Dimostrazioni, Statistica per il marketing
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Somma di v.c. normali: 2
Se x1,x2,..,xn sono variabili casuali indipendenti con E(xi)=u e var(xi)= σ per ogni i, allora x =1/nΣxi, E(x
)=u, var(x
)=
2
σ /n. 2s2 2
Dimostriamo: se n=2: S =x1+x2 N(u , σ ) con u =2u e σ =2σ ; ad S aggiungo X : S =x1+x2+x3 N(u , σ ); in generale:
2 s s s2 3 3 s s
2sn 2
Sn=Σxi N(u , σ ) e σ =n*σ ; usando una tras ormazione di scala: x
=S/n; dato che x è una tras ormazione lineare di S,
s s 2x 2 2sn 2 2 2
anc e x sar una v.c. casuale normale con u =(1/n)*u =(1/n)*u*n=u; σ =(1/n )*σ =(1/n )* n*σ = σ /n.
x sn
Disuguaglianza di Chebicheff:
Fissato c>=0 osserviamo i valori di X centrati in u con ampiezza 2c ovvero u-c e u+c;
2 2 2
Var(x)= σ =E[(x-u) ]= Σ(x-u) p(X=x). Dividiamo la sommatoria in due parti; la prima parte riguardanti le x interne
all’intervallo, la seconda quelle esterne all’intervallo.
2 2 2
Var(x)= Σ(x-u) *p(X=x) + Σ(x-u) *p(X=x) ottenendo: var(x)>=Σ(x-u) *p(X=x), le x della seconda sommatoria sono tutte
2 2 2 2 2
tali che (|x-u|>=c), sostituiamo (x-u) con c : Σ(x-u) *p(X=x)>=Σc *p(X=x) quindi var(x)>= Σc *p(X=x)=
2 2 2
c Σp(X=x)=c p(|x-u|>=c) da cui p(|x-u|>=c)<=var(x)/c .
Legge dei grandi numeri:
La disuguaglianza di Chebicheff è valida per qualsiasi v.c. ed anche per la v.c. X/n essendo x una v.c. binomiale. La
legge dei grandi numeri afferma che per n grande la divergenza fra la v.c. fr relativa X/n e la sua aspettativa p è
molto limitata e all’aumentare di n la divergenza ra X/n e p=(A) tende a ridursi.
2 2
E(x/n)=1/n*E(x)=1/n*n*p=p; Var(x/n)=(1/n) *Var(x)=npq/n =nq/n. Dove la v.c x/n rappresenta nel modello
probabilistico la fr relativa. Applicando la disuguaglianza di Chebicheff a x/n si ha:
2 2
P[|x/n-E(x/n)|>=c]<=var(x/n)/c ; P[|x/n-E(x/n)|>=c]<=pq/nc valida per qualsiasi n. All’aumentare di n il rapporto
2
pq/nc tende a 0. Ne consegue che P[|x/n-p|>=c]>=0 è una probabilità ed al crescere di n tende a 0. Quindi
otteniamo lim da n a ∞ P[|x/n-p|>=c]>=0.
Teorema del limiti centrale: 2
Siano x1,x2,..,xn v.c. indipendenti e identicamente distribuite con aspettativa E(xi)>u, var(xi)= σ , dove i=1,..,n sono
quantità finite. La somma delle v.c è Sn=x1+x2+..+xn. L’aspettativa di Sn è: 2
E(Sn)=E(x1+x2+..+xn)=E(x1)+E(x2)+..+E(xn)=nu. La var(Sn)=var(x1+x2+..+xn)=nσ . Data l’indipendenza della v.c. X al
2
crescere di n la funzione cumulata della v.c. Sn-nu/σ √n converge alla unzione di ripartizione della v.c.
standardizzata. Quindi P((Sn-nu/ σ√n)<=z)=F(z).
Funzione generatrice dei momenti:
Si dice che la v.c. X possiede la f.g.m. se esiste δ >0 tale che m t<∞ per ogni t∈(- δ, δ). Allora m (t) è detta f.g.m. di X.
x x
tx
1) Sia una v.c. tale che E(e )< ∞ per ogni t∈(- δ, δ). Allora X ha momenti di ogni ordine e per ogni t∈(- δ, δ) risulta:
r r r
mx(t)=Σ(t /r!)*u dove u =(d /dt )*mx(t)|
r r t=0
2) Siano m (t) e m (t) le f.g.m. delle v.c. X e Y, si suppone che esista δ tale che per ogni t∈(- δ, δ) valga m (t). Allora le
x y x
due v.c. hanno la stessa distribuzione, cioè Fx(v)=fy(v), per ogni v reale.
3) Sia m (t) la f.g.m. della v.c. xi,i=1..n; siano le v.c. xi indipendenti. Allora my(t)= πm (t), con y= Σxi.7
xi xi
Variabili casuali discrete:
V.c. binomiale:
La v.c. binomiale esprime la somma di n variabili casuali indicatore indipendenti aventi la medesima probabilità di
x n-x t n
successo. P(X=x)={(n x)p (1-p) , x=0,1..n e 0 altrove. E(x)=np; Var(x)=npq. F.g.m.=m(x)t=[(1-p)+pe ] .
