Dimostrazioni, Statistica per il marketing

Somma di v.c. normali: 2

Se x1,x2,..,xn sono variabili casuali indipendenti con E(xi)=u e var(xi)= σ per ogni i, allora x =1/nΣxi, E(x

)=u, var(x

)=

2

σ /n. 2s2 2

Dimostriamo: se n=2: S =x1+x2 N(u , σ ) con u =2u e σ =2σ ; ad S aggiungo X : S =x1+x2+x3 N(u , σ ); in generale:

2 s s s2 3 3 s s

2sn 2

Sn=Σxi N(u , σ ) e σ =n*σ ; usando una tras ormazione di scala: x

=S/n; dato che x è una tras ormazione lineare di S,

s s 2x 2 2sn 2 2 2

anc e x sar una v.c. casuale normale con u =(1/n)*u =(1/n)*u*n=u; σ =(1/n )*σ =(1/n )* n*σ = σ /n.

x sn

Disuguaglianza di Chebicheff:

Fissato c>=0 osserviamo i valori di X centrati in u con ampiezza 2c ovvero u-c e u+c;

2 2 2

Var(x)= σ =E[(x-u) ]= Σ(x-u) p(X=x). Dividiamo la sommatoria in due parti; la prima parte riguardanti le x interne

all’intervallo, la seconda quelle esterne all’intervallo.

2 2 2

Var(x)= Σ(x-u) *p(X=x) + Σ(x-u) *p(X=x) ottenendo: var(x)>=Σ(x-u) *p(X=x), le x della seconda sommatoria sono tutte

2 2 2 2 2

tali che (|x-u|>=c), sostituiamo (x-u) con c : Σ(x-u) *p(X=x)>=Σc *p(X=x) quindi var(x)>= Σc *p(X=x)=

2 2 2

c Σp(X=x)=c p(|x-u|>=c) da cui p(|x-u|>=c)<=var(x)/c .

Legge dei grandi numeri:

La disuguaglianza di Chebicheff è valida per qualsiasi v.c. ed anche per la v.c. X/n essendo x una v.c. binomiale. La

legge dei grandi numeri afferma che per n grande la divergenza fra la v.c. fr relativa X/n e la sua aspettativa p è

molto limitata e all’aumentare di n la divergenza ra X/n e p=(A) tende a ridursi.

2 2

E(x/n)=1/n*E(x)=1/n*n*p=p; Var(x/n)=(1/n) *Var(x)=npq/n =nq/n. Dove la v.c x/n rappresenta nel modello

probabilistico la fr relativa. Applicando la disuguaglianza di Chebicheff a x/n si ha:

2 2

P[|x/n-E(x/n)|>=c]<=var(x/n)/c ; P[|x/n-E(x/n)|>=c]<=pq/nc valida per qualsiasi n. All’aumentare di n il rapporto

2

pq/nc tende a 0. Ne consegue che P[|x/n-p|>=c]>=0 è una probabilità ed al crescere di n tende a 0. Quindi

otteniamo lim da n a ∞ P[|x/n-p|>=c]>=0.

Teorema del limiti centrale: 2

Siano x1,x2,..,xn v.c. indipendenti e identicamente distribuite con aspettativa E(xi)>u, var(xi)= σ , dove i=1,..,n sono

quantità finite. La somma delle v.c è Sn=x1+x2+..+xn. L’aspettativa di Sn è: 2

E(Sn)=E(x1+x2+..+xn)=E(x1)+E(x2)+..+E(xn)=nu. La var(Sn)=var(x1+x2+..+xn)=nσ . Data l’indipendenza della v.c. X al

2

crescere di n la funzione cumulata della v.c. Sn-nu/σ √n converge alla unzione di ripartizione della v.c.

standardizzata. Quindi P((Sn-nu/ σ√n)<=z)=F(z).

Funzione generatrice dei momenti:

Si dice che la v.c. X possiede la f.g.m. se esiste δ >0 tale che m t<∞ per ogni t∈(- δ, δ). Allora m (t) è detta f.g.m. di X.

x x

tx

1) Sia una v.c. tale che E(e )< ∞ per ogni t∈(- δ, δ). Allora X ha momenti di ogni ordine e per ogni t∈(- δ, δ) risulta:

r r r

mx(t)=Σ(t /r!)*u dove u =(d /dt )*mx(t)|

r r t=0

2) Siano m (t) e m (t) le f.g.m. delle v.c. X e Y, si suppone che esista δ tale che per ogni t∈(- δ, δ) valga m (t). Allora le

x y x

due v.c. hanno la stessa distribuzione, cioè Fx(v)=fy(v), per ogni v reale.

3) Sia m (t) la f.g.m. della v.c. xi,i=1..n; siano le v.c. xi indipendenti. Allora my(t)= πm (t), con y= Σxi.7

xi xi

Variabili casuali discrete:

V.c. binomiale:

La v.c. binomiale esprime la somma di n variabili casuali indicatore indipendenti aventi la medesima probabilità di

x n-x t n

successo. P(X=x)={(n x)p (1-p) , x=0,1..n e 0 altrove. E(x)=np; Var(x)=npq. F.g.m.=m(x)t=[(1-p)+pe ] .

