Disegno di Macchine - Appunti di teoria parte 6

DISEGNO DI MACCHINE

PROF. F. CESARI

PARTE 6

Appunti di teoria del corso AA 2016/17

Appunti non ufficiali degli studenti

Prefazione

Il presente lavoro vuole riprendere gli argomenti affrontati durante le lezioni del corso di Disegno di Macchine II tenuto dal prof. Cesari e reperibili nei volumi dell'autore:

• Introduzione al metodo degli elementi finiti, Pitagora Editrice Bologna
• Calcolo matriciale delle strutture, Pitagora Editrice Bologna
• Esercizi di meccanica delle strutture. Esercizi avanzati (vol 5), Pitagora Editrice Bologna
• Esercizi di meccanica delle strutture. Metodo degli elementi finiti (vol 6), Pitagora Editrice Bologna

ampliandone nel dettaglio i passaggi logici – matematici e approfondendo alcune tematiche, al fine di avere uno strumento di base utile sia per affrontare gli esercizi assegnati con maggior consapevolezza, sia come base teorica per affrontare l’esame.

Nella redazione di questi appunti, oltre i volumi già citati del prof. Cesari, per la parte di scienza delle costruzioni e di risoluzione analitica delle strutture sono state consultate per la maggior parte le seguenti opere:

• O. Belluzzi, Scienza delle costruzioni vol. 1, 2, 3, 4, Zanichelli
• S. Timoshenko, J.N. Goodier, Theory of elasticity, McGraw-Hill
• S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, McGraw-Hill
• S. Timoshenko, J.M. Gere, Theory of elastic stability, McGraw-Hill

mentre per la parte del metodo agli elementi finiti, si è fatto riferimento principalmente al seguente volume

• R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, R. J. Witt, Concept and application of finite analysis, John Wiley & Sons

ai quali si rimanda per eventuali chiarimenti e/o approfondimenti.

Confidando che possiate apprezzare il nostro lavoro, vi auguriamo buono studio!

Gli autori

Francesco Falchieri

Edoardo De Renzis

Andrea Cosentino

4) Il potenziale del sistema si deriva dall'integratore sul dominio di una funzione f derivabile (voltri numero di ripetere a vettore di carica) P_e f(.)

Inoltre il potenziale è definito lungo che si continua anch'esso su ogni elemento.

+ f l_s di ogni elemento.

P tutto il domino x per formare P_l più come s'addiziona nelle norme degli integrali all' ogni elemento.

P(.P)(-S_P f(.) d.

∑_c=1 (S_s f(.)

∑_c=1 P_e

se il polinomiale totale guardi diventa la somma della polinomiale di ogni elemento

Da uomo il 5 (ognuno) quindi cosi gia nello il principio della somma della funzione polinomiale che altre propria norme diventa

∑_c=1 (P(.S))_(Pe)

5) La relazioni precedente implica le ridondanti del potenziale di ogni elemento

P^e

Dal punto A si diventano carite di convergente del H.F. met come PRIMO CRITERIO DI CONVERGENZA.

Difende il piuttosto varoscenza spiegazione dell'elemento P_e è necessario dire la fondata di noto continuo all'elemento il che in ottime sta similante con funzioni reinterpretanti di tipo polinomiale.

Per lungo il lato uno e espunibili utilizzando sol due valori noti

pq e p5, mentre β è di secondo grado (posse recenre in punto in pm).

Per specie l'invariamento m utilizzare l'elemento rettangolare

in coordinate locali PPMj, in cui l'elemento lato ha forma di

un prodotto d lato 2.

Il polinomio espunento φ e quindi

β(ξ, η) Q₁ ξ₂ 5 η

Lungo , ξ volso d 5 ed ξ non contento e 5 1, per cui

l'uno ciol β, in matric una inversa lineara (core ml con

di l'elemento rettangolo e lett; / gele emi).

