Dimostrazioni, Statistica per il marketing

X=(U/m)/(V/n) è distribuita come una v.c. F con m e n g.d.l. 2 2

Siano (X1,X2,..,Xn) e (Y1,Y2,..,Yn) campioni casuali indipendenti con rispettiva varianza σ x σ y e aspettativa ux e uy,

2 2 2 2 2 2

proveniente da delle v.c. normali. Allora x=[(Σ(xi- x ) / σ )/(m-1)]/ [(Σ(yi- ӯ) / σ )/(n-1)]=S x/S y che sono le varianze

campionarie corrette; ha distribuzione F di Fischer con (m-1) e (n-1) g.d.l.

Se X ha distribuzione F di Fischer con m e n g.d.l. allora Y=1/X ha distribuzione F di Fischer con n e m g.d.l. Determina

il quantile: P{Y<=ya}=P{X=1/Y>=1/ya}=α-->P{X<=1/ya}=1-α-->y =1/x .

α (1-α)

2 2

- ) / σ da popolazione normale:

2 2 2 2 2

U=Σ(xi- x ) /σ si distribuisce come una c i quadro χ con (n-1) g.d.l.. Dimostriamo Σ((xi- x )/ σ) ≈ χ (n) ovvero la somma

2 2 2 2 2 2 2

di n v.c. χ indipendenti, Σ(xi-A) = Σ(xi-u1) +N(u1-A) . A=u, u1= x , Σ((xi- x )/ σ) = Σ((xi- x )/ σ) + (n(xi- u)/σ) ovvero è la

2

standardizzata di una x c e al quadrato dice c e la distribuzione è una χ con 1 g.d.l..

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Si ha U =V +Z essendo U e Z indipendenti e distribuite come due χ con u,n e 1 g.d.l.: mu (t)=m(v +z )(t) da cui

2 2 2 2 r/2 2 n-1/t

mv =mu (t)/mz (t) essendo c e la .g.m. di una χ (r) è uguale a (1/(1-2t)) -->mv (t)= (1/(1-2t)) quindi Σ(xi-

2 2 2

x ) /σ =U≈ χ (n-1).

Proprietà dei residui:

Dal sistema { Σ(x1i-x1i)=0; Σ(x1i-x1i)*x2i=0; Σ(x1i-x1i)*x3i=0; otteniamo che:

1) La loro somma è uguale a 0, in a la variabile residuoZ=x1-x a la media aritme ca uguale a 0,M1(z)=0 poiché

Σxi/N= Σx

1i/N quindi x 1= 1(x1)= 1(x 1), possiamo anc e dire c e x

1=α1+α2*x

2+α *x

3= Σx 1i/N;

x 1i=α

1+α

2*x2i+α

3*x3i.

2) I residui sono incorrelati con ciascuna delle variabili esplicative e la covarianza fra loro è 0, ovvero: Cov(Z1,X1)=0 e

Cov(Z2,X2)=0--> Cov(Z,X2)=1/NΣzi*x2i-z

x 2=0; Cov(Z,X )=1/NΣzi*x i-z

*x

3=0.

) residui sono incorrela anc e con la variabile x 1: Cov(Z,X

1)=1/N NΣzi*x 1i-z

x 1=0.

Coefficienti di regressione grezzi e parziali:

coe icienti di regressione parziali sono α12. indica la variazione di x1 in corrispondenza di un aumento unitario di

x2, nell’ipotesi c e x resti costante. α1 .2 indica la variazione di x1 in corrispondenza di un aumento unitario di x ,

nell’ipotesi c e x2 resti costante. α12. = α12 se x è incorrelata con le variabili x1 e x2. I coefficienti di regressione

grezzi sono α12= σ12/ σ22 indica la variazione di x1 in corrispondenza di un aumento unitario di x2, al lordo di una

variazione di x ; α1 = σ1 / σ indica la variazione di x1 in corrispondenza di un aumento unitario di x3, al lordo di

una variazione di x2.

Linearizzazione:

odello lineare nei parametri =α1+ Σα g (x), α =parametri, g =k-1 unzioni di x. x

=α1+ Σα g (x) ve ore esplica vo

j j j j j j

β ϓ

delle variabili x2,x . Come esempio prendiamo la Cobb-Duglas x

=α*x2 x3 è un modello non lineare nei

β ϓ 2

parametri.ϓ=1-β; β,ϓ,αЄR. D(α,ϓ,β)= Σ(x1i- α x2i x3i ) .

