Domande e risposte d'esame di Matematica Finanziaria

POSSIBILI DOMANDE ORALE

1) Cosa sono l’interesse, lo sconto, il montante e il valore attuale?

2) Cosa sono il tasso di interesse e il tasso di sconto e qual è la loro relazione funzionale?

3) Cosa è una legge di capitalizzazione?

4) Cosa sono i regimi di capitalizzazione semplice, composta e commerciale?

5) Sa confrontare i regimi di capitalizzazione, semplice, composta e commerciale?

6) Quando due tassi si dicono equivalenti?

7) Cosa sono la forza di interesse e la forza di sconto?

8) Cosa è la scindibilità e qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché una legge di

capitalizzazione sia scindibile?

9) Cosa è una rendita?

10) Valore attuale e il montante di una rendita posticipata di n rate costanti?

11) Valore attuale e il montante di una rendita anticipata di n rate costanti?

12) Valore attuale e il montante di una rendita posticipata di n rate in progressione aritmetica?

13) Valore attuale e il montante di una rendita posticipata di n rate in progressione geometrica?

14) Valore attuale di una rendita perpetua?

15) Cosa è una rendita continua? Mi fa la dimostrazione?

16) Mi faccia la dimostrazione di a figurato n ed s figurato n.

17) Quali sono le differenze tra ammortamento francese, italiano e americano? (Definizione e

dimostrazione)

18) Cosa sono la condizione di chiusura iniziale e condizione di chiusura finale?

19) Cosa sono la nuda proprietà e l’usufrutto?

20) Cosa è, come si ricava e come si usa la formula di Makeham?

21) Cosa è il REA (Risultato economico attualizzato)?

22) Cosa è il TIR (Tasso interno di rendimento)?

23) Cosa è il TAN (Tasso annuo nominale) j(m) e come si determina?

24) Mi dimostri il limite di j(m) con m che tende a più infinito. (Valore e dimostrazione)

25) Mi fa la differenza tra i vari tipi di prestiti obbligazionari?

26) Cosa rappresenta il corso ex cedola?

27) Cosa sono il Tasso Spot e il Tasso Forward? (Grafici, dimostrazione del cambio del tasso)

28) Cosa è la condizione di non arbitraggio?

29) Cosa rappresenta un investimento?

30) Cosa rappresenta un finanziamento?

31) Quali sono le principali morfologie della struttura dei tassi?

32) È possibile prevedere l’evoluzione della struttura dei tassi di interesse?

33) Mi enuncia la Formula di Gordon? A cosa serve?

34) Cosa è il Tasso Istantaneo?

35) Mi enuncia il teorema di Norstrom? (Sia con REA che con TIR)

36) Cosa è un’immunizzazione finanziaria?

37) Cosa sono la Duration, la Volatility e la Convexity?

38) Mi enuncia il teorema di Fisheer-Weil?

39) Mi enuncia il teorema di Redington?

40) Mi enuncia la formula di Taylor?

RISPOSTE

1) Prima di definire cosa sono l’Interesse e lo Sconto, bisogna definire il concetto di Capitale e

Montante. Supponiamo che due persone intendano scambiarsi del denaro. Un soggetto A riceve

oggi una certa somma, denominata Capitale, data in prestito da un secondo soggetto B. Quanto

dovrà versare il soggetto A fra x anni per restituire la somma prestata da B? Questa somma verrà

chiamata Montante. Questo tipo di operazione definisce il concetto di capitalizzazione.

Supponiamo, al contrario, che un soggetto B dovrà riscuotere tra x anni una certa somma

chiamata Montante, ma gli serve qualcuno, un secondo soggetto A, che oggi gliela anticipi, quanto

prenderà? Questa somma verrà chiamata Capitale. Questo tipo di operazione invece definisce il

concetto di attualizzazione.

Quando l’elemento fondamentale della transazione è il Capitale e ciò che va determinato è il

Montante, ci interessa valutare l’Interesse maturato dal Capitale. Definiamo quindi Interesse la

differenza tra il Montante e il Capitale.

Quando l’elemento fondamentale della transazione è il Montante e ciò che va determinato è il

Capitale, ci interessa valutare lo Sconto effettuato sul Montante. Definiamo quindi Sconto la

differenza tra il Montante e il Capitale.

