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Per individuare i punti di intersezione della

δ" piramide ABCDV con le facce della piramide

rovesciata è necessario far passare un piano per

F" ≡ H" ≡ V"

E" G" gli spigoli DV e VB. Il piano sezionerà tale

piramide sempre secondo il suo contorno

portato in seconda proiezione; bisognerà

individuare la sezione della piramide rovesciata,

5"≡ 6" 7"≡ 8" il piano passa per il vertice Z e taglia gli spigoli

3"≡ 4" EH e FG nei loro punti medi, si proiettino tali

1" 2" punti in seconda proiezione e li si uniscano al

vertice Z, si otterrà così la sezione voluta.

A"≡ D" Z" B"≡ C" L.T.

F'

A' B'

3' 7" ≡ 8"

5" ≡ 6"

6' 7'

V' ≡ Z'

E' G'

1' 2'

5' 8'

4'

D' C'

δ ' H'

F" ≡ H" ≡ V"

E" G" Se si esegue analoga operazione con gli altri

spigoli si otterranno gli altri punti cercati.

Si completa l’esercizio unendo i vari punti così

5"≡ 6" 7"≡ 8" ottenuti consequenzialmente ed otterremo

3"≡ 4" l’andamento della spezzata sghemba intersezione

1" 2" tra i due solidi.

A"≡ D" Z" B"≡ C" L.T.

F'

A' B'

3' 7'

6' V' ≡ Z'

E' G'

1' 2'

8'

5' 4' C'

D' H' 72

Esercizio: si trovi la spezzata sghemba intersezione tra una piramide a base esagonale ed un

parallelepipedo a base quadrata. In questo caso sono sufficienti solo due semplici

α,

piani, il piano parallelo al piano verticale e il

β.

piano orizzontale Il primo taglia i due solidi

V" secondo il loro contorno portato in seconda

proiezione e così si otterrnno i primi 4 punti di

intersezione degli spigoli del parallelepipedo

con la piramide.

3"

2" I"

G"

β " M" ≡ N" 5" ≡ 6" 7" ≡ 8" O" ≡ P"

1" 4" 2" 3"

H" L"

A" C" ≡ E" D"

B" ≡ F" C'

B' 1" 4"

M' 7' O'

6'

1'

α ' G' ≡ H' A' I'≡ L'

D'

V' 4'

2' 3' 7'

6'

P'

5' 8'

N' 8'

9'

F' E'

β,

Con il piano si otterrà in prima proiezione il contorno portato del parallelepipedo e una sezione

esagonale della piramide concentrica alla base; anche in qesto caso i punti comuni alle due sezioni

sono i punti di intersezione degli spigoli del parallelepipedo con le facce della piramide.

Unendo i vari punti si ottengono le due spezzate intersezione.

73

Non sempre è coì agevole individuare le spezzate intersezioni e, in alcuni casi, comportano un

lavoro lungo e difficoltoso ma il metodo è sempre quello di utilizzare piani proiettanti, per poter

α, β δ,

eseguire delle sezioni semplici e veloci. Nel caso sottostante si sono utilizzati dei piani e

φ

proiettanti in prima proiezione passanti per gli spigoli della piramide ed un piano proiettante in

seconda proiezione per individuare i punti di intersezione di uno spigolo del prisma con la piramide.

δ "

β " φ "

F" E"

D"

V" L.T.

I" G"

H"

A" C" B" D'

A' G'

α' V' E'

B' H'

C' I'

F' β '

δ'

φ '

Vedi risoluzione per fasi successive a pagina 128

74

Intersezione cono cilindro esempio 1

In caso di assenza di spigoli e facce piane, come nel caso di coni e cilindri l’intersezione

tra i due solidi risulterà essere una curva sghemba e non più una spezzata. Per risolvere il problema

bisognerà, quindi, individuare una serie di punti di tale curva appartenenti a sezioni complanari dei

solidi. Per rendere più semplice l’operazione si cercherà di individuare piani possibilmente

proiettanti che non diano, nel caso del cono, delle sezioni paraboliche od iperboliche.

Siano dati un cilindro ed un cono rotondi retti, i

V" due solidi hanno, in questo caso gli assi paralleli

1" e complanari (entrambe stanno su un piano

π2).

parallelo al piano verticale Possiamo così

già individuare almeno tre punti intersezione: il

punto 1” comune ai due contorni portati in

seconda proiezione ed i punti 2’ e 3’ comuni alle

π1.

loro direttrici giacenti sul piano oriontale

A" 2"≡ 3" B"

2'

A' B'

V'

1'

3' v" Per individuare altri punti della curva

1" α β

intersezione si prendano due piani e

π1

paralleli a e si individuino le sezioni in prima

α" 6"≡ 7" proiezione. Per quanto riguarda il cilindro le

sezioni coincideranno con la direttrice di base

β" ≡

4" 5" (quindi in prima proiezione la curva intersezione

percorrerà la circonferenza di base del cilindro

A" 2" 3" B" dal punto 2’ al punto 3’, mentre le sezioni del

cono risulteranno essere delle circonferenze più

piccole concentriche alla direttrice. I punti di

2' 4' incidenza di queste circonferenze con la

6' direttrice del cilindro individueranno una serie

di altri 4 punti della curva intersezione. Proiettati

A' 1' V' B' questi punti così individuati sui rispettivi piani

proiezione, otteremo, in seconda proiezione

7' l’andamento della curva intersezione.

