Dinamica Parte 3 Meccanica Razionale

Dinamica del corpo rigido con asse fisso

Il corpo rigido con asse fisso ha un grado di libertà; assumiamo come parametro l'angolo normale al del piano solidale X’Z’ misurato a partire del piano fisso XZ positivamente in senso all’asse Z. Comunque sia realizzata la finità dell’asse - se i vincoli i momemo risultante rispetto dell’asse fisso Z Z della notazione esplicite dei vincoli è nullo: l = 0; g vincoli lisci;

1. Per risolvere il problema della dinamica del corpo rigido con asse fisso e liscio applichiamo quindi le equazioni cardinali della dinamica assumendo come polo dei momenti il punto O appartenente all’asse fisso.

ma(O, t) = F + Φ (O) = (O) + μ(O)

(0; x, y, z) Riferimento fisso

(0; x', y', z') Riferimento Solidale diversori i, j, k. Il corpo rigido con asse fisso ha un grado di libertà; assumiamo come parametro l'angolo γ' del piano solidale X'Z' misurato a partire del piano fisso XZ positivamente in senso orario rispetto all'asse Z. Comunque sia realizzato la finità dell'asse — se i vincoli saranno lisci — il momento risultante, rispetto dell'asse fisso Z (Z') delle reazioni esplicate dei vincoli è nulli.: f / μr = 0, μ = 0 → vincoli lisci.

1. Per risolvere il problema della dinamica del corpo rigido con asse fisso e liscio — (applichiamo quindi le equazioni cardinali della dinamica, assumendo come polo dei momenti il punto O appartenente all'asse fisso.

m a_O(t) = F + ψḢ(O) = H(O) + μ(O)

Utilizzando l'informazione sul comportamento meccanico dei vincoli (vincoli lisci), e tenendo conto che il versore u è costante in (0; x, y, z), la seconda { } eq. cardinale della Dinamica proiettata lungo z fornisce l’equazione differenziale pura dei moti:

[_z] = Δ_z Eq. Ramo dei moti del sistema

1) Troviamo l’espressione di [k(0)] - corpo rigido con asse fisso

[k(0)] = m(p-o) x v(0) + (0) σ Poiché v(0) = σ => m(p-o) x v(0) = 0 (polo O fisso) τ = ȯ x k ω = σ̇ x k(0) = | I₁₁ I₁₂ I₁₃ || I₂₁ I₂₂ I₂₃ || I₃₁ I₃₂ I₃₃ | abbiamo [k(0) = (0) σ = I₁₁ I₁₂ I₁₃ | | ۰ |=> σ(I_{13 (ö)} segue da { - -v -j x -kv(x) -I₃ k ]=> [̇ => per cui -I₃₃ σ̇ (ö) -> _zurich= -> [l_z (σ̇)(σx= )),[ I₁₃ ö ] o (kd)(I₂₂ j = o) I₂₃x I_۲۴) ve rottura dei vincoli per cui, se si sceglie z asse centrale => [P₀ ∈ Z ] - Φ = F - μ(0) = M(0) Il rigido si dice Dinamicamente Equilibrato.

Per saperne di più vedi pg 233-234 Appunti di Mecc. Raz.

Equazioni di Lagrange

Sia \( f(P_1,m_1); \ldots; m \) un sistema olonomo di punti materiali con \( l \) gradi di libertà \((l>0)\) e sia \((q_3, q_2, \ldots, q_l)\) un sistema di coordinate lagrangiane. Abbiamo che \( P_i = P_i(q_3, q_2, \ldots, q_l, t) \) e in generale la velocità possibile per ogni singolo punto è \(\dot{P_i} = \dot{\hat{P_i}} + \dot{t_i} = \sum_{k=3}^{l} \frac{\partial P_i}{\partial q_n} \dot{q_n} + \frac{\partial P_i}{\partial t} \).

Consideriamo l’energia cinetica, che per un sistema olonomo può essere espressa in funzione dei parametri lagrangiani: \(T = T(q_n , \dot{q_n}) \ \ \ \ \ in \ \ generale \ \ \ \ T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_i \dot{\imath} \dot{\imath} \).

Ora calcoliamo le sue derivate parziali rispetto a \(\dot{q_n} \ e \ q_n\) \(\frac{\partial T}{\partial q_n} = \sum_{i=3}^{m} m_i \dot{\imath} \frac{\partial \dot{\imath}}{\partial q_n} = \sum_{i=3}^{m} Q_i \frac{\partial \dot{\imath}}{\partial q_n} \) \(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_n}} = \sum_{i=3}^{m} m_i \dot{\imath} \frac{\partial \dot{\imath}}{\partial \dot{q_n}} = \sum_{i=3}^{m} Q_i \frac{\partial \dot{\imath}}{\partial \dot{q_n}} \) tenendo presente la relazione di Ti velocità possibile (precedentemente scritta), verifichiamo che ∂Ti/∂q_n = ∂Pi/∂q_n per cui ∂T/∂q_n = ^m∑_i=1 Qi ∂Pi/∂q_n.

