Disegno - Intersezione di solidi

Intersezione di solidi

Intersezione retta – poliedro

Una retta può attraversare un poliedro, avrà dunque un punto d’entrata ed uno di uscita sul solido. Il problema dell’individuazione di tali punti si risolve abbastanza facilmente utilizzando un piano, generalmente un piano proiettante in prima o seconda proiezione, passante per la retta secante il solido; si determina così un poligono sezione. Resi così complanari retta e poligono, i punti comuni sono i punti di intersezione della retta con il poliedro.

V" V" V"β "T"r T"r T"rr" r" r"2"1"L.T. L.T.B" ≡ F" C" ≡ E" D" B" ≡ F" C" ≡ E" D"A" A" L.T.B" ≡ F" C" ≡ E" D"A"C' C'B' B' C'B'r' r' r'2'V' V' V'A' A'D' D' A' D'1'F' F'E' E' F' E'T'r T'r T'rβ '

Intersezione di solidi

Due solidi euleriani convessi che si intersecano originano una figura i cui vertici sono le intersezioni degli spigoli di un solido con gli spigoli o le facce dell’altro e i lati le intersezioni delle loro facce. Tale figura è generalmente una spezzata chiusa sghemba, ovvero non sta su un unico piano. La ricerca dell'intersezione dei solidi si riduce all’individuazione dei punti comuni delle sezioni dei due solidi effettuate facendo passare una serie di piani sezione per gli spigoli prima di uno e poi dell’altro dei due solidi.

F" ≡H"≡V"E" G" Laddove il problema si dovesse presentare di particolare complessità, si ricorre all’individuazione della retta intersezione dei piani individuati dalle facce dei solidi che si intersecano.

L.T.A"≡D" Z" B"≡ C" Intersezione tra due piramidi F'A' B'

Intersezione tra due piramidi

Siano date due piramidi a base quadrata, l’una ruotata di 45° e ribaltata rispetto all’altra, e si voglia individuare la spezzata sghemba intersezione. Si faccia passare un piano per gli spigoli EZF" ≡ H" ≡ V" e ZG della piramide rovesciata, il piano E" G" sezionerà le due piramidi secondo il loro contorno portato in seconda proiezione. La somma delle due sezioni ci permette di individuare i punti 1 e 2 in comune. Ottenute le due seconde proiezioni si procederà ad individuare le prime sulla prima traccia del piano.

A" ≡ D" Z" B" ≡ C" L.T.F'A' B' α 'E' G'V' ≡ Z' 2"1"1' 2' C'D' H'β "F" ≡ H" ≡ V"E" G"

Data la simmetria della figura otteniamo la stessa figura sezionando la piramide con un β piano di profilo passante per gli spigoli FZ e ZH, pertanto i punti 3 e 4 hanno, in seconda proiezione, la stessa quota dei punti 1 e 2. Le loro prime proiezioni hanno la stessa distanza da V’ Z’, sarà quindi sufficiente riportare tale misura con il compasso.

L.T.A" ≡ D" Z" B"≡ C" F'A' B'3'V' ≡ Z'E' G'1' 2'4' C'D' H'β '

Per individuare i punti di intersezione della piramide ABCDV con le facce della piramide rovesciata è necessario far passare un piano per gli spigoli DV e VB. Il piano sezionerà tale piramide sempre secondo il suo contorno portato in seconda proiezione; bisognerà individuare la sezione della piramide rovesciata, il piano passa per il vertice Z e taglia gli spigoli EH e FG nei loro punti medi, si proiettino tali punti in seconda proiezione e li si uniscano al vertice Z, si otterrà così la sezione voluta.

A"≡ D" Z" B"≡ C" L.T.F'A' B'3' 7" ≡ 8"5" ≡ 6"6' 7'V' ≡ Z'E' G'1' 2'5' 8'4'D' C'δ ' H'F" ≡ H" ≡ V"E" G"

Se si esegue analoga operazione con gli altri spigoli si otterranno gli altri punti cercati. Si completa l’esercizio unendo i vari punti così ottenuti consequenzialmente ed otterremo l’andamento della spezzata sghemba intersezione tra i due solidi.

5"≡ 6" 7"≡ 8" 3"≡ 4" 1" 2"

A"≡ D" Z" B"≡ C" L.T.F'A' B'3' 7'6' V' ≡ Z'E' G'1' 2'8'5' 4' C'D'