Dimostrazioni statistica I

Dimostrazioni statistica I 2018

Relazione fra numeri indici a base fissa e numeri indici a base mobile

I = X_j / X₀ → I_j = X_j / X_j-1, ..., I_j = I₁ * I₂ * ... * I_j → X_j / X₀ = X_j / X_j-1 * X_j-1 / X₀

Proprietà delle frequenze relative

• Fr(aj) = n(aj)/n → è sempre non negativa: n(aj) ≥ 0, n > 0.
• La somma delle frequenze relative di una distribuzione è uguale a 1: fr(a₁) + ... + fr(a_j) + ... + fr(a_s) = 1, [n(a₁) + ... + n(a_j) + ... + n(a_s)]/n = 1, Σn(a_j)/n = 1, Σn(a_j) = n.

Proprietà della media geometrica relativa ai logaritmi

La media geometrica dei logaritmi di N valori positivi è pari al logaritmo della media geometrica degli N valori:

(1/N)log(M₀(x)) = log([x₁ * ... * x_i * ... * x_N]^1/N) = (1/N)(log x₁ + ... + log x_i + ... + log x_N) = (1/N)Σlog x_i > log(M₀(x)) = M₁(log x).

Media aritmetica

• Somma degli N scarti (x_i - M₁) = 0 → Σ(X_i - M₁) = ΣX_i - ΣM₁ → ΣX₁ - N * M₁. Dal momento che M₁ = 1/N Σx_i → Σ(X_i - M₁) = ΣX_i - ΣX_i = 0. → M₁ è l'unico valore che annulla la somma degli scarti.
• Somma del quadrato degli scarti delle x_i da un valore A è minima per A = M₁ → Σ(x_i - A)² = Σ[(x_i - A) - (M₁ - M₁)]² = Σ[(x_i - M₁) + (M₁ - A)]² = Σ(X_i - M₁)² + N * (M₁ - A)² + 2(M₁ - A)Σ(x_i - M₁). Poiché N(A - M₁)² è una quantità non negativa, risulta: Σ(x_i - A)² ≥ Σ(x_i - M₁)².
• La media aritmetica totale è uguale alla media aritmetica ponderata delle medie aritmetiche parziali, con pesi pari alla proprietà dei gruppi (proprietà associativa) → M₁ = (M₁(J) * N₁ + … + M₁(k) * N_k + ... + M₁(j) * N_j) / (N₁ + ... + N_k + ... + N_j) = 1/N ΣM₁ * N
• Se fra i valori Y e quelli di X vi è una relazione lineare del tipo y_i = a + b * x_i, allora fra la media aritmetica di Y e quella di X vi è la stessa relazione lineare → M₁(Y) = (1/N) Σa + b * x_i → M₁(Y) = (1/N) Σa + (1/N) * b Σx_i → M₁(Y) = (1/N) * N * a + b * (1/N) Σx_i → M₁(y) = a + b * M₁(x).

Procedimento indiretto per il calcolo della devianza o della varianza

Dev(X) = Σ(X_i - M₁)² = Σ(x_i² + M₁² - 2M₁x_i) = Σx_i² + ΣM₁² - 2M₁Σx_i. Poiché Σx_i = N * M₁, risulta:

Dev(X) = Σx_i² + N * M₁² - 2M₁ * N * M₁ → Dev(x) = Σx_i² - N * M₁² da cui Var(X) = σ² = (1/N)Σx_i² - M₁².

Proprietà della varianza

• Se Y = a + b * x, allora σ²(Y) = b²σ²(X); se Y = a + b * x, allora M₁(Y) = a + b * M₁(X), per definizione σ²(y) = 1/N Σ(y_i - M₁(Y))², per ipotesi y_i = a + b * x_i e M₁(y) = a + b * M₁(X) → [y_i - M₁(y)]² = [a + b * x_i - a - b * M₁(X)]² = [b(x_i - M₁(x))]² = b²[x_i - M₁(x)]², → σ²(Y) = 1/N Σb²[x_i - M₁(X)]² = b² * 1/N Σ[x_i - M₁(X)]² = b²σ²(X).
• Scomposizione della varianza totale: σ²_T = 1/N Σσ_j²*N_j + 1/N Σ(x̄_j - x̄)² * N_j, la varianza totale si ottiene aggiungendo alla media ponderata delle varianze parziali la varianza fra le medie parziali. Varianza totale = varianza nei gruppi + varianza fra i gruppi: σ²_T = σ²_F + σ²_j = 1/N Σσ_j²*N_j + 1/N Σ(x̄_j - x̄)² * N_j.

Proprietà dell'invarianza alle trasformazioni di scala del coefficiente di variazione

Questa sezione non fornisce dettagli specifici, ma si riferisce alla proprietà che il coefficiente di variazione rimane invariato sotto trasformazioni di scala lineari (come il cambiamento di unità di misura).