Dinamica: teoria ed esercizi

DINAMICA

• Qual è il moto di un corpo non soggetto ad alcuna forza?
• Un corpo non soggetto a forze si muove di velocità costante

PRIMO PRINCIPIO della DINAMICA

• PRINCIPIO D'INERZIA: Se in un dato SOLR la risultante delle forze applicate ad un punto materiale è nulla, allora il punto materiale o rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme.
• PRINCIPIO di NEWTON

• FORMULAZIONE MODERNA: Esiste almeno un SOLR detto inerziale (SRI), rispetto al quale un qualsiasi punto materiale che sia inizialmente lontano da tutti gli altri corpi o rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme.
• ASSENZA di FORZE

• I principi della dinamica NON valgono in SOLR non inerziali.

CLASSE di SDR INERZIALI

• Dato un punto su cui non agiscono forze in un SRI, il punto si muove di MOTO RETTILINEO UNIFORME in S: V̅_t=cost.
• SDR S₁ in moto rettilineo uniforme: V̅_S1=costante; ω̅=ȧ
• → V̅=V̅₀-V̅_S1' costante → MOTO RETTILINEO UNIFORME
• I^o principio della dinamica
• Si è un sistema di riferimento INERZIALE

a̅'_S1=a̅_S

Esiste un SRI privilegiato?

• Tutte le leggi della fisica si scrivono nello stesso modo in ogni sistema di riferimento inerziale (PRINCIPIO di RELATIVITÀ GALILEIANO)
• No, non esiste SRI privilegiato
• SRI usato da me è: SISTEMA SOLIDALE alla TERRA

T = 1d 1Rgt R = 6370 km aT = 4π²R = (2π/T)² R = 0,035 m/s² g = 9,8 m/s²

SECONDO PRINCIPIO della DINAMICA

"In qualunque punto materiale che sia sottoposto ad una o più forze ha un'accelerazione vettorialmente proporzionale alla risultante di tali forze."

• E = m · a

Massa inerziale → Risulta essere:

• invariante,
• indipendente da posizione e velocità
• proprietà additiva dei corpi: mT = (m₁ + m₂)

FORMULAZIONE ESPLICITA:

In un SRI la forza complessiva (risultante) che agisce su un corpo materiale di massa m è tale che E = m a → vale solo in SRI

Udm della MASSA nel sistema internazionale: chilogrammo [Kg]Udm della FORZA nel sistema internazionale: Newton [N]FORZA nel sistema tecnico: chilogrammo - forza (Kgf)

1 Kgf = 9,806 N ; 1N = 0,102 Kgf

FORZA: ciò che indica il dinamometroMASSA: proprietà dei corpi, indipendente dal soler

CADUTA dei GRAVI con ATTRITO VISCOSO

FORZA di ATTRITO VISCOSO

L'aria esercita una forza sui corpi in moto che si oppone al movimento

F_s = βv_r¹ Legge di Stokes

v_r: velocità relativa corpo-mezzo

β dipende dalla forma del corpo e dal mezzo viscoso in cui si muove il corpo

Baria < H₂O < Olio < Sciroppo

Equazione del moto: m&g - βv_z = m dv_z/dt

dv_z = β/m v_z dt

-> v_z = 0 -> ∫(dv_z/(g - (β/m)v_z)) = ∫dt

∫(dv/(a+bx)) = 1/b [log(a+bx)]^x₀

-m/β ln(q - (β/m) v_z)

ln(1 + βv_z/mg) = βt/m - 1

ln(h/1 + βv_z/mg)

Oscillatore Armonico Unidimensionale

Pulla massa m agisce solo la forza

F = -Kx i

a = x i

SR1

x

0

F = m a = -Kx

m x = -Kx

m x + Kx = 0 (moto armonico)

x + w²x = 0

Eq del moto armonico

Eq. oraria: x(t) = I cos(wt + φ₀)

φ₀ = arctg v₀/wX₀

l = √(x₀² + (v₀/w)²)

Π = 2π/ω = 2π √m/K

Regime delle Piccole Oscillazioni

Ogni sistema in prossimità di un punto di equilibrio stabile si comporta come un oscillatore armonico.

f(x)'

f'(x) = 0 → punti di equilibrio

f'(x_B) > 0 → X_B = punto instabile

f'(x_A) < 0 → X_A = punto stabile

f(x) ≈ f(X_A) + f'(X_A)(x - X_A) + O((x - X_A)²)

f(x) ≈ -K(x - X_A)²

Noto oscillatorio attorno al punto di equilibrio X_A

ω² = K/m = -f'(X_A)/m

T = 2π √m/-f'(X_A)

Regime delle piccole oscillazioni:

(sin θ ≅ θ)

θ̈ + _g/^l θ = 0

θ(t) = α sin(wt)

w = √(_g/^l)

sì, del moto armonico

la legge oraria sarà: s(t) = S₀ cos(wt + φ₀)

ed il periodo: T = _2π/^w = 2π √(_l/^g)

Galileo → le piccole oscillazioni sono isocrome

periodo indipendente dalla loro ampiezza

NB: il periodo del pendolo non dipende dalle masse, ma solo da l e da g.

