Disegno - Intersezione di solidi

V" L.T.

I" G"

H"

A" C" B" D'

A' G'

α' V' E'

B' H'

C' I'

F' β '

δ'

φ '

Vedi risoluzione per fasi successive a pagina 128

74

Intersezione cono cilindro esempio 1

In caso di assenza di spigoli e facce piane, come nel caso di coni e cilindri l’intersezione

tra i due solidi risulterà essere una curva sghemba e non più una spezzata. Per risolvere il problema

bisognerà, quindi, individuare una serie di punti di tale curva appartenenti a sezioni complanari dei

solidi. Per rendere più semplice l’operazione si cercherà di individuare piani possibilmente

proiettanti che non diano, nel caso del cono, delle sezioni paraboliche od iperboliche.

Siano dati un cilindro ed un cono rotondi retti, i

V" due solidi hanno, in questo caso gli assi paralleli

1" e complanari (entrambe stanno su un piano

π2).

parallelo al piano verticale Possiamo così

già individuare almeno tre punti intersezione: il

punto 1” comune ai due contorni portati in

seconda proiezione ed i punti 2’ e 3’ comuni alle

π1.

loro direttrici giacenti sul piano oriontale

A" 2"≡ 3" B"

2'

A' B'

V'

1'

3' v" Per individuare altri punti della curva

1" α β

intersezione si prendano due piani e

π1

paralleli a e si individuino le sezioni in prima

α" 6"≡ 7" proiezione. Per quanto riguarda il cilindro le

sezioni coincideranno con la direttrice di base

β" ≡

4" 5" (quindi in prima proiezione la curva intersezione

percorrerà la circonferenza di base del cilindro

≡

A" 2" 3" B" dal punto 2’ al punto 3’, mentre le sezioni del

cono risulteranno essere delle circonferenze più

piccole concentriche alla direttrice. I punti di

2' 4' incidenza di queste circonferenze con la

6' direttrice del cilindro individueranno una serie

di altri 4 punti della curva intersezione. Proiettati

A' 1' V' B' questi punti così individuati sui rispettivi piani

proiezione, otteremo, in seconda proiezione

7' l’andamento della curva intersezione.

5'

3' 75

Intersezione cono cilindro esempio 2

V" Siano dati un cono ed un cilindro retti interse

-

cantesi, il cono poggia con la direttrice sul piano

π1, π1,

orizontale il cilindro, non poggiante sul

è posizionato con il proprio asse parallelo alla

linea di terra ed incidente l’asse del cono.

2" 3" Per prima cosa, considerato che gli assi dei due

solidi sono incidenti, perciò complanari, sono

π2, α

entrambe paralleli al si individua il piano

π2.

parallelo a Le due sezioni originate da tale

piano coincidono con i contorni portati dei due

1" 4" solidi in seconda proiezione, pertanto, è

possibile individuare i punti 1”, 2”, 3” e 4” come

punti della curva sezione e trovarne le prime

α.

proiezioni sulla traccia prima del piano

α' 3'

1' 2' V' 4' Per individuare con facilità altri punti della

β

curva si tracci il piano orizzontale passante per

V" l’asse del cilindro; in prima proiezione la

sezione del cilindro coincide con il suo contorno

mentre la sezione del cono è una circonfernza

concentrica alla direttrice di base, i punti comuni

alle due sezioni sono i punti cercati che

2" 3" andranno proiettati sulla seconda traccia del

β.

piano

β" 5"≡ 8" 6"≡ 7"

1" 4"

5' 6' I punti individuati non sono comunque

α' 3'

1' 2' V' 4' sufficienti a tracciare le due curve intersezione

dei due solidi, si dovrà ricorrere ad altri piani

orizzontali, almeno altri due, ed individuare i

8' 7' relativi punti sezione.

76

V"

2" 3"

α " 13"≡ 14" 15"≡ 16"

β " ≡

5" 8" 6"≡ 7"

β " 11"≡ 12"

9"≡ 10"

1" 4"

5' 6'

10' 14' 15' 11'

α 3'

' 1' 2' V' 4'

13'

9' 16' 12'

7'

8' δ γ, π1

Per comodità segniamo due piani, e paralleli a ed equidistanti dall’asse del cilindro; le

prime proiezioni delle sezioni del cilindro così effettuate risulteranno sovrapposte. Con il semplice

ribaltamento della direttrice del cilindro parallelamente al piano verticale, individuiamo l’esatta

posizione delle generatrici del cilindro che delimitano le due sezioni. Come in precedenza i punti

comuni alle sezioni del cilindro e del cono sono i punti delle due curve intersezione, li si proietta

quindi in seconda proiezione sulle tracce dei rispettivi piani che hanno individuato le sezioni.

Unendo i vari punti così ottenuti otteniamo sia in prima sia in seconda proiezione le curve cercate.

In prima proiezione i punti 5’, 6’, 7’, e 8’ sul contorno del cilindro rappresentano i punti di tangenza

di tali curve con il contorno stesso e delimitano il tratto a linea continua della parte superiore della

curva intersezione dal tratto a tratteggio della parte inferiore.