Se di quest'ultima relazione ne facciamo la derivata totale rispetto al tempo: d/dt ∂T/∂q_n = ^m∑_i=1 Qi ∂Pi/∂q_n + ^m∑_i=1 Qi d (∂Ti/∂q_n) l'ultimo termine di tale relazione è proprio ∂T/∂q_n ∂(4) per cui possiamo scrivere {d/dt ∂T/∂q_n - ∂T/∂q_n = ^m∑_i=1 Q_i ∂Pi/∂q_n}.

Ora dobbiamo verificare che ^m∑_i=1 Qi ∂Pi/∂q_k esprima la forza generalizzata dovuta alle sollecitazioni attive.

Continuazione Eq. di Lagrange

Nell'ipotesi di vincoli lisci e fissi, le velocità possibili le possiamo esprimere (senza il termine due indici: il trascinamento) \(\dot{q}_i - \dot{Q}^\text{*}_i q_h = \dot{f}_i\) che corrisponde con la velocità virtuale.

Se i vincoli sono lisci \(W_\phi = \dot{f}_i \cdot \dot{f}_i = 0\) significa che il lavoro svolto da una reazione vincolare è nullo, e per questo la reazione è perpendicolare al vincolo stesso e alla velocità virtuale f Ora consideriamo il T_h delle forze vive: \(\dot{T} = W_F + W_\phi\) ipotizzando ancora: Vincoli Lischi; \(W_\phi = 0\) velocità possibile uguale alla velocità virtuale cioè vincoli fissi \(\dot{q}_i = \dot{f}_i\) \(W_\phi = \sum \dot{f}_i \cdot \dot{f}_i = 0\).

Per cui il T_h delle forze vive diventa \(\dot{T} = W_F\) W = ∑_i=1^m F_i · J_i; F_i: sollecitazioni attive. Π = 1/2 ∑_i=1^m m_i v_i² => Π = ∑_i=1^m m_i a_i · J_i.

Pertanto Th: Torna Vive può essere scritto come ∑_i=1^m m_i a_i · J_i = ∑_i=1^m F_i · J_i.

Se ν = ĝ_i = ∂P_i/∂q_ν q̇_ν ∑_i=1^m m_i a_i ∂P_i/∂q_ν q̇_ν = ∑_i=1^m F_i ∂P_i/∂q_ν q̇_ν.

[ ∑_i=1^m m_i a_i ∂P_i/∂q_ν − ∑_i=1^m ∂P_i/∂q_ν ] questo rappresenta la componente lagrangiana dell'equazione fondamentale della dinamica dell'esimo punto.

Sapendo che: − ∑_i=1^m m_i a_i ∂P_i/∂q_ν = ∑_i=1^m Q̇_ν ∂P_i/∂q_ν e ∑_i=1^m F_i ∂P_i/∂q_ν = Q_ν: FORZA GENERALIZZATA abbiamo l'uguaglianza da noi cercata Q_ν = ∑_i=1^m Q̇_ν ∂P_i/∂q_ν e quindi [[d/dt (∂L/∂q̇_ν) − ∂L/∂q_ν − Q_ν E=QUAZIONE DI LAGRANGE]].

Nota: le forze generalizzate hanno dimensione fisica dipendente dal parametro lagrangiano q_k. Se q_k è una dimensione lineare (tipo x, y) Q_k sarà una forza F, se q_k ha la dimensione di uno spostamento angolare (tipo θ, φ) Q_k sarà il momento di una coppia M.

Equazioni di Lagrange: caso conservativo

Se la sollecitazione attive è conservativa possiamo riscrivere la forza generalizzata come: Q_k = Σ_i=1ⁿ F_i (∂r_i/∂q_k) = -Σ_i=1ⁿ ∇V_i (∂r_i/∂q_k) = -∂V/∂q_k.

E quindi, l'equazione di Lagrange diventa: { d/dt (∂L/∂q_k^·) - (∂L/∂q_k) = (∂V/∂q_k) }.