V.c. ipergeometrica:
p(X=x)= (n r) (N-r n-x)/(N n), max (0,n+r-N)<=x<=min(r,n). E(x)=n*(n/r); var(x)=n*(n/r)*(1-(n/r))*(N-n/N-1). È ben
approssiamata la v.c. binomiale se n<N/10.
V.c. di Poisson:
- λ x λ(et-1)
P(X=x)=e *λ , x=0,1,n, λ>0. λ=aspettativa; E(x)= λ; var(x)= λ; mx(t)=e .
Teorema: sia X1 una v.c. di Poisson di parametro λ1 e X2 una v.c. di Poisson di parametro λ2, siano X1 e x2
indipendenti in probabilità, allora la v.c. X=X1+X2 + una v.c. di Poisson con parametro (λ1+ λ2),
λ1(et-1) λ2(et-1) (λ1+ λ2)(et-1)
mx(t)=mx1(t)*mx2(t)= e * e = e .
Impieghi:
-la probabilit c e nell’intervallo di ampiezza si abbia x=1 è approssimativamente proporzionale ad :
P{X=1}=vh+0(h).
-la probabilit c e nell’evento di ampiezza si abbia x>=2 è trascurabile relativamente alla probabilit di avere x=1:
P{X>=2}/P{X=1}=0(h).
-Il numero di presenze del fenomeno in intervalli temporali incompatibili sono indipendenti in probabilità.
-Se le 3 condizioni si verificano si dimostra che il numero di accadimenti X di un fenomeno in un intervallo di tempo
di ampiezza t segue la distribuzione di Poisson con parametro λ.
V.c. casuali continue
V.c. Gamma:
La v.c. Gamma è distribuita secondo una gamma di parametri α>0 e ϴ>0 se la funzione di densità è data da
α α-1 -ϴy α-1 -x
F(y)={(ϴ /T(α))*y *e con y>0, e 0 altrove. Dove T(α)=∫da0 a ∞ x *e dx.
Proprietà: r r
T(α+1)= αT(α); T(n)=(n-1)!; E(Y )=(1/ ϴ )*(r+α-1)* (r+α-2)*..* α.
2 2 2 α
Per r=1 si ottiene E(X)= α/ϴ; per r=2 si ottiene E(X )= (α*( α+1))/ϴ dove var(x)= α/ϴ , mx(t)=( ϴ/ ϴ-t) .
Casi particolari: - ϴy 2
-α=1, v.c. di parametro ϴ: f(y, ϴ)={ ϴe con y>0, ϴ>0, e 0 altrove; E(Y)=1/ϴ; var(Y)=1/ϴ ; Fy(Y)=P{Y<=y};
-ϴb -ϴa -ϴa -ϴb
P{a<=y<=b}=Fy(b)-Fy(a)=(1- e )-(1- e )= e - e . k/2 (k/2)-1 (-1/2y)
-α=k/2, ϴ=1/2, v.c. chiquadrato con k g.d.l.: f(y,k)={((1/2) /Tk)*y *e con y>0, e 0 altrove.
2 k/2
EY)=(k/2)/(1/2) dove l’aspettativa coincide con i g.d.l.; var(y)= (k/2)/(1/2) =2k;my(t)=(1/1-2t) ;
(k1+k2)/2
La somma di 2 chiquadrato indipendenti è uguale ad un c iquadro Xi≈χ(ni); mx1+x2(t)=(1/1-2t) la funzione si
distribuisce con gradi di libertà k1+k2.
Variabile casuale normale: 2
La v.c. normale f(x;u; σ)=1/( σ/√2π)*e-1/2((x-u)/σ) ,
2 2
sia X1 una v.c. normale di aspettativa u1 e var σ1 , sia X2 una v.c. normale di aspettativa u2 e var σ2 , siano X1 e X2
2 2
indipendenti in probabilità, allora la v.c. X=X1+X2 è una v.c. normale di aspettativa u1+u2 e carianza σ1 + σ2 ,
(u1+u2)t+1/2(σ12 σ22)t2
mx(t)=mx1(t)*mx2(t)=e .
2
Y=X 2
Sia X una v.c. normale standardizzata, allora la v.c. Y=X è una v.c. chiquadro con n g.d.l..
2 -x2/2 -
Dimostrazione: Fy(y)=P{Y<=y}=P{Z <=y}=P{-√y<=Z<=√y}=∫ da -√y a √y 1/(√2y π)e dx=2∫da 0 a √y 1/(√2y π)e
x2/2 -v/2 1/2 1/2 1/2-1 -v/2
dx=2∫da 0 a y (1/√2)*(1/√ π)*(1/2√v)*e dv=∫da o a y (1/2) *(1/T )*v e dv, che è la funzione cumulata
della probabilità di una v.c. chiquadro con 1 g.d.l..
