuta indica che la portata a t = 0 tende a q = 0, quindi è una retta che nasce

dall’origine, mentre a t = T tende a q = p, per cui ha un andamento lineare fino al valore massimo in

c

corrispondenza di Tc, dove è stata raggiunta la portata di pioggia netta.

T ≤ t ≤ θ

o c

L’integrale di convoluzione ottenuto con il cambio di variabile di integrazione risulta valido anche per

tale situazione. Però, in seguito al tempo t = T l’IUH del modello cinematico assume valori nulli,

c

mentre la precipitazione assume un valore non nullo e costante. Perciò l’integrale di convoluzione

ha estremo superiore pari a T .

c

Quindi dopo il tempo t = T , che è inferiore alla durata della precipitazione, l’intero bacino continua

c

a contribuire e p resta costante.

θ

t ≥

o L’integrale di convoluzione può essere diviso in due parti, da 0 a θ e poi da θ a t. Nel primo siccome

la pioggia è costante P viene portato fuori dal segno di integrale, mentre nel secondo integrale la

pioggia è nulla perché ci si trova ad un tempo maggiore rispetto a quello della fine della

precipitazione. Allora l’integrale di convoluzione avrà θ come limite superiore.

Si effettua un cambio di variabile di integrazione:

A questo punto scambio gli estremi di integrazione e tolgo il segno meno davanti per una delle

proprietà dell’integrale:

Sapendo che per t > T l’IUH è nullo, l’estremo superiore dell’integrale dovrà essere proprio T

c c,

altrimenti si avrebbe un integrale di convoluzione nullo, per cui h(x)=0 ed ottengo:

In questo modo si ottiene la terza soluzione analitica della portata e se la si va a rappresentare per

t=θ si ottiene q=p e all’aumentare di t si ha un andamento decrescente linearmente fino al tempo

t=θ+T per cui si ha q=0. La portata diminuisce in funzione del tempo fino ad annullarsi dopo un

c

tempo pari a θ+T .

c In definitiva, l’onda di piena cresce linearmente

fino al tempo T dove si raggiunge il valore di

c

pioggia netta poi tale valore rimane costante

p,

Q=p fino a quando si raggiunge la fine della

pioggia.

In seguito, diminuisce linearmente e al tempo

t=θ+T si annulla perché l’ultima goccia caduta

c

a t= θ impiega un tempo T al massimo per

c

arrivare alla sezione di chiusura del bacino.

Evento critico per modello cinematico – formula razionale.

ES. 6)

Evento critico per modello cinematico - FORMULA RAZIONALE

Per determinare la formula razionale è necessario partire dalle due espressioni della portata al colmo per il

modello cinematico:

Supponendo di avere una precipitazione netta che rappresenti la media areale sul bacino,

i

e

variabile nel tempo (anche se è stata supposta costante per tutta la durata della pioggia) ma

costante nello spazio in ogni istante; allora la portata di pioggia netta può essere scritta:

p

In più se si suppone di utilizzare il modello percentuale o proporzionale,

l’intensità di pioggia netta è uguale al prodotto tra il coefficiente di

i e

afflusso che è compreso tra 0 e 1 e che non è altro che l’intensità di

φ i

pioggia lorda.

Da queste ipotesi si può esprimere la delle due espressioni della portata

p

al colmo come: p = φ*i*A

Sostituendo posso riscrivere l’equazione in questo modo:

Per la ricerca dell’evento critico invece che procedere per tentativi, facendo variare la durata che massimizza

la portata al colmo dell’idrogramma, in questa circostanza si può procedere in modalità analitica data la

semplicità del modello su cui si sta ragionando con tutte le relative ipotesi.

L’equazione della curva di possibilità climatica è mentre l’intensità è data da: , inserendo

n n–1

h = a*θ i = a*θ

tali espressioni nelle due equazioni della portata al colmo si ottiene:

(a = coeff. della curva di possibilità climatica)

Tramite tali espressioni è stata completamente ricavata la dipendenza della portata al colmo dalla durata

Q

dell’evento Per comodità l’espressione della portata al colmo può essere riscritta anche:

θ. Q

Si moltiplicano e si dividono per tutte e due le

n–1

Tc

equazioni; nella prima avendo già in partenza un al

Tc

denominatore questo si somma con il per cui

n–1

Tc

rimane solo al denominatore, mentre nella seconda

n

Tc

si sfrutta l’esponente di e si raccoglie tutto all’interno

θ

della parentesi elevando tutto alla n–1.

Questo grafico rappresenta

l’andamento del rapporto

in funzione di θ/Tc.

Per varrà la prima delle

θ/Tc < 1,

due equazioni e sostanzialmente

questo andamento della portata

(adimensionalizzata) cresce

all’aumentare del rapporto θ/Tc,

seguendo un andamento del tutto

simile a quello della curva di

possibilità climatica. Arrivato nella

situazione in cui il valore del rapporto della portata è pari ad 1; mentre quando il rapporto

θ/Tc = 1 θ/Tc > 1

vale la seconda equazione e quindi essendo l’esponente n–1 un numero negativo, il rapporto diminuisce dal

valore 1 tendendo a 0 quando si va all’infinito. Si riconosce quindi che il massimo del rapporto n–

Q/(φaATc

e quindi il massimo della portata, si ha nella condizione in cui la durata della pioggia è esattamente

1

), θ

uguale al tempo di corrivazione in queste condizioni si ha che la portata è uguale a:

Tc;

In questo modo l’evento critico è stato trovato in maniera deduttiva, difatti ragionando su una curva di

possibilità climatica è stata individuata la durata critica che è pari al tempo di corrivazione Tc.

A questo punto si deve assegnare alla portata critica (cioè la portata dell’e