Disegno di Macchine - Appunti di teoria parte 1

DISEGNO DI MACCHINE

PROF. F. CESARI

PARTE 1

Appunti di teoria del corso AA 2016/17

Appunti non ufficiali degli studenti

Prefazione

Il presente lavoro vuole riprendere gli argomenti affrontati durante le lezioni del corso di Disegno di Macchine M tenuto dal prof. Cesari e reperibili nei volumi dell’autore:

• Introduzione al metodo degli elementi finiti, Pitagora Editrice Bologna
• Calcolo matriciale delle strutture, Pitagora Editrice Bologna
• Esercizi di meccanica delle strutture. Esercizi avanzati (vol 5), Pitagora Editrice Bologna
• Esercizi di meccanica delle strutture. Metodo degli elementi finiti (vol 6), Pitagora Editrice Bologna

ampliandone nel dettaglio i passaggi logici – matematici e approfondendo alcune tematiche, al fine di avere uno strumento di base utile sia per affrontare gli esercizi assegnati con maggior consapevolezza, sia come base teorica per affrontare l’esame.

Nella redazione di questi appunti, oltre i volumi già citati del prof. Cesari, per la parte di scienza delle costruzioni e di risoluzione analitica delle strutture sono state consultate per la maggior parte le seguenti opere:

• O. Belluzzi, Scienza delle costruzioni vol. 1, 2, 3, 4, Zanichelli
• S. Timoshenko, J.N. Goodier, Theory of elasticity, McGraw-Hill
• S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, McGraw-Hill
• S. Timoshenko, J.M. Gere, Theory of elastic stability, McGraw-Hill

mentre per la parte del metodo agli elementi finiti, si è fatto riferimento principalmente al seguente volume

• R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, R. J. Witt, Concept and application of finite analysis, John Wiley & Sons

ai quali si rimanda per eventuali chiarimenti e/o approfondimenti.

Confidando che possiate apprezzare il nostro lavoro, vi auguriamo buono studio!

Gli autori

Francesco FalchieriEdoardo De RenzisAndrea Cosentino

Per esempio, se vogliamo esprimere l'energia potenza totale del

sistema si puó scrivere

_tU - P_u (lavoro entrante negativo)

_tU - W = 1 Kt² - P_u

Per il T minimo dell’energia potenza totale, una condizione

di equilibrio del sistema ideale di numerose ?:

_∂a n² _∂a 0; K_u - P = 0 K_w = P

Generato moto: v k P m

necessario a = _P/^K

Schema

U = 1/2 J o^T E eV = 1/2 ∫^σ2/_yE dV

Segmento da σ_y: M.y

J sosteniamo

U = 1/2 J M² y²

_y/₃E dV = 1/2 ∫^L₀ P_M²- _y/³E

dx ∫^ρ_CA y².. da

= 1/2 N_z²/_2EJ

Definiamo K_f = E_J

_L RIGIDEZZA FLESSIONALE Delle

definizioni di rigidezza K_f = M

_θ K_M K_f θ

U = 1/2 IML K_P

nubi di rottori delle ciliarez esterne

Se il momento e funzione di x

U = -1/2EJ ∫^M(x) d_x

^M sato ... a ll'espansione della linea elotica

^L(X) = ^EJ/₂

d²/_dx²

TRAVI A PICCOLA CURVATURA

Anelli - archi circon.

Equilibrio interno tangenziale (sezione B)

N + ∫₀^θpR cos (π/2 - (θ - α)) dα - Q cos(θ) - P_n sin(θ) = 0

N - ∫₀^θpR sin (θ - α) dα - Q cos(θ) - P_n m(θ) = 0

N - pR[cos (θ)]₀^θ - Q cos(θ) - P_n m(θ) = 0

N - pR[1 - cos(θ)] - Q cos(θ) - P_n m(θ) = 0

N = Q cos(θ) + pR (1 - cos(θ)) + P_n m(θ)

Equilibrio azioni variabile (sezione C)

T + ∫₀^θpR cos (θ - α) dα + a m(θ) - P cos(θ) = 0

T - ∫₀^θpR cos (θ - α) dα + a m(θ) - P cos(θ) = 0

T + pR [- m(θ - α)]₀^θ + a m(θ) + P cos(θ) = 0

T + P a m(θ) + P cos(θ) = 0

MODELLAZIONE SISTEMI CONTINUI

Rievo dell’identità

1. Un campo di forze di massa.
2. Forze di superficie.
3. Vincoli sullo spostamento dei punti appartenenti a una regione W di W_R.

