Meccanica - dinamica dei sistemi meccanici

G

β β

− ± −

2 4 km

λ

= t

x (

t ) Ae λ

dove con notazione esponenziale

=

G 2 m

( )

ξϖ ϖ ϖ

−

= +

t

x (

t ) e A cos t A sin t con notazione goniometrica.

n

G 1 d 2 d

β β

k ϖ ϖ ξ

; ; = − 2

1

ξ

ϖ = =

= ϖ

2 m 2 km

n d n

m n

( )

ϖ ϕ ϖ ϕ ϖ ϕ ϖ ϖ

+ = ⋅ + ⋅ = +

C sin t C sin t cos C cos t sin A cos t B sin t

Si può anche scrivere: d d d d d ϕ

=

A C sin

dove: ϕ

=

B C cos

x (t )

L’integrale particolare , è l’unico termine che sopravvive in condizioni di regime, esso

P

dipende dalla forzante e vale:

= =

x (

t ) f / k f (

t ) f

se (comando a gradino)

P 0 o

( )

ϑ

= Ω − = Ω

x (

t ) x cos t f (

t ) f cos t

se (comando armonico), dove:

P 0 o ξ

Ω

2

f / k

=

x 0 ϖ

0 2 ϑ

2 =

  arctg n

 

ξ

Ω Ω

2 ;

2

  Ω 2

 

− +

1  

  −

1

ϖ

ϖ 2  

  ϖ 2

n

n n

( )

ϖ ϖ

= +

x (

t ) A cos t A sin t

Se il sistema non è smorzato: G 1 n 2 n

( )

= Ω

x (

t ) x cos t

P 0 ϑ

Si nota che se il sistema è smorzato esso oscilla con un certo ritardo di fase che non ha nulla a

ϕ

che vedere con la fase che deriva dalle leggi di Eulero.

ESEMPIO 1: m

Supponiamo di applicare una forzante a gradino: f

f

( ) 0

ζϖ ϖ ϖ

−

= + +

t

x (

t ) e A cos t B sin t 0

n d d k

( ) ( ) t

ζϖ ζϖ

− −

ϖ ϖ ϖ ζϖ ϖ ϖ

= − − +

t t

x (

t ) e B cos t A sin t e A cos t B sin t

 n n

d d d n d d

Imponiamo le condizioni iniziali: f f

+ = = −

= B 0 B

0 0

x ( 0

) 0 => k k ζ f

= − 0

A

ϖ ζϖ

= − =

x ( 0 ) 0 A B 0

=>

 k

d n ζ

− 2

1

 

ζ f f f

 

ζϖ ϖ ϖ

−

= − − +

t

x (

t ) e cos t sin t

0 0 0

n  

d d

k k k

ζ

− 2

1

 

x

f 0

k t

Supponiamo di applicare una forzante a impulso:

δ f

δ = ∀ ≠

(

t ) 0 per t 0

δ = ∞ =

(t ) per t 0 f 0

∫ ∫

δ = =

(

t ) f dt 1

0

ε ε ε

t t

ε → ∞

→ f

Pertanto se =>

0 0

Nel caso dell’impulso, l’accelerazione è infinita pertanto velocità e spostamento sono nulle. È come

se il fenomeno avvenisse talmente velocemente che molla e smorzatore non riescono ad

accorgersene, l’equazione diventa pertanto:

1

∫ ∫

δ

= =

m

x (

t ) 1



 + =

x ( 0 )

=>  m

ε ε + =

x ( 0 ) 0

Applichiamo ora le condizioni: =

A 0

=

A 0 1

=>

1 =

ζϖ ϖ B

= − +

A B ϖ

m

n d

m d

1 ζω ϖ

−

= t

h (

t ) e sin t

n

ϖ d

m d 1 ϖ

=

h (

t ) sin t

In assenza di smorzamento avremmo: ϖ n

m n

x t

Supponiamo di applicare una forzante armonica: f

( ) ( )

ζϖ

− ϖ ϖ ϑ

= + + Ω −

t

x (

t ) e A cos t B sin t x cos t

n d d 0 Ω

f cos t

0

Dove: ξ

Ω

2

f / k

=

x 0 t

ϖ

0 2 ϑ

2 =

  arctg n

 

ξ

Ω Ω

2 ;

2

  Ω 2

 

− +

1  

  −

1

ϖ

ϖ 2  

  ϖ 2

n

n n

Poiché nel sistema smorzato la soluzione generale viene sempre trascurata essendo appunto

smorzata (a regime infatti rimane solo il termine oscillatorio dell’integrale particolare),

consideriamo adesso il sistema non smorzato:

( )

ϖ ϖ

= + + Ω

x (

t ) A cos t B sin t x cos t

n n 0

( )

ϖ ϖ ϖ

= − − Ω Ω

x (

t ) B cos t A sin t x sin t

 n n n 0

f / k f / k f

= = =

x 0 0 0

( )

0 − Ω

    2

Ω 2 k m

Ω 2 m ϑ =

; 0

   

−

− 1

1  

 

2

ϖ k

 

 

n

Imponiamo le condizioni iniziali: f

= − = −

= + = A x 0

x ( 0

) 0 A x 0

=> =>

0 0 − Ω 2

k m

ϖ

= = =

x ( 0

) 0 B 0

 => => B 0

d

   

f f f ( )

