Disegno di Macchine - Appunti di teoria parte 3

DISEGNO DI MACCHINE

PROF. F. CESARI

PARTE 3

Appunti di teoria del corso AA 2016/17

Appunti non ufficiali degli studenti

Prefazione

Il presente lavoro vuole riprendere gli argomenti affrontati durante le lezioni del corso di Disegno di Macchine M tenuto dal prof. Cesari e reperibili nei volumi dell’autore:

• Introduzione al metodo degli elementi finiti, Pitagora Editrice Bologna
• Calcolo matriciale delle strutture, Pitagora Editrice Bologna
• Esercizi di meccanica delle strutture. Esercizi avanzati (vol 5), Pitagora Editrice Bologna
• Esercizi di meccanica delle strutture. Metodo degli elementi finiti (vol 6), Pitagora Editrice Bologna

ampliandone nel dettaglio i passaggi logici – matematici e approfondendo alcune tematiche, al fine di avere uno strumento di base utile sia per affrontare gli esercizi assegnati con maggior consapevolezza, sia come base teorica per affrontare l’esame.

Nella redazione di questi appunti, oltre i volumi già citati del prof. Cesari, per la parte di scienza delle costruzioni e di risoluzione analitica delle strutture sono state consultate per la maggior parte le seguenti opere:

• O. Belluzzi, Scienza delle costruzioni vol. 1, 2, 3, 4, Zanichelli
• S. Timoshenko, J.N. Goodier, Theory of elasticity, McGraw-Hill
• S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, McGraw-Hill
• S. Timoshenko, J.M. Gere, Theory of elastic stability, McGraw-Hill

mentre per la parte del metodo agli elementi finiti, si è fatto riferimento principalmente al seguente volume

• R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, R. J. Witt, Concept and application of finite analysis, John Wiley & Sons

ai quali si rimanda per eventuali chiarimenti e/o approfondimenti.

Confidando che possiate apprezzare il nostro lavoro, vi auguriamo buono studio!

Gli autoriFrancesco FalchieriEdoardo De RenzisAndrea Cosentino

Le deformazioni lungo z ed ε_z vale quindi

ε_z = - ^ɛ/₁ (σ_x + σ_y ) + α (T- T₀), di solito trascurabile.

Considerando quindi σ_x = σ_y = σ_y (teorema di momento piano) ≤ 200 MPa per un acciaio si ha

ε_z = - 2 ^υ/₁ E (σ_y = - ^{2 (0.3) 200 x 10^6}/₁ _{200 x 10^3} = - 6 x 10^-4

Questo tipo di modello non connere unato nell'analisi di lastra piano al piccolo pensere, caricate nel piano rispetto delle parti (x,y)

1) ²/_1+y² [E_{(∂u/∂x+∂v/∂y)}] + ∂/∂y [E_2(1+y)(∂u/∂y+∂v/∂x)] + bx/G = 0

perdendo il ➜ jm/g

perche cosi

E/1-y² = E/2(1-y)

X ➜ = 2/1-y

E ➜ G/1-y

2/(1-y) [∂²u/∂x²+∂²v/∂xy] + 6 [∂²u/∂y²+∂²v/∂xy] + bx/G = 0

x ∂²u/∂x² + 2v/1+y ∂²u/∂xy + ∂v/∂u ∂²/∂xy + bx/G = 0

2/(1+y) ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²v/∂xy + bx/G = 0

2/(1+y) ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + 1+y/1-y ∂²u/∂xy + bx/G = 0

Volendo introdurre l'operatore lèpcléo iorris sommisria il termine 2/(1+y) ∂²u/∂x² il termine

∂²u/∂x² × ∂²u/∂x² = -2/1-y ∂²u/∂x² X = 2-l+y/1+y + 1+y/1-y

un lo prim gomuzo di equilibro appis resens como

∂²U/∂x² + ∂²u/∂y² + 1/1-y ∂²u/∂x² ∂v/∂x^y + ∂x/∂y

∇²u + 1+y/1-y 2(∂u/∂x ∂u/∂y) + bx/G = 0

1^° equazione di NAVIER

2)

∂/∂y [E_1+y² (∂u/∂x+∂v/∂y)] + ∂/∂x [E_2(1+y) (∂u/∂y+∂v/∂x)] + by/G = 0

6 ∂²/(1-y)² (∂²v/∂xy ∂²u/∂y²) + E ∂²u/∂xy

6 ∂²v/∂x² 6 ∂²/∂y² 6 ∂²u/∂xy + 3 ∂²v/∂x² + 3 ∂²u/∂xy = 0

2 ²/∂x² ∂²u/∂y² ∂2u/∂v 2v/1-y ∂²u/∂xy + bx/G = 0

2 ∂²+/1-y ∂²/∂y 1+y/1-y (∂u/∂y) (∂x/∂xy + ∂u/∂xy) ∂xy ∂y v + by/G = 0

∇²u + 1+y/1-y ∂(∂u/∂y) (∂∂u/∂v) + by/G = 0

2^°equazione di NAVIER

Si considera piccolo l'alzamento, in modo da considerare un generico

fino prudente alzamento del carriere.