V.c. ipergeometrica:

p(X=x)= (n r) (N-r n-x)/(N n), max (0,n+r-N)<=x<=min(r,n). E(x)=n*(n/r); var(x)=n*(n/r)*(1-(n/r))*(N-n/N-1). È ben

approssiamata la v.c. binomiale se n<N/10.

V.c. di Poisson:

- λ x λ(et-1)

P(X=x)=e *λ , x=0,1,n, λ>0. λ=aspettativa; E(x)= λ; var(x)= λ; mx(t)=e .

Teorema: sia X1 una v.c. di Poisson di parametro λ1 e X2 una v.c. di Poisson di parametro λ2, siano X1 e x2

indipendenti in probabilità, allora la v.c. X=X1+X2 + una v.c. di Poisson con parametro (λ1+ λ2),

λ1(et-1) λ2(et-1) (λ1+ λ2)(et-1)

mx(t)=mx1(t)*mx2(t)= e * e = e .

Impieghi:

-la probabilit c e nell’intervallo di ampiezza si abbia x=1 è approssimativamente proporzionale ad :

P{X=1}=vh+0(h).

-la probabilit c e nell’evento di ampiezza si abbia x>=2 è trascurabile relativamente alla probabilit di avere x=1:

P{X>=2}/P{X=1}=0(h).

-Il numero di presenze del fenomeno in intervalli temporali incompatibili sono indipendenti in probabilità.

-Se le 3 condizioni si verificano si dimostra che il numero di accadimenti X di un fenomeno in un intervallo di tempo

di ampiezza t segue la distribuzione di Poisson con parametro λ.

V.c. casuali continue

V.c. Gamma:

La v.c. Gamma è distribuita secondo una gamma di parametri α>0 e ϴ>0 se la funzione di densità è data da

α α-1 -ϴy α-1 -x

F(y)={(ϴ /T(α))*y *e con y>0, e 0 altrove. Dove T(α)=∫da0 a ∞ x *e dx.

Proprietà: r r

T(α+1)= αT(α); T(n)=(n-1)!; E(Y )=(1/ ϴ )*(r+α-1)* (r+α-2)*..* α.

2 2 2 α

Per r=1 si ottiene E(X)= α/ϴ; per r=2 si ottiene E(X )= (α*( α+1))/ϴ dove var(x)= α/ϴ , mx(t)=( ϴ/ ϴ-t) .

Casi particolari: - ϴy 2

-α=1, v.c. di parametro ϴ: f(y, ϴ)={ ϴe con y>0, ϴ>0, e 0 altrove; E(Y)=1/ϴ; var(Y)=1/ϴ ; Fy(Y)=P{Y<=y};

-ϴb -ϴa -ϴa -ϴb

P{a<=y<=b}=Fy(b)-Fy(a)=(1- e )-(1- e )= e - e . k/2 (k/2)-1 (-1/2y)

-α=k/2, ϴ=1/2, v.c. chiquadrato con k g.d.l.: f(y,k)={((1/2) /Tk)*y *e con y>0, e 0 altrove.

2 k/2

EY)=(k/2)/(1/2) dove l’aspettativa coincide con i g.d.l.; var(y)= (k/2)/(1/2) =2k;my(t)=(1/1-2t) ;

(k1+k2)/2

La somma di 2 chiquadrato indipendenti è uguale ad un c iquadro Xi≈χ(ni); mx1+x2(t)=(1/1-2t) la funzione si

distribuisce con gradi di libertà k1+k2.

Variabile casuale normale: 2

La v.c. normale f(x;u; σ)=1/( σ/√2π)*e-1/2((x-u)/σ) ,

2 2

sia X1 una v.c. normale di aspettativa u1 e var σ1 , sia X2 una v.c. normale di aspettativa u2 e var σ2 , siano X1 e X2

2 2

indipendenti in probabilità, allora la v.c. X=X1+X2 è una v.c. normale di aspettativa u1+u2 e carianza σ1 + σ2 ,

(u1+u2)t+1/2(σ12 σ22)t2

mx(t)=mx1(t)*mx2(t)=e .

2

Y=X 2

Sia X una v.c. normale standardizzata, allora la v.c. Y=X è una v.c. chiquadro con n g.d.l..

2 -x2/2 -

Dimostrazione: Fy(y)=P{Y<=y}=P{Z <=y}=P{-√y<=Z<=√y}=∫ da -√y a √y 1/(√2y π)e dx=2∫da 0 a √y 1/(√2y π)e

x2/2 -v/2 1/2 1/2 1/2-1 -v/2

dx=2∫da 0 a y (1/√2)*(1/√ π)*(1/2√v)*e dv=∫da o a y (1/2) *(1/T )*v e dv, che è la funzione cumulata

della probabilità di una v.c. chiquadro con 1 g.d.l..