• Definiamo un vettore U(p) spostamento del punto dovuto ai carichi agenti sul corpo W_R

  U = { u componente parallela lungo → x v componente parallela lungo → y w componente normale lungo → z }

• Definiamo un elemento di volume infinitesimo dU = dx dy dz con _{W coordinate lung xi yj zk centrato nel punto P e rappresentativo degli spostamenti in tale punto.}

• Negli spostamenti vincolati di W_R sia noto il campo di spostamento dei suoi punti P ∈ W di W, proprio relativo al tempo. U₀ = U₀(x,y,z,t) in W_R e ∀ τ ≤ t

• Sul volume W_R agiranno le seguenti forze esterne:

  1. Azione di massa f duz on f(x,y,z,t) = { f_x f_y f_z }
  2. Azioni interne dz con i_j := -ρ dz
  3. Azioni di superficie mediante del sistema W_R eliminata e non focale

T-Pdx

T + dt/dx · M

T_vdt/dx

-SA y dx

Eq. di equilibrio y

T - T dt/dx + P dx - SA y dx = 0

T = T - P SA y

Eq. momenti di inerzia z

M - T dx/2 - T dx/2 (dt/dx) x x + T dx/dx µ = 0

+ dx µ dx = 0

- T dx/dx µ x 2

- M dx/dx + dx µ x = 0

Aggiungo una delle due equazioni trovate prima. Si raggruppano le note sopra trovate

H’ = - P - SA y

Relazione tra momenti centrali: M_ec è il momento centrale della tensione σ nelle zona A:

M_ec = ∫_A σ y ds

M_ec = ∫_A E y ds u - d

M_ec = E u " - E y ds

Le equazioni del problema sono:

SH = E y u"

H’ = - P SA y

Raggruppabili in un'equazione soltanto

(EIu’’) + SA y

Equazione della linea elastica

trave soggetta a carico distribuito uniforme

Polinomio elastico

V'''' = ^p⁄_EJ = -⁄_EI * V''

V'(0) = 0

V(0) = 0

V'(L) = 0 (momento nullo)

V''(L) = 0 (taglio nullo)

V''' = ∫ ^p⁄_EJ dx + C₁ = ^{p x}⁄_EJ + C₃

V''(L) = 0 - ^pL⁄_EJ + C₃ = 0   C₁ = ^pL⁄_EJ

V'' = ∫ ( - ^{p x}⁄_EJ ) dx = - ^{p x2}⁄_2EJ + ^pL⁄_EJ x + C₂

V''(L) = 0 - ^pL2⁄_2EJ   C₂ = ^-pL2⁄_2EJ

V' = ∫ - ^{p x2}⁄_2EJ * ^{pL x}⁄_EJ dx = - ^{p x3}⁄_6EJ + ^{pL x2}⁄_2EJ - ^{pL2 x}⁄_2EJ

V(0) = 0   C₃ = 0

V = ∫ - ^{p x3}⁄_GET + ^{pL x2}⁄_2EJ - pL + ^{p x4}⁄_24EJ + C₄

V(0) = 0   C₄ = 0

V(X) = ^{-p x4}⁄_24EJ + ^{pL x2}⁄_4EJ - ^3pL⁄_6EJ

V(L) = ^-pL4⁄_24EJ + ^pL4⁄_6EJ - ^pL3⁄_6EJ

polinomio di quarto grado

^{-1 + 4 + 6}⁄₂₄ = ³⁄₂₄