Domande e risposte d'esame di Matematica Finanziaria

RIA) 2

(1−)

1− 1−

8) Un regime finanziario è scindibile quando vale:

(, ) = (, ) ∗ (, )

Ossia che il Montante di un’operazione finanziaria dipende solo dalla durata e non da eventuali

operazioni di investimento e disinvestimento, o operazioni di capitalizzazione intermedie.

(, ) (, )

∗ ( , )

(, )

Essendo che una legge finanziaria è scindibile se e solo se la sua forza d’interesse dipende

dall’epoca finale, possiamo affermare che l’unica legge scindibile è quella composta, in quanto,

essendo indipendente dal tempo, è possibile scinderla in più periodi.

Infatti:

(1

() = + )

- Posto che ;

) ) ) (1

( = ( ∗ ( − = + )

- Possiamo calcolare ;

2

2 1 2 1

−

(1 (1 (1

+ ) = + ) ∗ + )

- Quindi abbiamo: 2 1 2 1 1

−

(1 (1 (1 (1 (1 (1

+ ) ∗ + ) ∗ + ) = + ) ∗ ∗ + ) = + )

- Scomponendo: 1 1 2 1 2 2

1

(1+)

, > 1.

9) Una rendita finanziaria è una successione di importi esigibili alle epoche L’importo

− .

è detto rata, l’epoca in cui è disponibile la rata è detta scadenza

( )

Definiamo come valore attuale della rendita la somma dei singoli valori attuali in .

0

)

−( −

(1

= + )

)

−( −

(1

( ) = ∑ = ∑ + )

=1 =1 ≥

Il montante della rendita in è la somma dei montanti in delle singole rate ai tempi .

(− )

(1

= + )

(− )

(1

() = ∑ = ∑ + )

=1 =1

Queste formule valgono per qualunque tipo di rendita.

Distinguiamo in generale le rendite in:

= ;

- Rendita costante se

= = 1;

- Rendita unitaria se

− = ;

- Rendita periodica se −1

− = 1 ;

- Rendita annua se −1

- Rendita posticipata se la manifestazione finanziaria è alla fine del suo periodo di valenza;

- Rendita anticipata se la manifestazione finanziaria è all’inizio del suo periodo di valenza;

- Rendita differita se la manifestazione finanziaria avviene dopo un certo periodo;

- Rendita limitata quando vi è un numero limitato di rate;

- Rendita perpetua quando vi è un numero illimitato di rate.

1

⁄

- Rendita frazionata quando vi è un periodo – esimo, un tasso periodale al posto del tasso

1

=

annuo e quindi come fattore di attualizzazione.

1+

10) Il valore attuale di una rendita posticipata di rate costanti si trova moltiplicando il valore

┐. ┐

della rata per è il valore attuale di una rendita unitaria costante di rate

.

posticipate al tasso −

1−(1+)

┐ = (0) = ∗ ┐.

Se sappiamo che allora

Il montante di una rendita posticipata di rate costanti si trova moltiplicando il valore della rata

┐. ┐ .

per è il montante di una rendita costante di rate posticipate unitarie al tasso

−

(1+) −1

┐ = = ∗ ┐.

Se sappiamo che allora

11) Il valore attuale di una rendita anticipata di rate costanti si trova:

−

1−(1+)

(0) = ∗ ̈ ┐ ̈ ┐ = ∗ (1 + ).

con

Il montante di una rendita anticipata di rate costanti si trova:

−

(1+) −1

(1

= ∗ ̈ ┐ ̈ ┐ = + ) ∗

con .

12) Avere delle rate in progressione aritmetica significa avere rate tali per cui:

= , = 2, = 3, … , = .

al tasso fisso

1 2 3

−1

= (1 + )

Posto che , risulta:

2 3

(0, ) = ( + 2 + 3 + ⋯ + ).

(1 + ),

Se moltiplico ambo i membri per ne segue che:

2 3 2 −1

)(1

(0, )(1 + ) = ( + 2 + 3 + ⋯ + + ) = (1 + 2 + 3 + ⋯ + ).

13) Una rendita in progressione geometrica è una successione di Rate che si incrementano o

decrementano in ragione di un tasso

Risulta quindi che:

(1 + )

1− (1 + )

(0, ) = ∗ [ ]

(1 − )

14) La rendita perpetua è una rendita contenente una successione di importi con un numero

infinito di Rate costanti (posticipata e periodica).