5°proprietà ta ty t/a+bx) ta btx ta

Sia X dotata di f.g.m. allora posto Y=a+bx, esiste my(t)=e *mx(bt). my(t)=E(e )=E(e )=e *E(e )=e *mx(bt).

2 2 2 ta btu+1/2 σ2b2t2 (a+bu)+1/2 σ2b2t2

X≈N(u, σ ). Y=a+bx≈N(a+bu,b σ ). my(t)=e *e =e .

Teorema sul campionamento da distribuzione normale:

2

siamo (x1,x2,..,xn) v.c. normali di aspettativa u e var σ ed indipendenti in probabilità.

-Dedurre la distribuzione x

=1/n Σxi….. la v.c. x

=1/n Σxi (media campionaria) si distribuisce come una normale di

2 2

aspettativa u e var σ /n. vvero x

=1/n Σxi≈N(u; σ /n).

2 t/n

Yn=X1+X2+..+Xn; Yn≈N(nu,nσ ); x

=Yn/n ovvero trasformazione lineare a=0 e b=1/n; mx

(t)=myn(t/n)=e *un*1/2n

2 2 2 tu+1/2t2σ2/n

σ *(t / σ )=e . 2

Per il teorema dell’unicit della .g.m. x a distribuzione normale con aspe a va u e var σ /n. A

2 2

-la v.c. x e S =(1/n-1) Σ(xi- x ) sono indipendenti.B

2 2 2 2= 2 2

-dedurre la distribuzione V=Σ(xi- u) / σ ….. la v.c. (n-1)S / σ Σ(xi- x ) / σ si distribuisce come una chiquadro con n-1

2 2= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

g.d.l.; (n-1)S / σ Σ(xi- x

) / σ ≈χ (n-1); Σ(xi- u) / σ =( Σ(xi- x

) / σ )+n Σ(xi- u) / σ --> Σ((xi- u)/ σ) =(Σ(xi- x ) / σ )+((x

-

2

u)/σ/√n) .C

Otteniamo che A=B+C e mA(t)=mB(t)*mC(t).

Distribuzione t di Student: 2 (k+1)/2

Densit : (x)=T((k+1)/2)/T(k/2)*(1/√k π)*(1/(1+(x /k)) , con XЄR e k>0. È una funzione simmetrica monotona

decrescente, non ha f.g.m. poiché non esistono tutti i momenti, u esiste per r<k. E(X)=0 e var(X)=k/(k-2) dove (k>2).

r

Sia Z una v.c. distribuita come una normale standardizzata. Sia U una v.c. distribuita come una chiquadrato con k

g.d.l.. Siano Z e U indipendenti in probabilità. Allora la v.c. X=Z/√(U/k si distribuisce secondo una t di Student con k

g.d.l. 2

Sia (X1,X2,..,Xn) un campione casuale proveniente dalla v.c. normale di aspettativa u e var σ allora la v.c. T=(x -

2 2

u)/(S/√n) a distribuzione t di Student con (n-1) g.d.l. Avendo le v.c. Z=(x

- u)/(σ/√n) e U=(n-1)S / σ e poic sono

2 2 2

indipenden possiamo o enere le v.c.: T=[(x

-u)/(σ/√n)]/ (√[(n-1)S / σ ]/n-1)= (x

- u)/ (√S /n) la cui distribuzione è t di

Student con (n-1) g.d.l.

Distribuzione F di Fischer:

Siano U e V due v.c. chiquadro indipendenti con m e n g.d.l. allora la v.c. X=(U/m)/(V/n) è distribuita come una F di

Fischer con m e n g.d.l. m rappresenta i gradi di libertà del numeratore, n quelli del denominatore. E(X)=n/(n/2) con

2 2 r

n>2; Var(X)=[2n (m+n-2)]/[m(n-2) (n-4)] con n>4; u =E(X ) esiste solo per r<n/2, Non ha f.g.m..

r

Siano U e V due v.c. chi-quadrato indipendenti con m e n g.d.l. rispettivamente. Allora la v.c.

X=(U/m)/(V/n) è distribuita come una v.c. F con m e n g.d.l. 2 2

Siano (X1,X2,..,Xn) e (Y1,Y2,..,Yn) campioni casuali indipendenti con rispettiva varianza σ x σ y e aspettativa ux e uy,

2 2 2 2 2 2

proveniente da delle v.c. normali. Allora x=[(Σ(xi- x ) / σ )/(m-1)]/ [(Σ(yi- ӯ) / σ )/(n-1)]=S x/S y che sono le varianze

campionarie corrette; ha distribuzione F di Fischer con (m-1) e (n-1) g.d.l.

Se X ha distribuzione F di Fischer con m e n g.d.l. allora Y=1/X ha distribuzione F di Fischer con n e m g.d.l. Determina

il quantile: P{Y<=ya}=P{X=1/Y>=1/ya}=α-->P{X<=1/ya}=1-α-->y =1/x .

α (1-α)