Dimostrazioni Analisi 1

DIMOSTRAZIONI ANALISI

1. UNICITÀ FUNZIONE INVERSA

   Se g è inversa di f, essa è unica.

   Dimostrazione

   • Ipotesi: ∃ g₁, g₂ inverse di f
   • Tesi: g₁ = g₂
   • g₁(y) = g₁(f(g₂(y))) = (g₂ o f)(g₂(y)) = g₂(y)

   Scrivo le funzioni come identità:

   • g o f = Id_A
   • f o g = Id_B

2. FUNZIONE INVERTIBILE

   Una funzione è invertibile ⇔ è biunivoca.

   Dimostrazione

   1. Ipotesi: f: A^' ⟶ B^'

      Tesi: f^-1: B ⟶ A

      • Suriettiva: ∀γ ∈ B ∃ x ∈ A | y = f(a)
      • ∀ y ∈ B ⟶ f^-1(y) ∈ A ⟶ x = f^-1(y) ⟶ x ∈ A
      • Iniettiva: x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)

   2. Tesi: f: A ⟶ B

      • ∀ x ∈ A ⟶ f^-1(f(x)) = x
      • OK suriettiva

   3. OK iniettiva

   ⁽³⁾ Definiamo una relazione

   • g: g if (x,y) ∈ B x A (x,y) ∈ f^-1 {f(y,x) ∈ B x A | y = f(x)}

   ⇒

2) Dimostro che g è funzione

g è funzione se,

1) ∀y∈B, ∃!x∈A | (x, y) ∈ g

∀y∈B, ∃₁x∈A | g = f^-1(x) ⇨ f: A _ON⇨ B ok

2) se ((y, x₁), (y, x₂)) ⇨ x₁ = x₂ ⇨ f: A ^1-1⇨ B ok

g: B ⇨ A

3) x = (g∘f)(x) ⇨ x = g(f(x)),

g: B ⇨ A ,

(y, x) ∈ g ⇨ x = g(y) (y, x) ∈ g

x = (g∘f)(x) = g(f(x)) ⇨ (x, f(x)) ∈ f ⇨ (f(x), x) ∈ g

3) y = (f∘g)(y) = f(g(y))

(y, g(y)) ∈ g ⇨ (g(y), y) ∈ f ⇨ y = f(g(y))

g è ^U inversa ⇨ g = f^-1

f invertibile

5) Unicità Max/Min

Se ∃! il max questo è unico (1 def maximo)

Dimostrazione

λ₂∈Λ ∧ ̄μμ̄ = Φ ⇨ μ≤λ₂ ∀a∈A ⇨ λ₂ ≤ λ

λ₂∈Λ ∧ λ₂=Φ ⇨ a=λ₂ ∀a∈A ⇨ λ ≤ x ≤ λ₂

[Relazione antisimmetrica]

λ₁ = λ₂

6/2

Punti di Accumulazione e Limiti

Sia A insieme x₀ x₀ Der(A) ⇔lim a_n = x₀

Dimostrazione

1. Ipotesi: x₀ ∈ Der(A)⇒ ∀ V_x0, V_x0 ∉ {x₀} ≠ ∅

Sia V_m intorno di x₀ dato da:

• x₀ ∈ ^-1⁄_m, x₀ + ¹⁄_m

2. x₀ ∈ a_n ∈ A \ {x₀}

   Ipotesi vale apply a_n ∈ A \

Applicando il teorema del confronto si trova che x₀ è punto di accumulazione

3. Ipotesi: {a_n} ⊂ A \ {x₀}lim a_n = x₀

⇒ ∀ V_x0, ∃ W∈m → ∞∀ μ∈

12) Tesi: A compatt ⟹ A limitat

Per assurdo supponiamo A non limitat (sup).

∀ε∀a∈A ∃a₁∈a

∀n∈ℕ ∃aₙ ∈ A | aₙ ≥ a₁ = a ⟹ {aₙ} aₙ→+∞

⟹ {aₖ_m}⊆ {aₙ} lim aₖ_m =+∞ ∉ A⟹

A non è compatto assurdo

Tesi.

