Dimostrazioni Analisi 1

Name: Dimostrazioni Analisi 1
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Author: antoniogibril

Revisionato il 05/09/2026

di antoniogibril

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Dimostrazione dettagliata dei principali teoremi del corso di analisi 1.L'Appunto contiene:Funzione inversa e invertibilità, unicità MAX/MIN, completezza sequenziale, insiemi …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Martino Vittorio

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2019-2020

45 pagine

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Dimostrazioni analisi

1) Unicità funzione inversa

Se g è l'inversa di f, essa è unica

Dimostrazione

Ipotesi: ∃ g₁, g₂ inverse di f

Tesi: g₁ = g₂

g₁(y) = g₁(f(g₂(y))) = (g₂ ∘ f)(g₂(y)) = g₂(y)

Scrivo le funzioni come identità:

g ∘ f = I_A

f ∘ g = I_B

2) Funzione invertibile

Una funzione è invertibile ⇔ è biunivoca

Dimostrazione

Ipotesi: f^-1: B ⟶ A inversa di f

Tesi: f: A ⟶ B

∀ y ∈ B → f^-1(y) ∈ A → x = f^-1(y) → x ∈ A

∀ y ∈ B = f(f^-1(y)) = f(x) ⇓ ∀ y ∈ B = OK suriettiva

Tesi: f: A ⟶_1:1 B

∀ x₁, x₂ ∈ A = f^-1(f(x₁)) = f^-1(f(x₂)) → f(x₁) = f(x₂) → x₁ = x₂ ∈ A = OK iniettiva

Definiamo una relazione

g = { (y,x) ∈ B×A | (x,y) ∈ f }

{ (y,x) ∈ B×A | y = f(x) }

Dimostrazioni analisi

Unicità funzione inversa

Se g è l'inversa di f, essa è unica.

Dimostrazione

Ipotesi: g₁, g₂ inverse di f

Tesi: g₁ = g₂

g₁(y) = g₁(f(g₂(y))) = (g₂ o f)(g₂(y)) = g₂(y)

Scrivo le funzioni come identità:

g o f = I_A

f o g = I_B

Funzione invertibile

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca.

Dimostrazione

Ipotesi: f^-1: B → A inversa di f

Tesi: f: A ↔ B

∀y∈B → f^-1(y)∈A → x = f^-1(y) → x∈A

∀y∈B = f(f^-1(y)) = f(x) ∀y∈B = OK suriettiva

Tesi: f: A _→^1-1 B

∀x₁, x₂∈A = f^-1(f(x₁)) = f^-1(f(x₂)) = x₁, x₂∈A = OK iniettiva

Definiamo una relazione

g, f {(y, x)∈B×A | (x, y)∈f } = {(y, x)∈B×A | y = f(x)}

1) Dimostro che g è.

g è se.

3) ∀y∈B∃!x∈A|(y,x)∈g

∀y∈B_⇔∃ x∈A|y=f(x)_⇔f : A^⇔→B OK

2) Se ( (y,x₁),(y,x₂) ) _⇔⇔x₁=x₂_⇒f : A^⇔→B OK

2) x=(g∘f)(x)=g(f(x)), g: B→A

(y, x)∈g_⇔x=g(y)_⇔(y, x)∈g_⇔(x, y)∈f

x=(g∘f)(x)=g(f(x))_⇔x=f(x)∈f_⇔f(x,x)∈g

3) y=(f∘g)(y)=f(g(y))

(y, g(y))∈g_⇔(g(y),y)∈f_⇔y=f(g(y))

g è_⇔inversa g=f⁻¹

f invertibile

5) Unicità max/min

Se il max questo è unico (⇒_maximo)

Dimostrazione

λ₁∈A∩λ̄=ϑ_⇒λ₁_⫯λ₂ ∀a∈A_⇒λ₂_⫯λ₁⇒ Relazione antisimmetrica

λ₂∈A∩λ̄=ϑ_⇒a_⫯λ₂ ∀a∈A_⇒λ₁⫯λ₂)

λ₁=λ₂

(4) Estremi e completezza

Se A ⊂ X è un insieme completo ⇒ ∃!a ∈ A, ∀y: y = inf A

Dimostrazione

Sia a ∈ A ⇒ a ∈ B ⇒ ∃B = ∅ ⇒ B sup limit.

⇒ ∃! ∀y sup B ⇔ per definizione insieme completo

∀x inf B ⇒ x = inf A = max B ∈ B ∩ B

∀b ∈ B sup B ⇒ yl1 = l2 #8

Limite sottosuccessione

Sia {an} ⊆ ℝ successione. Se ∃ l ∈ ℝ | lim an = l =>=> lim αkm

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