Disegno macchine - Appunti di teoria parte 5

DISEGNO DI MACCHINE

PROF. F. CESARI

PARTE 5

Appunti di teoria del corso AA 2016/17

Appunti non ufficiali degli studenti

Prefazione

Il presente lavoro vuole riprendere gli argomenti affrontati durante le lezioni del corso di Disegno di Macchine M tenuto dal prof. Cesari e reperibili nei volumi dell’autore:

• Introduzione al metodo degli elementi finiti, Pitagora Editrice Bologna
• Calcolo matriciale delle strutture, Pitagora Editrice Bologna
• Esercizi di meccanica delle strutture. Esercizi avanzati (vol 5), Pitagora Editrice Bologna
• Esercizi di meccanica delle strutture. Metodo degli elementi finiti (vol 6), Pitagora Editrice Bologna

ampliandone nel dettaglio i passaggi logici – matematici e approfondendo alcune tematiche, al fine di avere uno strumento di base utile sia per affrontare gli esercizi assegnati con maggior consapevolezza, sia come base teorica per affrontare l’esame.

Nella redazione di questi appunti, oltre i volumi già citati del prof. Cesari, per la parte di scienza delle costruzioni e di risoluzione analitica delle strutture sono state consultate per la maggior parte le seguenti opere:

• O. Belluzzi, Scienza delle costruzioni vol. 1, 2, 3, 4, Zanichelli
• S. Timoshenko, J.N. Goodier, Theory of elasticity, McGraw-Hill
• S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, McGraw-Hill
• S. Timoshenko, J.M. Gere, Theory of elastic stability, McGraw-Hill

mentre per la parte del metodo agli elementi finiti, si è fatto riferimento principalmente al seguente volume

• R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, R. J. Witt, Concept and application of finite analysis, John Wiley & Sons

ai quali si rimanda per eventuali chiarimenti e/o approfondimenti.

Confidando che possiate apprezzare il nostro lavoro, vi auguriamo buono studio!

Gli autori

Francesco Falchieri Edoardo De Renzis Andrea Cosentino

De cui si può scrivere:

^{M t}_T = ^T_p

che fornisce la tensione tangenziale in un punto generico a distanza r dall’asse O.

Le tensioni tangenziali variano con legge lineare da un valore nullo in corrispondenza dell’asse O a quello massimo della fibra più lontana a distanza R.

Perciò per r = R →

^D₂

^T_MAX = ^{M t}_T = ^{M T} = ^{M t}

in cui ^{I p}_D/2 = W t (MODULO DI RESISTENZA A TORSIONE)

Inoltre, poiché per una sezione circolare

I_p = ^{π D⁴}₃₂

si ottiene l’espressione della tensione tangenziale massima per torsione per una sezione circolare

T_MAX = ^{16 M t}_{π D³}

L’angolo totale di torsione tra due sezioni a distanza l

ψ = ^{M t}_{G - p} l = Θ - l

e nel contorno della sezione circolare diventa ψ = ^{32 M t l}_{G π D⁴}

Considerando la sezione sottoposta al momento torcente Mt_t, ogni elemento superficiale dA = s·dc è soggetto alla forza risultante τ·dA = τ·s·dc

La somma dei momenti di tutte queste forze infinitamente piccole rispetto ad un qualsiasi punto o del piano deve fare equilibrio al momento torcente Mt_t

∫_C τ·s·dc = Mt_t (il prodotto τ·s è costante)

τ·∫_C s·dc = Mt_t se s ·dA = dc ∴ 2A τ·s e dove sottol'ocra del margini vi ottiene il tëpido dell'area in calcolare la di rillerezza m tentigine l'integrale ∫_C s·dc e il doppio dell'area ι racchiusa dal contorno medio c delle sezioni, si ottiene quindi la formula di Bredt per le sezioni chiuse di spessore sottile.

La formula di Bredt vale anche quando lo spessore della sezione non è perfettamente uniforme ma varia leggermente. In questo caso, la formula ideale di massimi tensioni tangenziali che si riscontrano in corrispondenza dello spessore più piccolo s = smin.

I profili chiusi come i tubolari sono seazioni particolarmente abotte a resistere e sardon da tensisoni.

Ciascuno dei due integrali di X e Y contribuisce con una metà della coppia, quando uno della coppia è dovuto alla componente trasversale e l’altra metà a C_Y.

La soluzione richiede che le fibre allo estremo delle barre siano distribuite in maniera uniforme, ma l’applicazione pratica non è limitata a questi casi.

Infatti in una barra lunga e soggetta a tensioni ad una sufficiente distanza dello estremo, le tensioni dipendono solo dell’intensità della coppia M_f, i ...... sono praticamente indipendenti dal modo in cui gli sforzi sono distribuiti allo estremo.

• ANALOGIA TERMICA

Dalla,

∇²Φ + zC_q = 0

si puo notare che il problema puo essere studiato ricorrendo alla analogia con il problema termico, dove

• Φ è la temperatura;
• zC_q è la generazione di calore.

Si che quindi

K ∇²T + Q = 0 ⟹ ∇²T + Θ/K = 0

L’equazione di equilibrio per l’elemento è

KΦ = F

dove:

K = ∫_A B^T • B dA matrice di conducibilità

F = ∫_A zC_q N dA vettore di generazione di calore

Usando come condizione di contorno la soluzione per una

sezione rettangolare, tratto,

, che corrisponde alla

bisaccia dell’angolo ad una certa distanza dall’angolo, l’equazione

della tensione può essere assunta:

_τl²=_τl^z2

Integrandola si ha:

=> _τ^l=^A_r-^τ_cc dove A è una costante di integrazione.

Per determinare ϕ A, assumiamo che lo sforzo di taglio

diventi nullo nel punto o_j,

=^A_e^+c2=0

oppure

r→o+^c₂

=> A=

Sostituendo nell’espressione di τ e ponendo r=a, si ha

A => _τ^*=^τl_r^c

Ae+c22=0

= ^τl1_e^c++ec±1 = A

=>^τMAX

Sostituendo nell’espressione di τ e ponendo r=a, si ha

τMAX=τco+cl2-τ* = τl

^τ_c = 1 =