Al fine di semplificare la simbologia di tale equazione possiamo considerare che il potenziale è una funzione delle sole posizioni per cui: V = V(x,y,z) ⇒ (∂V/∂q_k) = 0 aggiungendo al secondo membro il termine sicuramente nullo _dQ⁄_dt = 0 e operando opportune trasformazioni (non cambia il significato fisico dell'equazione):

_dQ⁄_dt - _∂Q⁄_∂qn = _dQ⁄_dt - _∂Q⁄_∂qn [_dI⁄_dt⁄_∂qn - _dQ⁄_{∂qn] = 0}

_d/dt [_∂T⁄_∂qn] - _∂T⁄_∂qn - _dQ⁄_∂qn- _∂Q⁄_{∂qn] - 0}

Possiamo definire una funzione, chiamata lagrangiana L = T - U per cui è possibile scrivere le equazioni di Lagrange in forma compatta:

_d∂L⁄_∂qn - _∂L⁄_{∂qn = 0 , n=1..l}

Equazioni di Lagrange caso conservativo

Per sistemi olonomi e vincoli lisci, fissi e bilateri (con sollecitazione attive conservative) Oss: i vincoli devono essere bilaterali: altrimenti non esistono parametri lagrangiani: vincoli unilateri non sottraggono gradi di libertà: ma riducono solo lo spazio delle configurazioni.

Stazionarietà del Potenziale (o Metodo del Potenziale)

Principio dei lavori virtuali

Il principio dei lavori virtuali offre il vantaggio di eliminare in causa solamente le forze attive al fine della determinazione delle configurazioni di equilibrio di un sistema, ignorando le reazioni vincolari che sono normalmente delle incognite aggiuntive rispetto al problema dell'equilibrio. Ha come limitazione l'ipotesi che i vincoli siano lisci, ai fini della determinazione di tutte le configurazioni di equilibrio di un sistema. Lo enunciamo:

"Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema meccanico a vincoli lisci sia in equilibrio in una configurazione Co, è che il lavoro virtuale delle forze attive sia nullo per ogni spostamento virtuale (elementare) compatto e portante da Co."

Spostamento elementare virtuale δ P_i = ∑_j=1^h ∂ P_i/ ∂ q_j δ q_j   Vi q... mcon S ∈ f (P_i,m_i)_{i=3,4,...,n-1};  P_i P_i (q₁, q₂ ...., q_n) n gradi di libertà.

Lavoro Virtuale Elementare delle Forze Attive δL_f = ∑_i=1^mF_i·δP_i

Per il Principio dei Lavori Virtuali: [δL_f = 0]. Ricordando che una Forza generalizzata in funzione dei parametri Lagrangiani è: Q_s = ∑_i=1^mF_i·∂P_i/∂q_s riscrivendo il principio dei lavori virtuali: δL_f = ∑_i=1^mF_i·δP_i = ∑_i=1^mF_i·∑_s=1^h∂P_i/∂q_s·δq_s = ∑_s=1^hQ_s·δq_s = 0.

C.M.S. Affinché δL_f = 0 ⇔ {Q_s = 0} se F_i i = 1,...,n CONSERVATIVE ∃U: 3 ∇F_i = ∇U; ∀ i=1, ..., m dove U = ∑_i=1^mU_i(q_i).

Dimostriamo dunque che ∂U/∂q_s - ∑_i=1^m(∂U_i/∂q_s - ∑_i=1^mU_i·∂P_i/∂q_s - ∑_i=1^mF_i·∂P_i/∂q_s = Q_s per cui se la sollecitazione attiva è conservativa è possibile individuare le configurazioni di equilibrio tramite la seguente relazione: ∂U/∂q_s =0 | ∀s 1,...,h.

Nota: si verifica che si il caso statico delle eq. di Lagrange conserv.

Stabilità delle configurazioni di equilibrio

Considerando un sistema materiale S ad n g.d.l. in una sua configurazione di equilibrio: C_o = (q₁^o, ..., q_n^o) abbiamo:

• C_o stabile se: ∃ I(C_o) intorno di C_o ∋ ∀ C_o → C spostamenti, C ∈ I(C_o) [ L_F^(C_o→C) < 0 ] : se il lavoro compiuto dalle forze attive in un intorno della configurazione di equilibrio è minore di zero (STABILE). Se la sollecitazione attiva è conservativa: F_c→c = 0 L_F = U(C) - U(C_o) < 0.
• C_o indifferente se: [ ∃ I(C_o) > ∀ C_o → C ∈ I(C_o) ] : [ L_F^(C_o→C) > 0 ]
• C_o instabile se: Nel sistema è conservativo vale: [ L_F^(C_o→C) > 0 ]

In più se il sistema è conservativo vale:

Teorema:

Se in C_o il potenziale ha un minimo isolato (l'energia potenziale ha un minimo isolato) C_o è una configurazione di equilibrio instabile.