77

Intersezione tra cilindri

Siano dati 2 cilindri uguali ma ruotati tra di loro di 90°. Per individuare la o le curve

π1.

intersezione si tagliano i due cilindri con piani paralleli al piano orizzontale

α" 2" π1

I due cilindri poggiano entrambe su pertanto

le loro generatrici si incontrano nel punto 1, il

α,

piano tangente ai due cilindri nella parte

superiore individua anch’esso un punto di

intersezione: il punto 2.

1" L.T.

≡

1' 2'

2" β,

Si sezionino i due cilindri con un piano

π1,

parallelo a passante per gli assi dei cilindri;

le sezioni del piano in prima proiezione

β ≡

" 4" 5"

3"≡ 6" coincidono con i contorni portati dei cilindri, si

individuano così altri 4 punti della curva

intersezione (3, 4, 5 e 6) che verranno proiettati,

in seconda proiezione sulla direttrice del cilindro

1" L.T. π2.

perpendicolare a

4'

3' 1'≡ 2'

6' 5' 78 δ1,

Se si tagliano i due cilindri con altri piani (δ,

2"

γ " γ γ1) a due a due equidistanti dagli assi,

e

δ" otteniamo, in prima proiezione, una serie di

rettangoli sia per l’uno sia per l’altro cilindro. I

punti individuati da tali piani sezione sono

≡

3"≡ 6" 4" 5" allineati tra loro, in prima proiezione, lungo un

δ segmento inclinato di 45°, prima proiezione dei

1" due ellissi intersezione dei due cilindri.

γ 1" 1" L.T.

4'

3' ≡

1' 2'

6' 5'

Siano dati 2 cilindri di diverso diametro e ruotati tra di loro di 90°. Anche in questo caso, per

individuare la o le curve intersezione si tagliano i due cilindri con piani paralleli al piano

π1.

orizzontale

α " 1" 2" α α1,

Si prendano, innanzitutto, i due piani e

orizzontali e tangenti al cilindro di diametro

minore; i due piani sezioneranno il cilindro

opposto lungo 4 generatrici simmetriche che,

proiettate in prima proiezione risultano due

α 1" rettangoli sovrapposti, i punti di intersezione tra

4" 3"

L.T. le varie generatrici così trovate, permettono di

individuare quattro punti delle curve

intersezione (1,2,3 e 4).

1'≡ 4' 2'≡ 3' 79

Analogamente al caso precedente, considerato

che i due cilindri hanno gli assi complanari, si

2"

1" β, π1

prenda un piano parallelo a passante per

tali assi.

Il piano taglierà i due cilindri secondo due

β" ≡ ≡

5" 8" 6" 7" sezioni che, proiettate in prima proiezione,

coincidono con i due contorni portati dei cilindri

stessi. I punti comuni alle due sezioni sono altri

L.T. 4 punti delle curve intersezione cercate.

4" 3"

5' 6' Se si prendono altri 4 piani paralleli al piano

1'≡ 4' 2'≡ 3' orizzontale e a due a due equidistanti dagli assi

dei due cilindri, otteniamo altre 4 sezioni i cui

punti di intersezione sono altrettanti punti delle

8' 7' curve intersezione. Unendo i vari punti così

ottenuti possiamo tracciare, in prima proiezione

le due curve intersezione.

In seconda proiezione le due curve intersezione

stanno tutte sulla direttrice del cilindro

maggiore.

1" 2"

δ "

γ " ≡

≡ 6" 7"

5" 8"

γ 1"

δ 1"

L.T. 4" 3"

5' 6'

≡ ≡

1' 4' 2' 3'

8' 7'

80

La geometria delle volte.

Dal punto di vista puramente geometrico, le volte sono assimilabili a superfici generate o dalla

traslazione di una retta generatrice lungo una curva direttrice o per rotazione di una curva

generatrice rispetto ad un asse verticale. Le volte così originate sono definite volte semplici quali

la volta a botte o la volta a catino, vi sono poi delle volte, dette composte, originate dalla

giustapposizione di porzioni di volte semplici ad esempio le volte a crociera e le volte a padiglione.

Volta a botte

Le volte semplici,

il cui intradosso appartiene ad un’unica superficie geometrica e principalmente:

- Le volte cilindriche o a botte;

- Le volte cilindroiche o a sbieco

- Le volte coniche

- Le volte conoidiche (tipo elica)

- Le volte di rivoluzione o cupole

- Le volte anulari

- Le volte elicoidali

- Le volte a vela Volta a bacino o cupola

Le volte composte,

il cui estradosso è costituito da più superfici geometriche e principalmente

- Le volte a crociera

- Le volte a padiglione

- Le volte a botte con testa di padiglione

- Le volte a schifo

- Le volte a schifo con padiglione

- Le volte lunulate o lunettate

- Le cupole composte 81

Terminologia delle volte*

concio in chiave rinfianco

conci giunto alle reni

freccia, saetta

o monta

filari 30°

soprassesto 30°

corda o luce

imposta