2) {aₙ}⊆ A, a limitato ⟹ {aₙ} limitata ⟹

{aₖ_m} sottosuccessione lim aₖ_m = x₀ ∈ ℝ ⟹

x₀ ∈ A, A=a⟹x₀ ∈ A ⟹ A è compatto

14]

CRITERIO DEL RAPPORTO

Sia {aₙ} succesisone {aₙ ≠ 0} ∀n∈ℕ

se ∃ lim a_{n+1 →an}= l ∈ ℝ ⟹

1) l > 1 ⟹ lim aₙ = +∞ (→)

2) l = 1 ⟹ criterio inefficace

3) l < 1 ⟹ lim aₙ = 0

l = −∞

DIMOSTRAZIONE

1) l∈ ℝ

≠0 lim a_{n+1 an}= l ∈ ℝ, l>1

⟹ ∀ε ∃n₀∈ℕ | a^n_n₀ε a_n+1^an_ε ∀n≥n₀

Sia ε=l−1² ⟹

∃n₀∈ℕ | a_n+1^≥1ε an > l+1₂

=⟹12

DIMOSTRAZIONE

1. \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\), cioe`

   • \(\forall \varepsilon > 0 \exists \overline{N}_{x_0} : f(x) \in V \forall x \in W \land A\{x_0}\)

     • siano \(a_m \in A \land x_0 \) : \(\lim_{m \to \infty} a_m = x_0\)

   \(\Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists \overline{N}_{x_0} : \forall m \in \mathbb{N} \land \forall n \ge m : a_n \in W \)

   \(COPIO D\) ^\(Q.L\)

   \(\Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists \overline{N}_{l} : \forall m \in \mathbb{N} \land \forall n \ge m : f(a_n) \in V\)

   \(\Rightarrow \lim_{m \to \infty} f(a_m) = l\)

2. \(\Rightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = l \Leftrightarrow\)

   \(\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists \overline{N}_{x_0} : f(x) \in V \forall x \in W \land A\{x_0}\)

   NEGLIAMO PER ASSURDO

   • \(\exists V : \varepsilon > 0 \land \forall \overline{N}_{x_0} \exists x \in W \land A\{x_0}\) : \(f(x) \notin V\)

     • siano \(W_m = \begin{cases} (x_0 - \frac{1}{n}, x_0 + \frac{1}{n}) & \text{se } x_o \in R \\ [n, +\infty) & \text{se } x_0 = +\infty \\ (-\infty, -n) & \text{se } x_0 = -\infty \end{cases}\)

     • (se pego a sx alla fine deve venire la destra segnata)

3. SIA \(A_m = \{x \in \mathbb{R} | x \in W_m \land A \{x_0}\} | f(x) \notin V \} \land \forall m \in \mathbb{N}\)

   \(\Rightarrow A_m \neq \varnothing, \forall m \in \mathbb{N}\)

   ASSEGNA DECCA ECCETA

4. SIA \((a_n) \in A_m, \forall m \in \mathbb{N} \Rightarrow \{a_m\} \subseteq A \land \{x_0} \_\_\_CTRC

5. \((a_m) \in W_m \land \forall m \in \mathbb{N} \Rightarrow\)

   • \(\begin{cases} x_0 - \frac{1}{m} < a_m < x_0 + \frac{1}{m} \end{cases}\)

   • \(\Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = x_0\)

   • \(\lim_{m \to \infty} a_m = m\)

     • \(x_0 \in \mathbb{R}\)

     • x = + \(\infty\)

     • \(x_0 = -\) \(\infty\)

6. \(\Rightarrow \)

(26)

Teorema Heine Cantor

Sia A ⊆ ℝ, A intervallo

Se f ∈ C(A; ℝ)

A compatto

⇒ f è uniformemente continua su A

Dimostrazione

Per assurdo

Supponiamo f non uniformemente continua

∃ ε₀ > 0, ∀ δ > 0, ∃ x, y ∈ A |x - y| < δ | f(x) - f(y)| ≥ ε

Sia δₙ = 1/ₙ, ∀ n ∈ ℕ

⇒ ∀ n ∈ ℕ ∃ aₙ, bₙ ∈ A |aₙ - bₙ| < 1/ₙ tale che

|f(aₙ) - f(bₙ)| > ε ⇒ {aₙ}, {bₙ} ⊆ A

Supponiamo A compatto

{aₙ } ⊆ A, A ϵ cpt ⇒ ∃ aₖₘ →_ₘ→∞ x₀ ∈ A

⇒ |aₖₘ - bₖₘ| ≤ 1/kₘ, ∀ n ∈ ℕ

⇒ 1/kₘ + aₖₘ _{x₀x₀bₖₘbₖₘ}⊆

⇒ |f(aₖₘ) - f(bₖₘ) | ≥ ε, ε > 0, ∀ n ∈ ℕ

se f ∈ C(A, ℝ) x₀ ϵ DER(A) ⇒ f(x₀) = lim f(x)→_x→x₀

⇒ lim f(aₖₘ) = f(bₖₘ)= lim f(aₖₘ)= f(bₖₘ) = f(x₀)-f(x₀)

|f(aₖₘ) - lim f(bₖₘ)| = |f(x₀) - f(x₀)| = 0 > ε assurdo