In base a quanto assunto, gli spostamenti e il piano sopra fermano delle

sole variabili x e y e possono essere considerati sovraposti con quelli

del piano medio della lastra di coordinate z = 0, ossia:

w = w(x, y)

Gli spostamenti u lungo x e v lungo y dei punti non appartenenti

della superficie rendita

sono dovute ella vetrazione delle consiglio normale passante per i punti considerati e non in generale

dellal distanza z dello superficie e menziona.

Si prendano del compimento

elemento e invece una linea tra lo spostamento (?x) =

u nel piano xy

2 titolo de

?x = ten (?x) =⁼ _d?x/^dx

Quindi lo spostamento u

del punto P è detto da

u = -?x z

Quindi

W = -z (?) _dW/^dx

Equazioni indefinite di equilibrio

Le equazioni di equilibrio indefinito della lastra possono essere scritte in forma differenziale, considerando l'equilibrio di un elemento di spessore infinitesimo dx dy e elevate finite s.

Sfiliamo Monaco considerando solo l'effetto eliminando consideriamo solo l'equilibrio alla traslazione lungo z e alla rotazione lungo x e y.

1. Equilibrio direzione z

• Equilibrio direzione z

1. Equilibrio rotazione x nulo 0

Per quanto riguarda le condizioni al contorno bisogna fare le seguenti osservazioni.

Le sollecitazioni agenti sul contorno M_x sono momenti simili a quelli d'imbibizione in forma superficiale M_y. In generale non è affatto detto che l'arco del contorno scorra in modo da esplicitarne distribuzioni di tensione da far pensare che nel caso delle appross limit;azioni lineari non costituire di coppie che forme tangenziali le toll je form di tale coppie in sommatorie dei luoghi e forme lim - dette la sostituzione fogli di Kirchhoff, poste in direzione verticale, che possono essere legate alle cianfr auto firma dalla stessa, in un modo simile alle elevazioni tra fogli e momento riflettente nelle teorie.

Fig. 36.8 - Problematiche relative alle distribuzioni di tensioni tangenziali e alle forze di sostituzione e al contorno.

Prendenti ad esempio l'equazione di equilibrio che esprime il legame in funzione dei momenti, t_z^x = -^{∂ M_y}/_{∂ x} + ^{∂ m_y}/_{∂ y}

Per i lati x=0 e x=a (y/l) le condizioni al contorno portano a dire che se M_x = 0 → ^{∂ m_x}/_{∂ x} = 0, quindi

t_z^x = 2 Mcx1/γ

Inviluppo elastico

Siano h, I energia potenziale del sistema π, nello condizioni definite:

U = V + W

U = 1/2 ∫ ∂T/∂E E dν = ∫ dν

Sapendo che nel caso particulare ellittico E=Ε e μ pure:

U = 1/2 ∫ ∂T D dν = ovvero U = 1/2 ∫ ∂T C E dν

Continuiranno e ξ e η le espresse note

U = 1/2 ∫∫∫∫ E/12 [ (∂²w/∂x²) (∂²w/∂y²) x dω dξ + (∂²w/∂x∂y) y ] dx dy dξ

U = 1/2 E S δ/12 (1-y²) ∫∫∫∫ [ (∂²w/∂x²)² + (∂²w/∂y²)² + 2 (∂w/∂x∂y) ] dx dy

U = B/2 ∫∫∫∫ [β(∂²w/∂x²)² + 2γ ∂²w/∂x² ∂²w/∂y² + ∂²w/∂y² +

(∂²w/∂y²)² + (γ ∂/∂x ∂²w/∂y²)∇ 2 ∂²w/∂x² dy

U = B/2 ∫∫ ((a ∂²w/∂x²) (∂²w/∂x²) + 2x1y ∂²w/∂x² ∂²w/∂y² + γ ∂²w/∂y²)

U = B/2 ∫∫∫∫ ∂²w/∂x² = dω + (∂²w/∂y²)

Continuiranno