Domande aperte del Paniere di Matematica e Statistica

positività, l'equazione associata ha come soluzioni -1 e 1, quindi la disequazione risulta positiva se è <-1 e se è >1. Quindi posso affermare che la funzione è crescente quando è minore di -1, decrescente da -1 a 1 e di nuovo crescente quando è maggiore di 1. Inoltre, i punti -1 e 1 sono estremi relativi, rispettivamente -1 è un punto di massimo relativo e +1 è un punto di minimo relativo. Posso affermare anche che fino a 1 la concavità è verso il basso e da 1 all'infinito è verso l'alto. Per cercare i punti di flesso trovo la derivata seconda che è 6x, la pongo uguale a 0 che mi dà come risultato x=0 e calcolo la derivata seconda per x=1 e x=-1 da cui ottengo rispettivamente 6 e -6. Quindi, visto che la derivata seconda è positiva per x>0 e negativa per x<0, il punto x=0 è un punto di flesso. Per trovare anche la y del punto, sostituisco la x con 0 nell'equazione.

22. Fornisci le definizioni di primitiva e di integrale indefinito.

La funzione primitiva F(x) di una funzione f(x) è una funzione derivabile la cui derivata è f(x) quindi F'(x)=f(x). L'integrale indefinito è l'insieme di tutte le primitive di una funzione.

23. Aiutandoti con un esempio, illustra la tecnica di integrazione per parti.

L'integrale del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della prima funzione per la primitiva della seconda meno l'integrale del rapporto tra la derivata della prima funzione e la primitiva della seconda. Un esempio di integrazione per parti è l'integrale da 0 a 1 di x*e^x in dx; la derivata di x è 1 e la primitiva di e^x è e^x quindi l'integrale di partenza risulta uguale a x*e^x per l'integrale da 0 a 1 di 1*e^x in dx.

24. Spiega come ricavare la primitiva di una funzione razionale fratta con denominatore data da un polinomio di

secondo grado condiscriminante (delta) nullo.Il denominatore, avendo delta =0 si potrà riscrivere come un quadrato di un binomio e la frazione si potrà riscrivere con al denominatore il quadrato del binomio ma se così non si riesce lo stesso a ricondursi a integrali immediati si può riscrivere la frazione come somma di due frazioni: entrambe con denominatore la base del quadrato del binomio ma la prima con esponente 1 e la seconda con esponente 2; una volta arrivati a questo punto si ci potrà ricondurre a integrali immediati oppure dividere le due frazioni e risolverle separatamente.

25. Utilizza una sostituzione goniometrica per ricavare una primitiva di f(x)=(1-x^2)^(1/2).

26. Illustra il teorema fondamentale del calcolo integrale e spiega come può essere utilizzato per calcolare un integrale definito.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale enuncia che se f è una funzione limitata e integrabile nell'intervallo a,b allora la funzione

integrale F(x) è continua nell'intervallo a,b e se f(x) è continua in (a,b), F(x) è derivabile in ogni punto. E se f ammette una primitiva G(x), l'integrale che va da a a b di f è uguale a G(b)-G(a). Quindi questo teorema permette di calcolare un integrale definito calcolando una primitiva mediante un integrale indefinito e facendola differenza tra la primitiva valutata nel secondo estremo e la primitiva valutata nel primo estremo di integrazione.

27. Spiega come possono essere usati gli integrali definiti per il calcolo delle aree. Data una funzione f(x) continua in (a,b) l'area sottesa dal suo grafico, dall'asse delle x e dalle rette x=a e x=b non è altro che l'integrale del valore assoluto di f(x) con estremi a e b.

28. Spiega cosa si intende per integrale improprio. In quali casi l'integrale fra 0 e 1 di f(x)=1/x^α converge? Data una funzione f:(a,+infinito) che è integrabile nell'intervallo (a,c) per ogni

matrice quadrata. Una matrice quadrata si dice simmetrica ad un'altra matrice se e solo se quella matrice è la sua trasposta.

35. Scambiando due righe (o in alternativa due colonne) di una matrice quadrata, il determinante cambia di segno. Enuncia altre tre proprietà del determinante.

Altre proprietà del determinante sono che esso non cambia se si scambiano le righe con le colonne quindi il determinante è lo stesso per matrici trasposte. Se tutti gli elementi di una intera riga o di un'intera colonna sono nulli, allora il valore del determinante è nullo. Se si moltiplica ogni elemento di un'intera riga o di un'intera colonna per un numero, anche il determinante risulta essere moltiplicato per quel numero.

36. Definisci il rango di una matrice e spiega il teorema degli orlati.

Il rango di una matrice è l'ordine massimo di un minore non nullo. Il teorema degli orlati è utilizzato per determinare il rango delle matrici ed enuncia che, una

1. Cosa significa che dei vettori sono linearmente indipendenti? Come si può verificare l'indipendenza attraverso l'uso delle matrici?

38. Enuncia il teorema di Rouché-Capelli.

1. La Moda è il valore che compare più frequentemente in un insieme di dati. Può essere calcolata per dati di tipo categorico o discreto, come ad esempio le categorie di un sondaggio o i numeri di una serie di lanci di un dado.

L'esempio di una distribuzione bimodale di dati. La moda può essere calcolata per dati qualitativi o quantitativi ed indica la classe con frequenza assoluta maggiore. Una distribuzione bimodale si ha quando due classi di dati hanno uguale frequenza assoluta ed è anche maggiore rispetto a tutte le altre; un esempio di distribuzione bimodale è su un campione di 10 persone, 3 hanno gli occhi azzurri, 3 hanno gli occhi marroni, 2 hanno gli occhi verdi e 1 ha gli occhi neri, in questo caso la moda è data dalle due classi occhi azzurri e occhi marroni, essendo le due classi in cui si riscontra maggiore ed uguale frequenza assoluta.

41. Spiega come si calcola la mediana a seconda del tipo di dati. La mediana è un indice di tendenza centrale ed indica il valore che sta al centro di una