β ϓ 2 β ϓ β ϓ 2 β ϓ

Dal sistema {dD/dα= Σ(x1i- α x2i x3i ) *α x2i x3i =0; dD/dβ= Σ(x1i- α x2i x3i ) *α x2i x3i *logx2i=0; dD/dϓ= Σ(x1i- α

β ϓ 2 β ϓ

x2i x3i ) *α x2i x3i *logx3i=0;. Non ci sono ormule esplicite per trovare la soluzione unica per risolvere il sistema.

logx i=logα+βlogx2+ϓlogx ; 1=A+βy2+ϓy modello lineare nei parametri; y1=logx

1,y2=logx2, y3=logx3 variabili

misurate in scala logaritmica. 2

Utilizzando il metodo dei minimi quadrati troviamo ϓ =σ22* σ1 - σ12* σ2 / σ22* σ - σ2 , β

=σ * σ12- σ1 * σ2 /

2 A

σ22* σ - σ2 , =y

1-β y

2-ϓ y ; di qui A=logα, e =α, α

=e ; il modello lineare no gode delle proprietà dei residui (la 2

somma dei residui non è 0 e non vale la scomposizione della var e non si può valutare la bontà di adattamento con I ,

si applicano i parametri del modello ad un modello ausiliario, posso fare la bontà di accostamento.

Test Pizzetti Pearson:

Il test è in grado di verificare due ipotesi statistiche. A1,A2,..,Ak--> eventi incompatibili ed esaustivi. L’ipotesi nulla H0

assegna ai k eventi le probabilità Ԉ1,Ԉ2..,Ԉk: Ԉi>0 con i=1,..,k e ΣԈi=k.

Si estrae un campione casuale n e si rileva il numero dei casi con cui si veri ica l’evento Ai--> Σni=n, si considera la

2 2 2

seguente misura X = Σ(ni-nԈi) /nԈi= Σ(ni-n

i) /n

i. n

i= requenza assoluta sotto l’ipotesi nulla se osse vera. Più grande

2

è il valore di X più si accumula evidenza empirica contro l’ipotesi nulla H0

2 2

Sotto l’ipotesi H0:(p1=u1)∩..(pk=uk) la statistica X = Σ(ni-n

i) /n

i al divergere di n tende a distribuirsi come una v.c. chi

quadrato con (k-1) g.d.l. con n>=5. 2 2

Se l’ipotesi H0 prende in considerazione un modello per il quale bisogna stimare s parametri, allora la X = Σ(ni-n

i) /n

i

al divergere di n tende a distribuirsi come una v.c. chi quadrato con (k-1-s) g.d.l. con n>=5.

2

Impiego della statistica X per la veri ica dell’indipendenza distributiva di due caratteri, ovvero sotto l’ipotesi

2

d’indipendenza la statistica X si distribuisce asintoticamente come una v.c. chi quadrato con (r-1)*(s-1) g.d.l..

Test uguaglianza tra varianze:

2 2 2 2 2 21 2 22 2 21 22

H0: σ 1=σ 2, H1: σ 1≠σ 2; con σ non noto, V={[(n1-1)S ]/ σ }*(n-1)/={[(n2-1)S ]/ σ }*(n-2)=S /S ≈F[(n-1),(n-2)].

21 22 21 22 21 22

Rifiuto Ho se: S /S > F1- α/2[(n-1),(n-2)] oppure S /S non Є {Fα/2 [(n-1),(n-2)]; F1- α/2[(n-1),(n-2)]. Se S <S

22 21

rifiuto Ho se S /S >F1- α/2[(n-1),(n-2)].

Verifich d’ p p p :

Sia (x1,..,xn) un campione casuale da una v.c. indicatore di parametro p (probabilit di successo). Allora la v.c.

2 2

y=Σxi≈binomiale (n,p) con y/n=x =p

, E(y/n)=E(y)/n=np/n=p e con var(y/n)=var(y)/n =n*p*(1-p)/n =p*(1-p)/n. Per n

grande la (v.c. x

-u/ σ √n)=[(y/n)-p]/ [√p*(1-p)/n]=p

-p/[√p*(1-p)/n]≈N(0,1).

H0: p<=p0, rifiuto per p

-p/[√p0*(1-p0)/n]>Z . H0: p>=p0, ri uto per p

-p/[√p0*(1-p0)/n]<-Z . H0: p=p0, rifiuto per

1- α 1- α

|p

-p|/[√p0*(1-p0)/n]>Z . Tutte con n>=30.

1- α/2

Intervallo di con denza n>=100, {p

-Z *[√p

*(1-p

)/n]<=p>= p

+Z *[√p

*(1-p

)/n]}.

