Domande aperte del Paniere di Matematica e Statistica

Domande aperte matematica e statistica

Definizione di funzione e grafico della funzione

1. Fornisci le definizioni di funzione e di grafico di una funzione. Dati un insieme A di partenza (dominio) e un insieme B di arrivo (codominio), una funzione è la relazione tra i due insiemi che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B. Il grafico di una funzione è l’insieme di punti dato delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini.

Immagine e controimmagine di una funzione

2. Definisci immagine e controimmagine di una funzione. L’immagine di un elemento appartenente al dominio della funzione è l’elemento che corrisponde o che viene associato nel codominio dopo aver applicato la funzione. La controimmagine è l’insieme degli elementi del dominio che una funzione associa a un sottoinsieme del codominio.

Funzioni iniettive, suriettive, biettive

3. Fornisci la definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biettiva. Una funzione si dice iniettiva se ogni immagine non ammette più di una controimmagine; comunque si scelgano due elementi che hanno la stessa immagine essi devono necessariamente essere gli stessi; nella rappresentazione cartesiana, tracciando rette orizzontali, esse possono intersecare la funzione in al più un punto. Una funzione si dice suriettiva se per ogni elemento del codominio esiste almeno un elemento del dominio tale per cui nella rappresentazione cartesiana, tracciando rette orizzontali, esse intersecano sempre la funzione in almeno un punto. Una funzione biettiva è una funzione sia iniettiva che suriettiva; nella rappresentazione cartesiana, tracciando rette orizzontali, esse intersecano la funzione sempre e solo in un punto.

Condizioni per comporre due funzioni

4. Spiega sotto quali condizioni è possibile comporre due funzioni e, in tal caso, cosa si intende per funzione composta. È possibile comporre due funzioni se l’immagine di una è contenuta nel dominio dell'altra. Se questa condizione è verificata, allora le due funzioni sono componibili nell’ordine indicato. Per funzione composta si intende, nel primo caso, applicare la funzione all’immagine dell'altra funzione, ad esempio (f(g(x))).

Equazione della retta perpendicolare

5. Determina l'equazione della retta perpendicolare a y=2x-1 passante per (3,-1). Rappresenta la retta. La retta perpendicolare avrà coefficiente angolare antireciproco quindi m=-1/2. Per trovare l’equazione della retta perpendicolare a quella data e passante per il punto (3,-1), basta sostituire i valori di x e di y nell’equazione della retta; conoscendo il coefficiente angolare (m=-1/2) l’unica incognita rimane q. -1=(-1/2)(3)+q, quindi q=-1-(3/2), q=-5/2. La retta perpendicolare a y=2x-1 e passante per (3,-1) ha equazione y=-1/2x-5/2.

Distanza di un punto dalla retta

6. Calcola la distanza del punto P=(1,0) dalla retta passante per A=(-1,3) e B=(2,-1). La formula per trovare l’equazione della retta passante per due punti è (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1), quindi (x+1)/(2+1)=(y-3)/(-1-3) da cui ottengo 4x+3y-5=0. Ora, per trovare la distanza del punto dalla retta, devo utilizzare la formula d(P,r)=|axp+byp+c|/√(a²+b²), d(P,r)=|4+0-5|/√(16+9), d(P,r)=1/√5.

Rappresentazione della parabola

7. Rappresenta la parabola di equazione y=-3x²+2x+1, dopo averne determinato vertice, asse e intersezioni con gli assi. La x del vertice è data da -b/2a quindi x=-2/(2(-3))=1/3. La y del vertice è data da -delta/4a quindi y=-(4+12)/-12=16/12=4/3. Il vertice della parabola ha coordinate (1/3;4/3). L’asse della parabola è x=x del vertice ovvero x=1/3. L’intersezione con l’asse y si trova mettendo a sistema l’equazione della parabola con x=0 quindi risolvendo l’equazione y=(-3)(0)²+(2)(0)+1=1. Il punto (0;1) è l’intersezione con l’asse y. L’intersezione con l’asse x si trova mettendo a sistema l’equazione della parabola con y=0 quindi risolvendo l’equazione -3x²+2x+1=0, (3x+1)(x-1)=0, quindi x=-1/3 oppure x=1. Ho ottenuto due risultati, quindi la parabola intersecherà l’asse x in 2 punti di coordinate (-1/3;0) e (1;0).

Calcolo di un limite

8. Calcola il limite per x che tende a 0+ di 1/(x²-x). Giustifica tutti i passaggi e il risultato. Il denominatore tende a 0 da sinistra quando x tende a 0 da destra, quindi un numero fratto 0 da sinistra fa meno infinito.

Gerarchie degli infiniti

9. Illustra le gerarchie degli infiniti e fornisci un esempio in cui può essere utilizzata per calcolare un limite che presenta una forma indeterminata. Quando si deve risolvere un limite che tende ad infinito di funzioni diverse che danno origine a forme indeterminate infinito su infinito, si deve tener conto che certe funzioni tendono ad infinito più velocemente rispetto ad altre così da poter considerare solo la funzione di gerarchia più alta e trascurare le altre. In ordine crescente di gerarchia le funzioni che tendono ad infinito più velocemente sono: funzioni logaritmiche, funzioni polinomiali e funzioni esponenziali. Va tenuto presente anche che potenze con esponenti maggiori generano infiniti di ordine superiore e che i logaritmi generano infiniti del medesimo ordine qualunque base del logaritmo si consideri. Un esempio di limite può essere il limite per x che tende a +∞ di (a*x)/(x^100), che darebbe come risultato +∞/+∞ ed è una forma indeterminata che la si può risolvere con la gerarchia degli infiniti considerando solo la funzione al numeratore perché essendo esponenziale tende ad infinito più velocemente della funzione polinomiale che è al denominatore e che si può quindi non considerare; così facendo si ha che il limite per x che tende a +∞ di (a*x)/(x^100)=+∞.

Limiti notevoli

10. Scrivi i limiti notevoli per sin x, e^x e ln(1+x) quando x tende a 0. Il limite per x che tende a 0 di sinx è 0. Il limite per x che tende a 0 di e^x è 1 e il limite di ln(1+x) per x che tende a 0 è 0.