ϖ ϖ

= − + Ω = Ω −

   

x (

t ) cos t cos t cos t cos t

0 0 0

n n

− Ω − Ω − Ω

2 2 2

   

k m k m k m

IL BATTIMENTO è un fenomeno che si verifica quando il sistema viene eccitato con una

pulsazione prossima alla pulsazione di risonanza:

  ϖ ϖ

+ Ω − Ω

   

f / m 1 1 2 f

( )

  ϖ

= Ω − = =

   

20 0 n n

x (

t ) cos t cos t sin t sin t

  n ϖ ϖ

− Ω + Ω

ϖ − Ω 2 m 2 2

   

  n n

n

2 f ϖ ε

= ⋅

sin t sin t

0 m

ϖ ε

m m π

ϖ

ϖ + Ω − Ω π

2 2

=

ε

ϖ = = T =

n n T

Dove: ; => ;

ϖ

m ε ε

m 2 2 m

ϖ ε ϖ

Ω ≅ << <<

T T

Se => => ε

n m m Andamento della risultante

T ε ϖ

sin t sin t

m m

T

ε ϖ

Ω

Dunque se è prossima a si ha questo fenomeno di modulazione dell’ampiezza, vediamo

n

ϖ ε

ε

Ω = = =

cosa succede quando => =>

0 sin t 0

n

ε ε

sin t t cos t

= =

lim lim t

ε 1

ε ε

→ →

0 0

2 f t ϖ

=

x (

t ) sin t

0

ϖ m

m m ϖ = ±

Ω = x (

t ) t

Dunque al limite, quando , la modulazione sarà compresa tra le due rette

n

bisettrici del primo e quarto quadrante:

In questo caso l’oscillazione sembra andare

ad ampiezza infinita, in pratica se sollecito un sistema con frequenza pari a quella natura questo va

in risonanza, cioè oscilla con ampiezza sempre crescente, ovviamente l’ampiezza non può crescere

all’infinito nella realtà è sempre presente uno smorzamento di cui non abbiamo tenuto conto in

questo caso.

SISTEMI CONTINUI

 

τ τ µ

− =

T T ds y





1 1 2 2 = =

T T T

Supp. che =>

y 1 2

 

( )

τ τ µ

− =

T ds y





ds  1 2

τ

 T ϑ

  d

τ ( )

T τ τ ϑ

− = µ

=

d

2 2 T y

Sapendo che: => 



1 2

1 1 ds

1 µ

ϑ =

=

ϑ T y

Poiché =>

ds Rd 



d R

∂ ∂ ∂

2 2

2 T y y

1 y

x =

=

Poiché => µ ∂ ∂

2 2

∂ x t

2

R x

T

∂ ∂

2 2

y y =

2

c

Equazione di D’Alembert : dove

= 2

c µ

∂ ∂

2 2

t x CASO DI TRAZIONE DI TRAVE CONTINUA

dx µ

=

dN y

dx





+

N dN

µ

y

dx





dN µ

= y





dx ∂ ∂ ∂

2 2

y y y

µ

= =

N EA

Poiché => EA

∂ ∂ ∂

x 2 2

x t

EA

=> =

2

c µ

CASO DI TORSIONE DI TRAVE CONTINUA 



ϑ

=

dM I dx

u

dx dM 



ϑ

= I u

dx

M ϑ ϑ ϑ

∂ ∂ ∂

2 2

+

M dM = =

M GI

Poiché => GI I

p ∂ p u

∂ ∂

x 2 2

x t

GI





ϑ = p

I dx 2

=> c I

u u

∂ ∂

2 2

y y

= 2

Partendo dall’equazione di D’Alembert: si possono risolvere sistemi continui:

c

∂ ∂

2 2

t x

= ⋅

y ( x , t ) f ( x ) g (

t )

Una soluzione di tale equazione è del tipo:

g f ' '



 = 2

c

⋅ = ⋅ ⋅ => questa equazione mi indica che entrambi i membri sono

2

f g c g f ' '



 g f

uguali a costante. Pertanto posso scrivere:

g f ' '



 ϖ

= = −

2 2

c (negativa perché se fosse positiva portata dall’altra parte sarebbe negativa e la

g f

soluzione andrebbe a infinito). Generiamo il seguente sistema:

ϖ

+ =

2

g g 0



 2

ϖ

 

+ =

 

f ' ' f 0

c

  f (x ) g (x )

Adesso dispongo di due equazioni differenziali separate, una in l’altra in le cui

soluzioni sono due armoniche del tipo:

ϖ ϖ

= +

g (

t ) A cos t B sin t

ϖ ϖ

= +

f ( x ) D cos x E sin x

c c

La deformazione sarà così rappresentabile:

ϖ ϖ

  ( )

ϖ ϖ

= + ⋅ +

 

y ( x , t ) D cos x E sin x A cos t B sin t

 

c c

ESEMPI DI APPLICAZIONI CON CONDIZIONI AL CONTORNO

ESEMPIO 1: Condizioni ai bordi

ϖ ϖ

  ( )

ϖ ϖ

= + ⋅ +

 

y ( x , t ) D cos x E sin x A cos t B sin t

c c

 

=

y ( 0

, t ) 0 condizioni all’estremo sx (fisso in qualunque istante)

=

y (

l , t ) 0 condizione all’estremo dx (fisso in qualunque istante)