5'

3' 75

Intersezione cono cilindro esempio 2

V" Siano dati un cono ed un cilindro retti interse

-

cantesi, il cono poggia con la direttrice sul piano

π1, π1,

orizontale il cilindro, non poggiante sul

è posizionato con il proprio asse parallelo alla

linea di terra ed incidente l’asse del cono.

2" 3" Per prima cosa, considerato che gli assi dei due

solidi sono incidenti, perciò complanari, sono

π2, α

entrambe paralleli al si individua il piano

π2.

parallelo a Le due sezioni originate da tale

piano coincidono con i contorni portati dei due

1" 4" solidi in seconda proiezione, pertanto, è

possibile individuare i punti 1”, 2”, 3” e 4” come

punti della curva sezione e trovarne le prime

α.

proiezioni sulla traccia prima del piano

α' 3'

1' 2' V' 4' Per individuare con facilità altri punti della

β

curva si tracci il piano orizzontale passante per

V" l’asse del cilindro; in prima proiezione la

sezione del cilindro coincide con il suo contorno

mentre la sezione del cono è una circonfernza

concentrica alla direttrice di base, i punti comuni

alle due sezioni sono i punti cercati che

2" 3" andranno proiettati sulla seconda traccia del

β.

piano

β" 5"≡ 8" 6"≡ 7"

1" 4"

5' 6' I punti individuati non sono comunque

α' 3'

1' 2' V' 4' sufficienti a tracciare le due curve intersezione

dei due solidi, si dovrà ricorrere ad altri piani

orizzontali, almeno altri due, ed individuare i

8' 7' relativi punti sezione.

76

V"

2" 3"

α " 13"≡ 14" 15"≡ 16"

β " ≡

5" 8" 6"≡ 7"

β " 11"≡ 12"

9"≡ 10"

1" 4"

5' 6'

10' 14' 15' 11'

α 3'

' 1' 2' V' 4'

13'

9' 16' 12'

7'

8' δ γ, π1

Per comodità segniamo due piani, e paralleli a ed equidistanti dall’asse del cilindro; le

prime proiezioni delle sezioni del cilindro così effettuate risulteranno sovrapposte. Con il semplice

ribaltamento della direttrice del cilindro parallelamente al piano verticale, individuiamo l’esatta

posizione delle generatrici del cilindro che delimitano le due sezioni. Come in precedenza i punti

comuni alle sezioni del cilindro e del cono sono i punti delle due curve intersezione, li si proietta

quindi in seconda proiezione sulle tracce dei rispettivi piani che hanno individuato le sezioni.

Unendo i vari punti così ottenuti otteniamo sia in prima sia in seconda proiezione le curve cercate.

In prima proiezione i punti 5’, 6’, 7’, e 8’ sul contorno del cilindro rappresentano i punti di tangenza

di tali curve con il contorno stesso e delimitano il tratto a linea continua della parte superiore della

curva intersezione dal tratto a tratteggio della parte inferiore.

77

Intersezione tra cilindri

Siano dati 2 cilindri uguali ma ruotati tra di loro di 90°. Per individuare la o le curve

π1.

intersezione si tagliano i due cilindri con piani paralleli al piano orizzontale

α" 2" π1

I due cilindri poggiano entrambe su pertanto

le loro generatrici si incontrano nel punto 1, il

α,

piano tangente ai due cilindri nella parte

superiore individua anch’esso un punto di

intersezione: il punto 2.

1" L.T.

1' 2'

2" β,

Si sezionino i due cilindri con un piano

π1,

parallelo a passante per gli assi dei cilindri;

le sezioni del piano in prima proiezione

β ≡

" 4" 5"

3"≡ 6" coincidono con i contorni portati dei cilindri, si

individuano così altri 4 punti della curva

intersezione (3, 4, 5 e 6) che verranno proiettati,

in seconda proiezione sulla direttrice del cilindro

1" L.T. π2.

perpendicolare a

4'

3' 1'≡ 2'

6' 5' 78


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Muaty91

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DETTAGLI
Esame: Disegno
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile e ambientale
SSD:
Università: Genova - Unige
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Muaty91 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Disegno e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Genova - Unige o del prof Ravina Enrico.

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