Dinamica Rotazionale e Forze Centrali

Dinamica rotazionale

La dinamica rotazionale riguarda il moto di una massa puntiforme in presenza di forze costituende che si esercitano su un corpo rigido al fine di distribuire il moto di una massa puntiforme. Andiamo a considerare 2 esempi:

Esempio 1

Supponiamo di dovere su un binario cilindrico una massa puntiforme in equilibrio. Supponiamo di voler mettere in moto la massa puntiforme. Dovremo applicare una forza in direzione tangente → Ft. Come possiamo osservare, noi sappiamo qual è quel simbolo (l'equazione della seconda legge di Newton, ecc.) che dovremmo descrivere in modo eseguire le applicazioni di tale forza. In questo caso, abbiamo una barra alla quale dobbiamo applicare una forza per spostarla. Osserviamo che la stessa forza modula una in direzioni e verso differenzi.

Esempio 2

La domanda è: in che modo possiamo sapere qual è la forza esterna da applicare?

• F → Leggi di Newton → Dinamica traslazionale
• M → Momento di una forza (rispetto ad un punto o il pi. corrispondente della meccanica) → Dinamica rotazionale

Dinamica rotazionale: ulteriori dettagli

La dinamica rotazionale riguarda l'analisi di una massa puntiforme in presenza di forze esterne, che fanno pertanto parte di due piani distinti: il moto di una massa puntiforme non si differenzia dalla dinamica traslazionale. Analizziamo 2 esempi:

Esempio 1

Supponiamo di essere su un treno eserciziando una massa puntiforme in equilibrio. Supponiamo di rotare intorno al moto la massa puntiforme, dovremo applicare una forza di direzione tangente → Ft. Com'è possibile, ora sappiamo chiaro quale sarebbe l'equazione che dovremmo utilizzare se volessimo realmente rivolgere applicata reale forza. In questo caso abbiamo una porta, alla quale dobbiamo applicare una forza per spostarla. Osserviamo che la stessa forza modella una in determinato verso di azione →

La domanda è: in che modo possiamo sapere qual è la forza esatta da applicare?

• F → Leggi di Newton → Dinamica traslazionale
• M → Momento di una forza (rispetto di momento angolare o torque → II eq. completo della meccanica) → Dinamica rotazionale

Momento di un generico vettore

_OM₀ = r × e^−−>_C = vettore generico
_r = braccio del momento
_M0 = momento del vettore C dove _O è il polo di rotazione (scelto arbitrariamente) Il momento è calcolato rispetto al polo _O

1. _M0 è un vettore | _M0| = | _M0| · _r · sen(Θ) dove Θ = angolo compreso fra i due vettori
2. Direzione di _M0 = piano contenente c^−−> e r^−−>
3. Verso di _M0 determinato con la regola della mano destra
4. Il prodotto vettoriale è anticommutativo (r × F) = −(F × r)

Osserviamo che cambiando il polo di rotazione, cambia anche _braccio r e quindi cambia il momento del vettore.

Applicazioni a F^−−> e ρ^−−> (forze e quantità di moto)

1. Se r^−−> è una forza F = _{M0 = r} × F ↔ _{Momento della forza applicato}
2. Se c^−−> è una quantità di moto ρ = L = r × ρ ↔ _{Momento angolare}

_{Osservazione 1} β = ∑_i r_iF_i

_{Osservazione 2 M0} = z × r _M0 = − z× r × F -> M₀ ≠ M₀

Teorema del momento angolare (III eq. cardinale della meccanica)

L̅ = (z̅ x p̅) ≠ L̅' = (z̅ x p̅') Le masse puntiformi sull'asse urari ha cambiato il suo momento angolare L̅ ≠ L̅' L̅ = z̅ x p = L̅' = z̅ x p̅' L̅ = L̅'

Analogia con la I eq. cardinale della meccanica (Legge di Newton)

F̅ = m · a = m dv̅/dt = dp̅/dt Δp̅ a cause della forza applicata F̅

In dinamica rotazionale: dL̅/dt = d/dt (z̅ x p̅) = dz̅/dt x p̅ + z̅ x dp̅/dt = z̅ x F̅ = M̅ M̅ = dL̅/dt + [Teorema del momento angolare (o III eq. cardinale della meccanica)]

Analogia tra I e III eq. cardinale della meccanica

1. F̅ = m a = dp̅/dt

μ̅ di L̅ le forze eserc. sulla massa puntiformi modificano la quantità di moto c μ̅ di L̅ df F̅ = dp̅/dt Δp̅ = ∫ F̅ dt M̅ = dL̅/df

Il lavoro omolto ed il momento applicato

\[\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \neq 0\]
\[\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt}\]
\[\vec{\omega} \text{ cresce }\] velocità angolare

Pendolo semplice

1. Eq. costitutiva della meccanica

\[F = \dot{v} = -\frac{dg}{dt}\]
\[W_c = -mg\sin \theta \]
\[ \frac{d\theta}{dt} = d (\omega e), \omega e = \theta \]
\[ \theta'' + g \sin \theta = 0 \]
Approssimazione in piccoli angoli \[ \sin \theta \approx \theta \] Quindi: \[\theta'' + g \theta = 0\]

1. Eq. costitutiva della meccanica

\[ \vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt} \]
\[\left\{ M = \bar{M}_T + \bar{M}_p \right\} \]
\[ \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \] Osservare che il numero dell'articolazione del filo va incluso nella eq. costitutiva della meccanica poiché l'angolo è 0.
\[ \frac{d}{dt} (\vec{r} \times \vec{p}) = \bar{M}_p + \vec{r} \times \vec{F} \]

Ginnapico

\[ \frac{d}{dt} (\theta \, m \sin \theta) = - \, lunghezza \, braccio\]
Momento di reazione
Possiamo scrivere che
\[ \dot{l} (e m \omega l) + m g \sin \theta = 0 \]
Approssimare in piccoli angoli
\[\theta'' + \frac{g}{l} \theta = 0 \rightarrow \theta'' + \frac{g}{l} \theta = 0\]
(Come abbiamo potuto osservare abbiamo potuto ridurre il problema) utilizzando l'I e la II eq. cardinali della meccanica ottenendo lo stesso risultato

Osservazione

I eq. -> F = dp_olt - Se F = 0 allora si ha la conservazione della quantità di moto p = costante poiché dp_olt = 0 => Δp = 0

II eq. -> M = dL_olt - Se M = 0 allora si ha la conservazione dell' momento angolare L = costante poiché dL_olt = 0 => ΔL = 0

Forze centrali: classi di forze

Una forza centrale è una forza che si possa rappresentare attraverso i vettori in tal modo F = F(r) û_r

• M Entrambi i due esempi rappresentano forze centrali.

Quali sono le proprietà di tali forze? M = r × F - rû_r = F(r) û_r L = r × mv | r = costante (Forza centrale) → M = 0 Il momento di una forza centrale è costruito rispetto nulla → L = costante → Il momento angolare è costante.