Dimostrazioni, Statistica per il marketing

Proprietà del valore atteso

Aspettativa di una costante

E(c)=c: il valore atteso di una costante è se stesso. Se c è l'unico valore possibile di Z, allora: P(Z=z)=1, quindi E(z)=c*p(Z=c)=c.

Aspettativa della somma di una v.c. costante

E(c+z)=c+E(z); sia y=z+c; E(y)=Σy_ip_i=Σ(x_i+c)p_i=Σx_ip_i+cΣp_i=E(x)+c.

Aspettativa di una v.c. somma

Z=x+y; E(x+y)=E(x)+E(y); l'aspettativa di z è data da: E(z)=Z(e₁)*p(e₁)+Z(e₂)*p(e₂)+Z(e_k)*p(e_k)=E(x)+E(y).

Prodotto tra v.c.

Generalmente E(x,y) è diversa da E(x)*E(y) ma si ha uguaglianza quando le v.c. sono indipendenti: E(x,y)=ΣΣx_iy_i*p[(X=x)∩(Y=y)]=ΣΣx_iy_i*p[(X=x)*(Y=y)]=E(x)*E(y).

Varianza e proprietà

Varianza di una costante

Var(c)=0: la varianza di una costante è 0.

Varianza della somma di una v.c. e di una costante

Var(c+x)=Var(x) poiché la varianza di c è 0, E(c+x)=c+E(x)=c+u, quindi Var(c+x)=E([(c+x)-(c+u)]=E(x-u)=Var(x).

Varianza del prodotto di una variabile casuale per una costante

Var(x*c)=c²*Var(x), dato che E(c*x)=c*u allora E(c*x-c*u)=E[c²(x-u)²]=c²*Var(x).

Varianza di una v.c. somma

Z=y+x: poniamo E(x)=u, E(y)=n, quindi E(x+y)=u+n: Var(x+y)=E[(x+y)-(u+n)] = E[(x-u)²+(y-n)² + 2E[(x-u)(y-n)]].

Teorema della covarianza tra due v.c. indipendenti

Cov(x,y)=E[(x-u)(y-n)]=E(xy-nx-uy+un)=E(x,y)-nu-un+nu=E(x,y)-un. Con l'indipendenza E(x)*E(y)-un=0.

Trasformazioni lineari e standardizzazione

Aspettativa v.c.

Sia y=a+bx, allora y(e_i)=a+bx(e_i) quindi: E(y=a+bx)=Σ[a+b*x(e_i)]*p(e_i)=Σa*p(e_i)+Σb*x(e_i)*p(e_i)=a*Σp(e_i)+bΣx(e_i)*p(e_i)=a+b*E(x).

Per b=0 → E=a, per b=1 → E=a+E(x), per a=0 → E=b*E(x). Inoltre E(x+y)=E(x)+E(y), con z=x+y, E(x+y)=E(z)=Σz(e_i)*p(e_i)=Σ[x(e_i)+y(e_i)]*p(e_i)=E(x)*E(y).

Teorema del valore atteso di una v.c.

La v.c. X assume i valori x₁,..,x_j,..,x_k; la v.c. Y assume i valori y₁,..,y_i,..,y_r; per l'ipotesi dell'indipendenza p(x_j,y_i)=p(x_j)*p(y_i), per ogni coppia di i e j: E(X*Y)=ΣΣx_j*y_i*p(x_j,y_i)=ΣΣx_j*y_i*p(x_j)*p(y_i)=Σx_j*p(x_j)*Σy_i*p(y_i)=E(X)*E(Y).

Trasformazioni lineari

X è una v.c. normale con valore atteso u e s.q.m. σ e y=a+bx; Y è una v.c. normale con u_y=a+bu_x e σ_y=bσ_x e var(y)=σ_x²b².

Standardizzazione

Se X è una v.c. con aspettativa u e s.q.m. σ allora: Z=(x-u)/σ è una v.c. standard con u=0 e σ=1; X~N(u, σ) è una v.c. continua con distribuzione normale: P(X<x)=p((x-u)/σ > (x-u)/σ)=x-(n*p)/√(n*p(1-p)); Z=(x-u)/σ N(0,1) ottenendo P(X<x)=p(z<(x-u)/σ)=∫ da z a –∞ (1/√(2π))*e^-t2/2 dt per ogni z, ovvero otteniamo P(Z<z) che è la funzione cumulata delle probabilità della v.c. normale standard Z e viene indicata con φ(Z).

Somma di v.c. normali

Se x₁,x₂,..,x_n sono variabili casuali indipendenti con E(x_i)=u e var(x_i)=σ² per ogni i, allora x=1/nΣx_i, E(x)=u, var(x)=σ²/n.