5°proprietà ta ty t/a+bx) ta btx ta
Sia X dotata di f.g.m. allora posto Y=a+bx, esiste my(t)=e *mx(bt). my(t)=E(e )=E(e )=e *E(e )=e *mx(bt).
2 2 2 ta btu+1/2 σ2b2t2 (a+bu)+1/2 σ2b2t2
X≈N(u, σ ). Y=a+bx≈N(a+bu,b σ ). my(t)=e *e =e .
Teorema sul campionamento da distribuzione normale:
2
siamo (x1,x2,..,xn) v.c. normali di aspettativa u e var σ ed indipendenti in probabilità.
-Dedurre la distribuzione x
=1/n Σxi….. la v.c. x
=1/n Σxi (media campionaria) si distribuisce come una normale di
2 2
aspettativa u e var σ /n. vvero x
=1/n Σxi≈N(u; σ /n).
2 t/n
Yn=X1+X2+..+Xn; Yn≈N(nu,nσ ); x
=Yn/n ovvero trasformazione lineare a=0 e b=1/n; mx
(t)=myn(t/n)=e *un*1/2n
2 2 2 tu+1/2t2σ2/n
σ *(t / σ )=e . 2
Per il teorema dell’unicit della .g.m. x a distribuzione normale con aspe a va u e var σ /n. A
2 2
-la v.c. x e S =(1/n-1) Σ(xi- x ) sono indipendenti.B
2 2 2 2= 2 2
-dedurre la distribuzione V=Σ(xi- u) / σ ….. la v.c. (n-1)S / σ Σ(xi- x ) / σ si distribuisce come una chiquadro con n-1
2 2= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
g.d.l.; (n-1)S / σ Σ(xi- x
) / σ ≈χ (n-1); Σ(xi- u) / σ =( Σ(xi- x
) / σ )+n Σ(xi- u) / σ --> Σ((xi- u)/ σ) =(Σ(xi- x ) / σ )+((x
-
2
u)/σ/√n) .C
Otteniamo che A=B+C e mA(t)=mB(t)*mC(t).
Distribuzione t di Student: 2 (k+1)/2
Densit : (x)=T((k+1)/2)/T(k/2)*(1/√k π)*(1/(1+(x /k)) , con XЄR e k>0. È una funzione simmetrica monotona
decrescente, non ha f.g.m. poiché non esistono tutti i momenti, u esiste per r<k. E(X)=0 e var(X)=k/(k-2) dove (k>2).
r
Sia Z una v.c. distribuita come una normale standardizzata. Sia U una v.c. distribuita come una chiquadrato con k
g.d.l.. Siano Z e U indipendenti in probabilità. Allora la v.c. X=Z/√(U/k si distribuisce secondo una t di Student con k
g.d.l. 2
Sia (X1,X2,..,Xn) un campione casuale proveniente dalla v.c. normale di aspettativa u e var σ allora la v.c. T=(x -
2 2
u)/(S/√n) a distribuzione t di Student con (n-1) g.d.l. Avendo le v.c. Z=(x
- u)/(σ/√n) e U=(n-1)S / σ e poic sono
2 2 2
indipenden possiamo o enere le v.c.: T=[(x
-u)/(σ/√n)]/ (√[(n-1)S / σ ]/n-1)= (x
- u)/ (√S /n) la cui distribuzione è t di
Student con (n-1) g.d.l.
Distribuzione F di Fischer:
Siano U e V due v.c. chiquadro indipendenti con m e n g.d.l. allora la v.c. X=(U/m)/(V/n) è distribuita come una F di
Fischer con m e n g.d.l. m rappresenta i gradi di libertà del numeratore, n quelli del denominatore. E(X)=n/(n/2) con
2 2 r
n>2; Var(X)=[2n (m+n-2)]/[m(n-2) (n-4)] con n>4; u =E(X ) esiste solo per r<n/2, Non ha f.g.m..
r
Siano U e V due v.c. chi-quadrato indipendenti con m e n g.d.l. rispettivamente. Allora la v.c.
X=(U/m)/(V/n) è distribuita come una v.c. F con m e n g.d.l. 2 2
Siano (X1,X2,..,Xn) e (Y1,Y2,..,Yn) campioni casuali indipendenti con rispettiva varianza σ x σ y e aspettativa ux e uy,
2 2 2 2 2 2
proveniente da delle v.c. normali. Allora x=[(Σ(xi- x ) / σ )/(m-1)]/ [(Σ(yi- ӯ) / σ )/(n-1)]=S x/S y che sono le varianze
campionarie corrette; ha distribuzione F di Fischer con (m-1) e (n-1) g.d.l.
Se X ha distribuzione F di Fischer con m e n g.d.l. allora Y=1/X ha distribuzione F di Fischer con n e m g.d.l. Determina
il quantile: P{Y<=ya}=P{X=1/Y>=1/ya}=α-->P{X<=1/ya}=1-α-->y =1/x .
α (1-α)
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher menguz di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica per il marketing e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano Bicocca - Unimib o del prof Zini Alessandro.
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