2) Definiamo tasso effettivo di interesse, relativo ad un determinato periodo, l’interesse per unità

di capitale impiegato dato dal rapporto: −

(, ) = = = −1

Tramite il tasso effettivo di interesse possiamo definire il fattore di capitalizzazione, ossia il

montante per unità di capitale impiegato dato dal rapporto:

(, ) = = 1 + (, )

Definiamo tasso effettivo di sconto, relativo ad un determinato periodo, lo sconto per ogni unità di

montante dato dal rapporto: −

(, ) = = =1−

Tramite il tasso effettivo di sconto possiamo definire il fattore di attualizzazione. Data una durata

(x,y) il fattore di attualizzazione è il valore in x corrispondente ad un’unità di montante in y. È dato

dal rapporto:

(, ) = = 1 − (, )

RELAZIONE FRA TASSO DI INTERESSE E TASSO DI SCONTO:

È possibile trovare una relazione che lega i tassi e in modo da poter passare facilmente dall’uno

all’altro. Prendendo in considerazione le due relazioni:

= (1 + ) = ∗

= (1 − ) = ∗

Supponendo che sia il fattore di attualizzazione che di capitalizzazione si riferiscano alla medesima

operazione finanziaria, procedendo per sostituzione possiamo ottenere: (1

= (1 + )(1 − ), 1 = + )(1 − )

semplificando per entrambi i membri otteniamo: 1

=

Essendo che il fattore di attualizzazione è il reciproco del fattore di montante e quindi

= =

Esplicitando prima per e poi per avremo che: e

1− 1−

3) Una legge finanziaria di capitalizzazione esprime il montante M in funzione del capitale iniziale C

= ∗ ().

e del tempo t tale per cui

4) Prima di tutto bisogna definire cosa è un regime finanziario. Un regime finanziario è una

famiglia di funzioni che seguono la stessa legge e che soddisfa 3 condizioni fondamentali:

= 0 (0) = 1;

1. = 1 (1) = 1 + ;

2. )

∀ , ∈ ℎ ( < ( )

3. (funzione strettamente crescente)

1 2 1 2

I principali regimi finanziari sono il RIS (Regime dell’Interesse Semplice), il RIC (Regime

dell’Interesse Composto) e il RIA (Regime dell’Interesse Anticipato).

Per quanto riguarda i regimi di capitalizzazione abbiamo:

1. L’interesse semplice che è un regime lineare.

(1

= ∗ + ∗ ), () = 1 + ∗ .

2. L’interesse composto che è un regime esponenziale.

(1 (1

= ∗ + ) , () = + ) .

3. L’interesse anticipato che è un regime iperbolico.

1 1

= , () = .

(1 − ∗ ) (1 − ∗ )

Per quanto riguarda i regimi di attualizzazione abbiamo:

(0) =

1. Sconto semplice: (1+∗) −

(1

(0) = ∗ + )

2. Sconto composto: (0) = ∗ (1 − ∗ )

3. Sconto commerciale:

5) CONFRONTO TRA I 3 REGIMI:

Se dovessi decidere di investire oggi un Capitale utilizzando i 3 diversi regimi (RIS, RIC e RIA) con

tassi annui differenti, sceglierei quel regime che mi fornisce, alla scadenza, il montante maggiore.

Nel caso in cui il tasso fosse lo stesso in tutti e 3 i regimi, possiamo fare un confronto: 1

= (1 + ) = (1 + ) =

- - - 1−

Per definizione, tutti e 3 soddisfano: ′ ()

(0) = 1 (1) = 1 + > 0

1. 2. 3.

Le 3 funzioni sono tutte funzioni crescenti.

() ()

()

6) Nello stesso regime, sono equivalenti tassi espressi in diverse unità di tempo che, applicati allo

, .

stesso Capitale restituiscono lo stesso Montante per la stessa durata

Tassi in regimi diversi sono equivalenti se tramite il fattore di capitalizzazione, applicato allo stesso

, () .

Capitale determinano lo stesso valore a scadenza per la stessa durata

+ ∆,

7) Considerando l’interesse in un intervallo di tempo che va da a possiamo definire

l’intensità d’interesse, data dal rapporto:

(, + ∆) ( + ∆) − () 1

= ∗

∆ ∆ ()

Da essa ricaviamo il tasso d’interesse istantaneo d’interesse, o forza d’interesse, che è dato dal

∆ → 0

limite per dell’intensità d’interesse.

La forza d’interesse nei vari regimi è data da:

() = 1 + () =

RIS) 1+

() = (1 + ) = () = = ln (1 + )

RIC) 1

(1

() = () = − ) =

RIA) 2

(1−)

1− 1−

8) Un regime finanziario è scindibile quando vale:

(, ) = (, ) ∗ (, )

Ossia che il Montante di un’operazione finanziaria dipende solo dalla durata e non da eventuali

operazioni di investimento e disinvestimento, o operazioni di capitalizzazione intermedie.

(, )