Dimostriamo: se n=2: S=x₁+x₂~N(u,_sσ_s) con u_s=2u e σ_s=2σ; ad S aggiungo X: S=x₁+x₂+x₃~N(u,_sσ_s); in generale: S_n=Σx_i~N(u,_sσ_s) e σ_x=n*σ.

Usando una trasformazione di scala: x=S/n; dato che x è una trasformazione lineare di S, anche x sarà una v.c. casuale normale con u=(1/n)*u=(1/n)*u*n=u; σ²=σ²/n.

Disuguaglianza di Chebicheff

Fissato c>=0 osserviamo i valori di X centrati in u con ampiezza 2c ovvero u-c e u+c; Var(x)=σ²=E[(x-u)²]=Σ(x-u)²p(X=x). Dividiamo la sommatoria in due parti; la prima parte riguarda le x interne all'intervallo, la seconda quelle esterne all'intervallo.

Var(x)=Σ(x-u)²*p(X=x) + Σ(x-u)²*p(X=x) ottenendo: var(x)>=Σ(x-u)²*p(X=x), le x della seconda sommatoria sono tutte tali che (|x-u|>=c), sostituiamo (x-u)² con c²: Σ(x-u)²*p(X=x)>=Σc²*p(X=x) quindi var(x)>= Σc²*p(X=x)=c²*Σp(X=x)=c²*p(|x-u|>=c) da cui p(|x-u|>=c)<=var(x)/c².

Legge dei grandi numeri

La disuguaglianza di Chebicheff è valida per qualsiasi v.c. ed anche per la v.c. X/n essendo x una v.c. binomiale. La legge dei grandi numeri afferma che per n grande la divergenza fra la v.c. fr relativa X/n e la sua aspettativa p è molto limitata e all'aumentare di n la divergenza ra X/n e p=(A) tende a ridursi.

E(x/n)=1/n*E(x)=1/n*n*p=p; Var(x/n)=(1/n)²*Var(x)=npq/n² =nq/n. Dove la v.c x/n rappresenta nel modello probabilistico la fr relativa. Applicando la disuguaglianza di Chebicheff a x/n si ha: P[|x/n-E(x/n)|>=c]<=var(x/n)/c²; P[|x/n-E(x/n)|>=c]<=pq/nc² valida per qualsiasi n. All'aumentare di n il rapporto 2pq/nc tende a 0. Ne consegue che P[|x/n-p|>=c]>=0 è una probabilità ed al crescere di n tende a 0. Quindi otteniamo lim da n a ∞ P[|x/n-p|>=c]>=0.

Teorema del limite centrale

Siano x₁,x₂,..,x_n v.c. indipendenti e identicamente distribuite con aspettativa E(x_i)=u, var(x_i)=σ², dove i=1,..,n sono quantità finite. La somma delle v.c è S_n=x₁+x₂+..+x_n. L'aspettativa di S_n è: E(S_n)=E(x₁+x₂+..+x_n)=E(x₁)+E(x₂)+..+E(x_n)=nu. La var(S_n)=var(x₁+x₂+..+x_n)=nσ². Data l'indipendenza della v.c. X al crescere di n la funzione cumulata della v.c. S_n-nu/σ√n converge alla funzione di ripartizione della v.c. standardizzata. Quindi P((S_n-nu/σ√n)<=z)=F(z).

Funzione generatrice dei momenti

Si dice che la v.c. X possiede la f.g.m. se esiste δ >0 tale che m_x(t)<∞ per ogni t∈(-δ, δ). Allora m_x(t) è detta f.g.m. di X.

• Sia una v.c. tale che E(e^tx)<∞ per ogni t∈(-δ, δ). Allora X ha momenti di ogni ordine e per ogni t∈(-δ, δ) risulta: m_x(t)=Σ(t^r/r!)*u_r dove u_r=(d^r/dt^r)*m_x(t)|_t=0
• Siano m_x(t) e m_y(t) le f.g.m. delle v.c. X e Y, si suppone che esista δ tale che per ogni t∈(-δ, δ) valga m_x(t)=m_y(t). Allora le due v.c. hanno la stessa distribuzione, cioè F_x(v)=F_y(v), per ogni v reale.
• Sia m_x(t) la f.g.m. della v.c. x_i, i=1..n; siano le v.c. x_i indipendenti. Allora m_y(t)=πm_xi(t), con y=Σx_i.

Variabili casuali discrete

V.c. binomiale

La v.c. binomiale esprime la somma di n variabili casuali indicatore indipendenti aventi la medesima proba...