Dinamica Parte 3 Meccanica Razionale

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO CON ASSE FISSO

(O, x, y, z) Riferimento fisso

(O, x', y', z') Riferimento solidale di

versore î ĵ k̂

Il corpo rigido con asse fisso ha un grado di libertà:

assumiamo come parametro l'angolo θ, l’anomalia θ

del piano solidale x'y', misurata a partire dal

piano fisso xy, positivamente in senso levogiro rispetto

all’asse z.

Comunque sia realizzato la finità dell’asse - se i vincoli

saranno lisci - il momento risultante, rispetto all’asse

fisso z, z della reazione esplicate dei vincoli è

nullo: f∥μ=0 : q vincoli lisci.

1. Per risolvere il problema della dinamica del
2. corpo rigido con asse fisso e liscio, applichiamo
3. quindi le equazioni cardinali della dinamica,
4. assumendo come polo dei momenti il punto O
5. appartenente all’asse fisso.

İ(AB,t) = F + Φ

İ(O) = M(O) + μ(O)

Utilizzando l’informazione sul comportamento meccanico

dei vincoli (assimilabili a luce) e tenendo conto che il

versore u è costante in (0; x, y, z), la seconda ||

eq. cardinale della Dinamica, proiettata lungo z,

fornisce l’equazione differenziale pura dei moti:

_Iz = _Mz Eq. Pura dei moti del sistema

1. Troviamo l’espressione di _K(0) : corpo rigido con asse fisso

_K(0) = m (_p0-_O) × _J(0) + _G(0) _w

Poiché

_J(0) · _O → m_{(p0-O) × J(0) = 0}) (polo O fisso)

_w = _Ĉf_w

_G(0) = | I₁₁ I₁₂ I₁₃ |

| I₂₁ I₂₂ I₂₃ |

| I₃₁ I₃₂ I₃₃ |

abbiamo

_K(0) = _G(0) _w = | I₁₁ I₁₂ I₁₃ | | 0 |

| I₂₁ I₂₂ I₂₃ | | 0 |

| I₃₁ I₃₂ I₃₃ | | &qdot; |

= &qdot; | I₁₃ &qdot; I₂₃ &qdot; I₃₃ × ⊂K

segue di {i_o, K = 0. j_o, K = 0.

_K, K = ₁/_K 7}

→ _Kz = _I33 ≐ ⊂ I_z ≐ → per cui

_Mz = &doteq K _z ↔

_Mz = _Iz ≐

{→ coordinatezione }

tenendo presente la relazione di velocità possibile

(precedentemente scritta), verifichiamo che

_∂Ti^∂q_n = _∂Pi^∂q_n per cui

= ^mΣ_i=1 Q_{i ∂Pi}^∂q_n

Se di quest'ultima relazione ne facciamo la derivata

totale rispetto al tempo:

_dT^{dt ∂q_n} = ^mΣ_{i=1 ∂Qi}^∂q_n P_i + ^mΣ_i=1 Q_{i ∂Ti}^∂q_n

L'ultimo termine di tale relazione è proprio _∂T^∂q_n (4-1)

per cui possiamo scrivere

⎧ _dT^{dt ∂q_n} - _∂T^∂q_n = ^mΣ_i=1 Q_{i ∂Pi}^∂q_n ⎫

⎩

Ora dobbiamo verificare che ^mΣ_i=1 Q_{i ∂Pi}^∂q_k esprima

la forza generalizzata dovuta alla sollecitazione

attiva.

Continuazione Eq. di Lagrange

Stazionarietà del Potenziale (o Metodo del Potenziale)

Principio dei Lavori Virtuali

Il principio dei lavori virtuali offre il vantaggio di eliminare in causa solamente le forze attive ai fini della determinazione delle configurazioni di equilibrio di un sistema, ignorando le reazioni vincolari, che sono normalmente delle incognite aggiuntive rispetto al problema dell'equilibrio.

Ha come limitazione l'ipotesi che i vincoli siano lisci, e finì della determinazione di tutte le configurazioni di equilibrio di un sistema.

Lo enunciamo:

"Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema meccanico a vincoli lisci sia in equilibrio in una configurazione C_o è che il lavoro virtuale delle forze attive sia nullo per ogni spostamento virtuale (elementare) compatìbile a partire da C_o."

Spostamento elementare virtuale

(∑_i=1)^s P_i δ q_i = ∑_i=1^s (J_ij P_i) δ q_j

dove S = f(P_i, u_ij) i, j = 1, ..., n

n gradi di libertà