- l'elemento triangolare a 6 mnodi, 3 ne vertici e 3 nelle mema

dei lati.

Per trovare Q_i si invertono le colonne

^Q = A^-1δ

Che, introdotto nell’espressione di φ, diventa

φ = Ψ A^-1 δ = N δ = [ N₁ N₂ N₃ N₄ ]

Le funzioni N₁, N₂, N₃, N_q sono quelle che permettono di interpolare nella part di δ di φ

Nel caso in pratica in cui

A = ^[ 1 -1 -1 1^]

^{A-1 =}

¹/₄

[1 1 1 1

-1 1 -1 -1

-1 -1 1 1

1 -1 -1 1]

per cui N è pari a

N = Ψ A^-1 = ¹/₄ [ 1 ζ η ζη ]

[ 1 1 1 1

-1 1 -1 -1

-1 -1 1 1

1 -1 -1 1 ] =⁼

= ¹/₄ [ -1-ζ-ηζη, 1+ζ-ηζη, 1+ζη-η, 1-ζ+ηζη ]

= ¹/₄ [ (1-ζ)(1-η); 1-ζ; (1+ζη); 1+ζ(1+ζ) ]

= ¹/₄ [ (1-ζ) (1-η), (1+ζ) (1-η), (1-ζ) (1+η), (1+ζ) (1+η) ]

Elementi polinomiali lagrangiani di 1º ordine (Q4)

Le funzioni di forma utilizzanti i polinomi di Lagrange sono

indice ⟨i,j⟩ del polinomio di Lagrange

1. N₁ = L₀¹(ξ)L₀¹(η) = (ξ-ξ₁)/(ξ₀-ξ₁) · (η-η₁)/(η₀-η₁) =

   = (ξ-1)/(1-1) ⟶ (ξ-1)/2

2. N₂ = ξ L₁¹(ξ)L₀¹(η) = ξ-ξ₀/ξ₁-ξ₀ · M-M₀/M₁-M₀ = ξ-(-1)/1-(-1) =

   = ξ+1/2 ⟶ (ξ+1)/2

3. N₃ = L₁⁰(ξ) L₁⁰(η) = ξ+ξ₁/η₁-η₀ η/M₀-(ξ-1)

   = 1/(F₁) ⟶ ξ-1/2

4. N_a = L₁⁰(η) L₁⁰(η) = ξ-ξ₁/ξ₀-ξ₁ = η-₀/η-₁ = ξ

   1/(F₁) - (ξ-1)/2 ξ+1/2

Le funzioni trovate coincidiendo con quelle trovate col metodo polinomiali.

Per i nodi 2 e 4 il peso reagente nel reperto misto

lungo l’interpolante è linecco, H verso l’apice

dell’elemento che vola O per β = 1 e γ = 1 per δ = 1

q = ^1.8/₂

lungo Y in che reperto reagente,

Per Y = 1

una fluma dove avere per et una fluma

che rappresenti parte ce adze 1 è N

Nel nodo 3 e 4, la fluma dele è mse

reposito in Y, ma arre Z: dove vale ¹/₂

Per abele la fluma mulia in Z è omvezzo la

fluma parabolica 4 1^N2 Ovo che parla presente la N

2. della fluma. reforma N₃ dimine per 2 Emin

2 volte ¹/₂ puerta abbencogo che ¹/₂ M oirelin una

flemma che forma la modìetto durch selecto as mote

N₂ = ¹/₂ (1^-γ/₂ - 1^-M/₂ )

Alloloche andiamo se legoe per la “modo Y,

lungo v l'una fluma : intermolata è ^1+μ/₂, mentre lungo

γ le flume flume ane 'i N e 1 ^1+γ/₂

N₂ = (1 + ^β/₂) (1^-γ/₂ - 1^-η/₂)

Questo et able che un movente diverso, ai node no un letto

Il palinmo e transporti non risibolle le mittenze nal reagulo of

Pascal.

N₂

N₄

1

1