R_v = ml θ̇² + mg cos θ

θ̇(t) - αw cos(wt)

cos θ ≈ 1 - 1/2 θ² - 1/2 α² sin²(wt)

R_v = ml α² w² cos² wt + mg (1 - 1/2 α² sin² wt) =

= mg (1 + α² - 3/2 α² sin² wt) > durante il moto la reazione vincolare cambia

Oscillatori Armonici

Oscillatore armonico, modello fisico che viene descritto dalle leggi del moto armonico.

• Legge di Hooke: F = kx₀

Oscillatore armonico unidimensionale

Su una massa m agisce:

• F = -kx₀
• a = \(\ddot{x}\)

\(F = m\ddot{x}\) → \(m\ddot{x} = -kx\) → \(m\ddot{x} + kx = 0\)

\(\ddot{x}+( \frac{k}{m})x = 0\) eq. del moto armonico

• Eq oraria: \(x(t) = 1\ cos(\omega t - \varphi_{0})\)
• \(\frac{x_{0}}{v_{0}}\) = \(\text{arctg}\ \frac{v_{0}}{x_{0}}\)
• \(l = \frac{1}{2}(\frac{v_{0}}{\omega})^{2}\)

T = \(\frac{2\pi}{\omega}\)

T = \(\frac{2\pi}{\omega}\) = \(2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\)

Regime delle piccole oscillazioni

Ogni sistema in prossimità di un punto di equilibrio stabile si comporta come un oscillatore armonico.

• f(x) = 0 → Punti di equilibrio
• f(x_B) → x_B punto instabile
• f(x_A) → x_A punto stabile

Qualsiasi forza in prossimità di un punto di equilibrio stabile si comporta come una forza elastica.

f(x) ≈ f(x_A) + f'(x_A)(x - x_A) + O(x - x_A)²

f(x) ≈ -k(x - x_A)

x = x_A

Moto oscillatorio attorno al punto di equilibrio x_A.

\(\omega^{2}\) = \(\frac{k}{m}\) - \(\frac{f''(x_{A})}{m}\)

\(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{f''(x_{A})}}\)

2) Nel caso in cui m₁ ≫ m₂ i risultati tendono a:

a = (M₁ - M₂)₂ g / M₂ ≅ g → acc. del sistema pari a g

m₁

T = m₁ M₂ g (1+μ₀) / m₂ + m₁ ≅ m₂ (1+μ₀) g → forza peso dovuta ad m₂

3) M₁ = 1 kg M₂ = 3 kg

a = (1 - 0.2 · 3) 9.81 / 1 + 3 = 0,98 m/s²

T = 1 · 9.81(1 + 0,2) / 1 + 3 = 8,83 N

4) T_max = 20 N m_max ≈ m_m

Dalla formula generale ho:

M₁ m₂ g (1+μ₀) / m₂ + m₁ ≤ T_max → M₁ m₂ g (1+μ₀) ≤ T_max (m₁ + m₂)

m m₂ g (1+μ₀) - T_max m ≤ T_max m₂ - m(

Si possono distinguere due casi:

a) m₂ g (1+μ₀) - T_max > 0 → m₁ ≤ m₂

m₂ g (1+μ₀) - T_max

b) m₂ g (1+μ₀) - T_max < 0 → m₁ ≫ m₂

è verificato per v valore

di m₁; in questo caso

il filo non si spezza mai

Il valore di T_max = 20 N rientra nel I° caso:

m_max = m₂ T_max / m₂ g (1+μ₀) - T_max = 3 · 20 / 3 · 9.81 (1 + 0.2) - 20 = 3,92 Kg

5) Se c'è ATTRIto tra piano ed m₂ e se m₁ è troppo piccola → m₂ è ferma; perché su m₂ agisce forza di attrito Fr_statico = T *

Nel caso di a = 0 le eq. di equilibrio sono:

^I | M₁ · g - T - m₁ · a = 0 |^I | M₁ · g - T = 0

F_at. - m₂ · a = 0

T - F_statico = 0

N₀ ≤ F_{att. statico} = μ_s M₂ g = valore max possibile della forza di att. statico

e non il valore veno!!

0 ≤ F_{att. statico} ≤ μ_s M₂ g