(0) . . .

. . .

0 1 2 3

()

Il valore attuale quindi sarà: −

1 − (1 + ) 1

(0) = lim ∗ ┐ = lim [ ]=

→+∞ →+∞ ┐

15) Una rendita di n rate posticipata, periodica e costante, si dice frazionata quando viene stabilito

un numero intero di suddivisione di ogni Rata. Il valore attuale di questo tipo di rendita è:

−1 −2 −∗

(0) = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )

1 1 1

⁄ ⁄ ⁄

┐

−

1 − (1 + ) ∗

(0) = =

∗ ()

1

⁄

16) Il valore attuale di una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata anni risulta:

−

1 − (1 + )

┐ =

DIMOSTRAZIONE: 1

−1

= (1 + ) =

- Ponendo avremo che:

1+

2 3 2 −1

[ ] [1 ].

(0) = ∗ + + + ⋯ + = ∗ ∗ + + + ⋯ +

2 −1

[1 ].

= + + + ⋯ +

- Indichiamo con

Se moltiplichiamo ambo i membri per otteniamo:

2 −1 2 3

[1 ] [ ]

= + + + ⋯ + ∗ = + + + ⋯ +

quindi

- Se sottraiamo ambo i membri avremo:

2 3

[ ]

− = + + + ⋯ + − − = 1 −

quindi

1−

(1 − ) = − = 1 − = 1−

Quindi: −

(1

1 − 1 − + )

(0) = ∗ ∗ =∗∗ =

1

1− 1− 1+

− − −

(1 (1

1 − + ) 1 1 − + ) 1 − (1 + )

=∗∗ =∗ ∗ =∗

1+−1 1+

1+

1+

17) Prima di definire i vari tipi di ammortamento, dobbiamo definire cosa è un ammortamento e

precisamente un piano di ammortamento. Un piano di ammortamento è un prospetto che

accoglie il procedimento di ammortamento di un debito contratto; esso contiene le date, le quote

capitale, le quote interessi, la rata complessiva e il debito residuo.

- L’ammortamento francese è un tipo di ammortamento in cui le rate versate periodicamente per

.

ammortizzare il prestito sono costanti e pari ad . . .

. . .

0 1 2

()

- L’ammortamento italiano è un tipo di ammortamento caratterizzato dall’avere quote di capitale

∗ ( )

= , ∀. − = 1,

costanti Assumendo quindi rate equintervallate, con avremo:

−1

1

=1 ∗ ∗

∑ = = =

da cui

- L’ammortamento americano è un tipo di ammortamento in cui vi è la presenza di due tassi,

questo perché coinvolge due operazioni, una di finanziamento ed una di investimento. La rata

viene così scissa in due parti: la prima destinata a sostenere il costo degli interessi del prestito, il

cui debito rimane invariato per tutto il tempo, la seconda destinata ad un piano di accumulo

retribuito ad un tasso differente, di solito inferiore al primo.

L’obiettivo è che al termine dell’operazione le somme capitalizzate nell’ambito dell’investimento,

denominate “fondo di ammortamento”, diano origine ad un importo pari al debito contratto, che

potrà essere così estinto.

18) Prima di definire entrambe le condizioni, dobbiamo introdurre il piano di ammortamento. Un

( , ),

piano di ammortamento può essere pensato come una rendita redatto in assoluta libertà,

con scadenze (arbitrarie) e rate (qualunque), purché esso sia un’operazione finanziaria equa,

.

ossia che il valore attuale deve essere uguale a La condizione di equità, o la condizione di

chiusura iniziale è quindi:

−( − )

= ∑ (1 + ) 0

=1

Usando regimi scindibili, si può equivalentemente dire che un piano è equo quando il montante di

è uguale al montante della rendita:

( − ) ( − )

(1 + ) = ∑ (1 + )

0

=1

(detta anche condizione di chiusura finale)

19) Consideriamo un contratto stipulato in base ad un tasso d’interesse e che dà origine ad un

piano di rimborso. Ogni contratto genera due situazioni speculari: una di credito ed una di debito.

Quindi possiamo guardare l’operazione sotto il duplice aspetto, quello del debitore e quello del

,

creditore. Valutare una rendita (o un prestito) in al tasso significa calcolare in il valore attuale

delle rate successive. Essendo che la rata è composta da due quantità, la quota capitale e la quota

interesse, in alcuni casi, al mome