1- α /2 1- α /2

I vall d c f d a v f ca d’ p pa am d l m d ll l a c a va a l

esplicativa: (n-2) 2 (n-2) 2

Intervalli di confidenza: per β1: [β

1+t *[√ (σ /n)*(1/var(x))]];;; per β0: [β

0+t *[√ (σ /n)*(1+

1- α /2 1- α /2

2 2 2 21- (n-2) 2 2 (n-2) (n-2) 2 2

x /var(x))]];;; per σ : [(n-2) σ /χ ; (n-2) σ /χ ];;; Per u(x): [ (x)+t *[√ (σ /n)*(1+ (x-x

) /var(x))]];;;

α /2 α /2 1- α /2

2 21- (n-2) 2 2 (n-2)

per var(x): [Σ (yi-β 0-β 1x) /χ ; Σ (yi-β 0-β

1x) /χ ].

α /2 α /2 2 (n-2)

V f ch d’ p : Per β1: Ho:β1<=β10 ri iuto con β1-β10/[√ (σ /n)*(1/var(x))]>t ;;;

1-α

2 (n-2) 2

Ho: β1>=β10 ri iuto con β1-β10/[√ (σ /n)*(1/var(x))]<-t ;;; Ho: β1=β10 ri iuto con β1-β10/[√ (σ /n)*(1/var(x))]>t

1-α 1-

(n-2) 2 2 1-α/2(n-2)

;;; Per β0 H0: β0<=β00 ri iuto con β0-β00/[√ (σ /n)*(1+ x /var(x))]>t .

α/2 2 2 2 2 2 2 (n-2) 21- (n-2)

Per σ H0: σ = σ 0 rifiuto con [(n-2) σ / σ 0] non Є { χ ; χ }.

α /2 α /2

V f ca d’ p d g agl a a f a d a p a v a l camp am a d mal a

per grandi campioni:

Distribuzione normale: 21 22 2 21 22 2

σ nota: H0:u1=u2 oppure σ = σ = σ , H1: u1≠u2 oppure σ = σ ≠ σ Ri uto se |X

1-X

2|/σ√(n1+n2)/(n1*n2)>Z .

1-α/2

21 22 2 21 22 2

σ non nota: H0:u1=u2 oppure σ = σ = σ , H1: u1≠u2 oppure σ = σ ≠ σ Ri uto se |X

1-X

2|/S√(n1+n2)/(n1*n2)>t 1-

(n1+n2-2) .

α/2

Per grandi campioni: n1 e n2>=100,

21 22 2 21 22 2

σ non nota, H0:u1=u2 oppure σ = σ = σ , H1: u1≠u2 oppure σ = σ ≠ σ Ri uto se |X

1-X

2|/S√(1/n1+1/n2)>Z . Se

1-α/2

21 22 2 21 22

σ ≠σ ≠ σ non nota H0:u1=u2, H1: u1≠u2 ri uto se |X 1-X 2|/√(S /n1+S /n2)>=Z .

1-α/2

Coefficienti di correlazione grezzi e parziali:

2

Coefficienti di correlazione grezzi: r12=√[σ12 /(σ11*σ22)] indica la correlazione tra x1 e x2 al lordo delle variazioni di

2

x3; r1 =√[σ12 /(σ11*σ22)] indica la correlazione tra x1 e x3 al lordo delle variazioni di x2.

2 2

Coefficienti di correlazioni parziali: r12.3=[(r12-r1 *r2 )/√(1-r13 )*√(1-r23 )] indica la correlazione trax1 e x2 tolta

2 2

l’in luenza lineare di x ; r13.2=[(r13-r12*r2 )/√(1-r12 )*√(1-r23 )] indica la correlazione trax1 e x3 tolta l’in luenza

2 2 2 2

lineare di x2. r12=r12.3 solo se x1 e x2 sono incorrelate con x3. r 12=I 12, r 13=I 13. r12= 0 se la retta di regressione

è ortogonale, r12=1 se i valori della varianza stanno su una retta inclinata positivamente, r12=-1 se i valori della

varianza stanno su una retta inclinata negativamente.

V f ch d’ p vall d c f d a p pa am d l p a :

X 1=b+α12.3*X +α1 .2*X .

2 3 (n-3) 2 2 (n-3)

Intervallo di confidenza: per α12. :{α12. +-t √ [(σ /n)*(σ /σ22*σ -σ2 )]};;; per α1 .2:{α1 .2+-t √

1-α/2 1-α/2

2 2

[(σ /n)*(σ22/σ22*σ -σ2 )]}.

V f ch d’ p : 2 2 (n-3)

-per α12. , H0: α12. <=α20 ri iuto (α12. -α20)/√( σ /n)*(σ /σ22*σ -σ2 )]>t ;;; H0: α12. >=α20 ri iuto

1-α

2 2 (n-3) 2

(α12. -α20)/√( σ /n)*(σ /σ22*σ -σ2 )]<-