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DOMANDE APERTE DI MATEMATICA E STATISTICA
Prof. Catania Davide Aggiornate a Maggio 2023 1. Fornisci le definizioni di funzione e di grafico di una funzione.Dati un insieme A di partenza (dominio) e un insieme B di arrivo (codominio) una funzione è la relazione tra i due insiemi che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B. Il grafico di una funzione è l'insieme di punti dato delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini.
2. Definisci immagine e controimmagine di una funzione.L'immagine y di un elemento x appartenente al dominio della funzione è l'elemento che corrisponde o che viene associato a x nel codominio dopo aver applicato la funzione su x (y=f(x)). La controimmagine è l'insieme degli elementi del dominio che una funzione associa a un sottoinsieme del codominio.
3. Fornisci la definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biettiva.Una funzione si dice iniettiva se ogni
immagine non ammette più di una controimmagine; comunque si scelgano due elementi che hanno la stessa immagine essi devono necessariamente essere gli stessi; nella rappresentazione cartesiana, tracciando rette orizzontali possono intersecare la funzione in al più un punto. Una funzione f si dice suriettiva se per ogni elemento b del codominio B esiste almeno un elemento a del dominio A tale per cui b è l'immagine di a mediante la funzione f, ossia b=f(a); nella rappresentazione cartesiana, tracciando rette orizzontali intersecano sempre la funzione in almeno un punto. Una funzione biettiva è una funzione sia iniettiva che suriettiva; nella rappresentazione cartesiana, tracciando rette orizzontali, esse intersecano la funzione sempre e solo in un punto.
4. Spiega sotto quali condizioni è possibile comporre due funzioni e, in tal caso, cosa si intende per funzione composta. È possibile comporre due funzioni, per esempio la funzione g e la funzione f,
sel’immagine di f è contenuta nel dominio di g, se questa condizione è verificata allora le due funzioni sono componibili nell’ordine g composto f; nell’ordine inverso (fcomposto g) la condizione di componibilità è che l’immagine di g sia contenuta nel dominio di f. Per funzione composta si intende, nel primo caso, applicare la funzione g all’immagine di f ovvero g(f(x)); nel secondo caso invece si intende applicare la funzione f all’immagine di g ovvero f(g(x)).
5. Determina l'equazione della retta r perpendicolare a y=2x-1 passante per (3,-1). Rappresenta r.
La retta perpendicolare avrà coefficiente angolare antireciproco quindi m=-1/2. Per trovare l'equazione della retta perpendicolare a quella data e passante per il punto (3,-1) basta sostituire i valori di x e di y nell'equazione della retta; conoscendo il coefficiente angolare (m=-1/2) l'unica incognita rimane q. -1=(-1/2)(3)+q q=-1-(3/2) q=-5/2
la retta perpendicolare a y=2x-1 e passante per (3,-1) ha equazione y=-1/2x-5/26.
Calcola la distanza del punto P=(1,0) dalla retta passante per A=(-1,3) e B=(2,-1).
La formula per trovare l'equazione della retta passante per due punti è (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) quindi (x+1)/(2+1)=(y-3)/(-1-3) da cui ottengo 4x+3y-5=0.
Ora per trovare la distanza del punto dalla retta devo utilizzare la formula d(P,r)=|axp+byp+c|/sqrt(a^2+b^2) d(P,r)=|4+0-5|/sqrt(16+9) d(P,r)=1/5.7.
Rappresenta la parabola di equazione y=-3x^2+2x+1, dopo averne determinato vertice, asse e intersezioni con gli assi.
La x del vertice è data da -b/2a quindi x=-2/(2(-3))=1/3. La y del vertice è data da -delta/4a quindi y=-(4+12)/-12=16/12=4/3 oppure si può anche ricavare risolvendo la funzione per x=1/3. Il vertice della parabola ha quindi coordinate (1/3;4/3). L'asse della parabola è x=x del vertice ovvero x=1/3. L'intersezione con l'asse y si trova mettendo a sistema
L'equazione della parabola con x=0 è y=(-3)(0)^2+(2)(0)+1=1. Il punto (0;1) è l'intersezione con l'asse y. L'intersezione con l'asse x si trova mettendo a sistema l'equazione della parabola con y=0 quindi risolvendo l'equazione -3(x)^2+2x+1=0 (3x+1)(x-1)=0 da cui 3x+1=0 oppure x-1=0 quindi x=-1/3 oppure x=1 ho ottenuto due risultati quindi la parabola intersecherà l'asse x in 2 punti di coordinate (-1/3;0) e (1;0).
8. Calcola il limite per x che tende a 0+ di 1/(x^2-x). Giustifica tutti i passaggi e il risultato.
Il denominatore x^2-x tende a 0 da sinistra quando x tende a 0 da destra quindi una costante fratto 0 da sinistra fa meno infinito per cui il limite vale meno infinito.
9. Illustra le gerarchie degli infiniti e fornisci un esempio in cui può essere utilizzata per calcolare un limite che presenta una forma indeterminata.
