Dinamica delle Strutture scienza 2

INGEGNERIA SISMICA

Terremoto è un evento complesso da descrivere. Danni provocati dal terremoto, oltre che dall'intensità, dipendono da caratteristiche stratigrafiche e topografiche del terreno e dai caratteristiche degli edifici costruiti sopra.

Progettare un qualsiasi antibismo vuol dire progettare qualcosa che non produca danni alle persone (cioè che permetta alle persone di salvarsi) e non necessariamente che resti in piedi dopo il terremoto.

Un buon progetto è una struttura che permette alle persone di salvarsi in tempo, limitando le ultime e i feriti, anche crollando in seguito al terremoto.

Le strutture duttili sono capaci di dissipare molta energia durante il terremoto.

I danni del terremoto li leggo in termini di spostamento impresso all'edificio, e non in termini di forza applicata sull'edificio. In base allo spostamento che una struttura può reggere, si possono stabilire delle prestazioni dell'edificio.

→ CURVA PRESTAZIONALE

• Alta prest. → bassi spost.
• Bassa prest. → alti spost.

→ Per zone a basso rischio sismico posso richiedere strutture con ft basse prestazioni, SLV (simile allo stato limite di esercizio SLE)

→ Per zone ad alto rischio sismico devo richiedere strutture con alte e basse prestazioni SLD SLC e SLV (simile alle SLU)

La frequenza dell’evento dipende dal suo periodo di ritorno

Safely critical objective → edificio deve e richiesto sempre

prestazioni alte anche in seguito

a un terremoto (ad esempio gli ospedali,

che devono rimanere sempre operativi)

La progettazione si basa su un approccio estremamente probabilistisco

nel caso di sismi. (anche se conoscessi l’intensità, non conosco

l’onda di oscillazione e come oscillerà il terremoto).

Isolamento alla base

ad esempio le gomme

che permettono uno scorrere relativo

gli isolatori possono

essere schematizzati come

la molla riesce a

smorzare l’energia

orizzontale

e diminuire la componente

orizzontale del terremoto

Sistemi a un grado di libertà (Narra)

(pensiline ferroviarie) → 1 grado di libertà

(coperture molto → si possono schematizzare

massive rispetto → in una massa concentrata

alle colonne)

può considerare

le colonne prive di

massa rispetto alle copertura

può schematizzare come (passiamo da un sist. con 30 a uno 1D)

dove u è l’unico spost.

(A meno di campate molto ampie e

si possono trascurare gli spost.

trasversali)

i t a s s u e r latizzator ind colone assimilateralmente deformabili

mü(t) + b₁(t) + b₂(t) = f(t)

⭢

⭢

mü(t) + c u(t) + k u(t) = f(t)

⭢ eq moto sist. lineare 1 grado di libertà

Case sismo

In caso di sisma non esiste una vera e propria forzante, ma sappiamo delle accelerazioni nascono dal terreno, che creano delle forze di inerzia sulla struttura

u

ü_g(t)

ya del terreno

Prendiamo un telaio (schematizzato come sistema)

u_g(t)

Dato che nel sisma abbiamo un moto rigido del terreno, immagino che le fondazioni della struttura

si spostino di una quantità q ug(t) nel tempo

u_n(t) = spost del traverso totale

U₁(t) = spost relativo = u₁(t) - u_g(t)

Da questo spost. derivano le sollecitazioni della struttura

ug(t) = spost terreno dovuto ai terremoto

positive shear type

e si riparte

frequenza naturale

Quando possiamo analizzare le soluzioni possibili:

Ipotesi:

• cond. a contorno
• U(0)=U₀
• U'(0)=0 → tang. orizzontale

non si smorza nel tempo

Eq. del moto diventa → U(t) = U₀ cos ω_nt → tangente nulla

Caso U(0)>0 e U'(0)<0

Parte con una tangente negativa che va verso il basso

Sapendo ω_n= sqrt(k/m) → T_n=2π sqrt(m/k), f_n=1/T_n=sqrt(k/m)

Se m↑ → T_n↑

Invece se k↑ → T_n↓

T_n riveste un ambito fondamentale nell'ingegneria sismica

Vibrazioni forzate non smorzate (un grado di libertà)

In questo caso:

c = 0p(t) ≠ 0

Assumiamo una forzante sinusoidale => p(t) = p₀sinωt

μü+kui = psinωt => eq. moto oscillazioni non smorzate

con forzante sinusoidale

Ipotiziamo che l'eq. sia a coeff. costanti. (k e m costanti)

(1) soluzione omogenea associata

(2) soluzione particolare —> una qualunque sol.

che soddisfa l'eq. di moto

che soddisfa l' osc. libere non smorzate

=> u(t) = U_c(t) + u_p(t)

U_c(t) = A cosω₀t + B sinω₀t

u_p(t) = _p0/^k₁/^{(1 - (_ω/ω₀)²) sinωt}

Dove A e B si ottengono imponendo nell' eq. del moto l'equivalenza delle

condizioni a contorno.

(A e B sono diversi da quelle delle sol. delle oscillazioni libere non smorzate)

(u(t): u(0) e ü(t): ü(0) = ü(0))

=> da qui determino A e B

=> u(t) = u(0)cosω₁t _{(ü(0) - p0)kw1}/^{1 - (ω/_ω0)²} sinω₁t + p₀/k₁/^{1 - (ω/_ω0)²} sinωt

U_c(t) Parte transitoria

(dipendente dalle cond.) e condizioni del sist.

U_st = p₀/k = risposta statica del sistema

Termine particolare (che deriva soltanto dalle caratteristiche della forzante)

risposta dello smorzato

sviluppo risposta

Importante riportare il grafico in termini di ω/ω_n perché così si può rendere conto dell'errore commesso nel trascurare carichi dinamici

Per t → ∞ ⇒ u(t) = ±¹/_2ξ

Se il sistema è poco smorzato ⇒ ξ << 1 —> si può semplificare l'espressione dello spost...

⇒ u(t) = u_st¹/_2ξ[—(e^ξω_nt—¹/₄) cosω_nt —> soluzione in risonanza di una struttura.

inviluppo della risposta

Più si riduce lo smorzamento strutturale e più l'inviluppo sarà più grande (cioè largo e appiattito)

P₂

P₁

P₁

P₂

inviluppo ξ = 0,05 inviluppo ξ = 0,005

Con P₂ ≥ P₁

P₁ = ^–50/_20,01

P₂ = ^–10/_2,005

Condensazione statica per sistemi a più gradi di libertà

con EA → ∞

C sono n gradi di libertà

K = 8x8

Se concentriamo l'innesto del telaio sugli orizzontamenti

μ2 le masse sono unicamente traslate e non ruotare

dove m₁ ed m₂ inglobano al loro interno le masse delle travi e delle

quantoparte di colonne nella loro zona di influenza

Sono presenti 2 gradi di libertà → Kc = 2x2

Si vuole cercare di passare da una matrice K 8x8 a una Ke 2x2

attraverso la condensazione statica

Vogliamo scrivere = μü + Kc u = p

Il significato di Kc è la determinazione della matrice di

rigidezza della struttura considerando come gradi di liberta unicamente u₁ e u₂ però

lasciando libere le rotazioni dei nodi (senza considerare nelle opure bloccate con i morsetti)

prima colonna Kc → u₁=1 e u₂=0

def → i nodi possono ruotare