Domande chiuse del Paniere di Matematica e Statistica

INTEGRALI INDEFINITI E INTEGRAZIONE

85. L'integrale indefinito ∫(x^2+√x)/x dx è uguale a ax^2/2+2√x +c

86. L'integrale indefinito ∫e^x^2+x (2x+1) dx è uguale a e^x^2+x+c

87. L'integrale indefinito ∫(3√x^2+4√x^3) dx è uguale a 3/5 3√x^5+4/7 4√x^7+c

88. L'integrale indefinito ∫x ln(x) dx è uguale a ax^2/2 (lnx-1/2)+c

89. L'integrale indefinito ∫x sinx dx è uguale a -x cosx+sinx+c

90. L'integrale indefinito ∫x e^-x dx è uguale a -(x+1)e^-x+c

91. L'integrale indefinito ∫x/(x^2+x-2) dx è uguale a 1/3 ln|x-1|+2/3 ln|x+2|+c

92. L'integrale indefinito ∫1/(x+2)^2 dx è uguale a -1/(x+2) +c

93. L'integrale indefinito ∫2/(2x-1) dx è uguale a ln|2x-1|+c

94. L'integrale indefinito ∫√(16-x^2) dx è uguale a 8 arcsin(x/4)+x/2 √(16-x^2)+c

95. L'integrale indefinito ∫1/√(4-x^2) dx è uguale a arcsin(x/2)+c

L'integrale definito da -2 a 2 di |x| è uguale a 4.97.

L'integrale definito da -π/4 a π/4 di tan(x) è uguale a 0.98.

L'integrale definito da -1 a 1 di e-x è uguale a e-1/e.

AREE E VOLUMI

Il solido ottenuto ruotando il grafico di y=x^2+1, con -1≤x≤1, attorno all'asse x ha volume uguale a 56/15π.

L'area racchiusa dai grafici di f(x)=ex, g(x)=e-x, la retta x=-1 e la retta x=1 è uguale a 2e+2/e -4.

L'area racchiusa dalla retta y=x-3, gli assi cartesiani e la retta x=9 è uguale a 45/2.

INTEGRALI IMPROPRI

L'integrale improprio da 1 a +∞ di (x+2)/(3x^2+2x) diverge a +∞.

L'integrale improprio da 0 a 1 di sinx/x^(3/2) converge a un valore positivo.

L'integrale improprio da 1 a +∞ di 1/(x√x) converge a un valore positivo.

DIFFERENZIALI

Il problema di Cauchy y'=yx, y(0)=1 ha soluzione y(x)=ex^2/2.

L'equazione differenziale y'=e-yx ha soluzione y(x)=ln(x^2/2 +c), c∈R.

Il problema di Cauchy y' = y²x², y(0) = 1 ha soluzione y(x) = 3/(3 - x³).

L'equazione differenziale lineare y' + xy = 2x ha soluzione y(x) = 2 + ce^-x2/2, c ∈ R.

L'equazione differenziale lineare y' + y/x = x² ha soluzione y(x) = x³/4 + c/x, c ∈ R.

L'equazione differenziale y' + ysin(x) = sin(x) ha soluzione y(x) = cecos(x) + 1, c ∈ R.

L'equazione differenziale y'' + 4y' + 4y = 0 ha soluzione y(x) = c₁e^-2x + c₂xe^-2x, c₁, c₂ ∈ R.

L'equazione differenziale y'' + 2y' - 3y = 0 ha soluzione y(x) = c₁e^x + c₂e^-3x, c₁, c₂ ∈ R.

L'equazione differenziale y'' + 2y' + 2y = 0 ha soluzione y(x) = c₁e^-xcos(x) + c₂e^-xsin(x), c₁, c₂ ∈ R.

L'equazione differenziale y'' - 2y' + y = 3x ha soluzione y(x) = c₁e^x + c₂xe^x + 3x + 6, c₁, c₂ ∈ R.

L'equazione differenziale y'' + y' - 6y = e^x ha soluzione y(x) = c₁e^2x + c₂e^-3x - 1/4 e^x, c₁, c₂ ∈ R.

L'equazione differenziale 2y'' + 2y' + y = x² ha soluzione y(x) = c₁e^-xcos(x) + c₂e^-xsin(x) + x²/4x + 4.

1. c1, c2∈RVETTORI
2. Quale dei seguenti vettori è un versore? v=(√2/2, -√2/2, 0)
3. Sia v=(2, -3, -2) e k=1/2. Allora k*v=(1, -3/2, -1)
4. Siano v=(2, -1, -1) e w=(0, 1, 3). Allora il prodotto scalare v•w è uguale a -4
5. Quale tra le seguenti matrici è una matrice simmetrica?

   1 0 3
   0 2 -2
   3 -2 -1
   

6. Sia A una matrice diagonale 2x2 e sia B una matrice diagonale 3x3. Allora la matrice A+B non esiste
7. La trasposta della matrice A=

   5 -1 1
   2 -4 6
   

   è la matrice AT=

   5 2
   -1 -4
   1 6
   

8. La matrice A=

   -3 1 6
   

   è singolare
9. La matrice A=

   1 0 -1 0
   0 2 1 1
   1 -1 0 -1
   -1 0 0 2
   

   ha determinante uguale a -1
10. La matrice A=

    1 2 1
    -1 0 2
    1 4 1
    

    ha determinante uguale a -6
11. La matrice A =

    -2 1 1
    -1 1/2 1/2
    -4 2 2
    

    ha rango 1
12. Una generica matrice 4x4 può avere al massimo rango 4
13. La matrice A=

    1 0 -1 2
    -1 0 -2 4
    

    ha rango 2
14. Data la matrice A=

    1 -2 -3
    2 0 1
    -1 1 1
    

    siano v1, v2 e v3 i vettori le cui coordinate sono rispettivamente

uguali alle entrate della prima, della seconda e della terza colonna di A. Allora i tre vettori sono linearmente indipendenti in R3.

I vettori v=(2, -1, 0), w=(-1, 1, 1) e u=(3, -2,-1) in R3 sono linearmente dipendenti.

Dati i vettori v=(1, 1, 1) e w=(-2, -2, -2) in R3, è possibile trovare una loro combinazione lineare nulla con coefficienti non tutti uguali a zero.

SISTEMI LINEARI

Il sistema lineare x+y-z=1, 2x-y =-1, x+2z =0 è determinato.

Il sistema lineare x+2y-3z=0, 2x-y =0 ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro.

Il sistema lineare 2x-y=1, 3x+y=0, x-2y=0 non ammette soluzione.

La trasformazione L(x,y,z)=(2x-y-z, x+3y+z) è una trasformazione lineare da R3 in R2.

Sia A =
1 1 -3
2 -1 4
-1 0 2

La trasformazione lineare L(v)= Av è una trasformazione da R2 in R4.

La trasformazione lineare L(x, y, z)=(2x-2y, x+y+z) ha nucleo Ker(L)={(x, y, z)∈R3: 2x-2y=0, x+y+z=0}

STATISTICA

I dati X={1,2,1,-3,0,-1,2,2,0,-3} presentano una distribuzione unimodale.