Quando si deve risolvere un limite che tende ad infinito di funzioni
Diverse funzioni danno origine a forme indeterminate infinito su infinito, si deve tener conto che certe funzioni tendono ad infinito più velocemente rispetto ad altre così da poter considerare solo la funzione di gerarchia più alta e trascurare le altre. In ordine crescente di gerarchia le funzioni che tendono ad infinito più velocemente sono: funzioni logaritmiche, funzioni polinomiali e funzioni esponenziali. Le potenze con esponenti maggiori generano infiniti di ordine superiore e i logaritmi invece generano infiniti del medesimo ordine qualunque base del logaritmo si consideri. Un esempio di limite può essere il limite per x che tende a +infinito di (a^x)/(x^100) che darebbe come risultato +infinito/+infinito ed è quindi una forma indeterminata che la si può risolvere con la gerarchia degli infiniti considerando solo la funzione al numeratore che essendo esponenziale tende ad infinito più velocemente della funzione polinomiale che è al
Devo calcolare lim per x che tende a +infinito di f(x)+mx=lim per x che tende a +infinito di x+arctan(x)-x= lim per x che tende a+infinito di arctan(x)=π/2. L'equazione dell'asintoto obliquo destro è y=x+(π/2). Ora per calcolare q per l'asintoto obliquo sinistro devo calcolare lim per x che tende a -infinito di f(x)+mx=lim per x che tende a -infinito di x+arctan(x)-x=lim per x che tende a -infinito di arctan(x)=-π/2. L'equazione dell'asintoto obliquo sinistro è y=x-(π/2).
12. Calcola il limite per n che tende a +∞ di [(n+1)! sin(3/n^2)]/[(n-1)!]. Giustifica tutti i passaggi.
13. Fornisci la definizione di derivata di una funzione in un punto. La derivata di una funzione in un punto è il limite per l'incremento che tende a 0 del rapporto incrementale della funzione nel punto. f'(x0)= lim per h che tende a 0 di (f(x0+h)-f(x0))/h
14. Spiega come è possibile calcolare la derivata delle funzioni composte.
g(f(x)) e f(x)^(g(x)). La derivata della funzione g(f(x)) si calcola come il prodotto della derivata della funzione esterna con argomento la funzione interna per la derivata della funzione interna: g’(f(x))*f’(x). La derivata della funzione f(x)^(g(x)) si calcola come il prodotto tra la funzione composta per la derivata della funzione all’esponente: f(x)^(g(x))*f’(x). 15. Fornisci l'esempio di una funzione non derivabile in un punto, classificando il punto di non derivabilità. Giustifica tutte le affermazioni. Una funzione non è derivabile in un punto del suo dominio se i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale non sono finiti e uguali. Un esempio di funzione non derivabile in un punto è f(x)=|x|. Questa funzione non è derivabile nel punto x=0 in quanto il limite destro del rapporto incrementale in quel punto è +1 e quello sinistro è -1; siccome questi due limiti sono finiti ma assumono valori diversi, il punto x=0 è un punto di non derivabilità.è un punto angoloso. Se i due limiti fossero stati infiniti e di segno opposto sarebbe stato un punto di cuspide, e se fossero stati infiniti e dello stesso segno sarebbe stato un punto di flesso a tangente verticale.
16. Enuncia il teorema dell'Hopital.
Il teorema dell’Hopital si utilizza per risolvere limiti di rapporti di due funzioni che danno come forma indeterminata 0/0 oppure infinito/infinito. Le due funzioni devono essere derivabili e la derivata della funzione al denominatore non deve essere nulla; verificate queste ipotesi, il teorema dell’Hopital enuncia che il limite del rapporto delle funzioni è uguale al limite del rapporto delle rispettive funzioni derivate.
17. Scrivi gli sviluppi di McLaurin (o sviluppi di Taylor nell'origine) in tre casi: per una generica funzione f(x), per e^x e per arctan x.
Gli sviluppi di McLaurin di una funzione in un punto consentono di esprimere una funzione nell’intorno del punto scritta come un polinomio di
- Per una generica funzione f(x) lo sviluppo di McLaurin è la sommatoria di (((f^(n)*a)/n!)*(x-a)^n. Per la funzione e^x è la sommatoria di (x^n)/n! . Per la funzione arctan(x) è x-(x^3/3)+(x^5/5)-(x^7/7)+…
- Studia monotonia ed estremi relativi di y=x/(x^2+1), giustificando tutti i risultati.
- Studia gli estremi assoluti di f(x)= (9-x^2)^(1/2) / (x+4). Giustifica tutti i risultati.
- Studia concavità e punti di flesso di y=x^3-x^2, giustificando ogni passaggio.
- Studia dominio, intersezioni, segno, limiti, asintoti, monotonia ed estremi, concavità e flessi, e infine traccia il grafico qualitativo di f(x)=x^3-3x. Giustifica tutti i risultati.
La funzione è polinomiale quindi il dominio è tutto R. Per trovare l'intersezione con l'asse x pongo x^3-3x=0 x(x^2-3) x=0 oppure x^2=3 x=-radice3 o x=rad
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