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Successione che definisce il limite

Sia am = (1 + 1⁄m)m con m ∈ IN.

Dimostrazione della limitatezza della successione

  1. (am) è limitata

Dimostrazione della crescita della successione

Voglio dimostrare che am > am-1 ∀ m ≥ 2.

((1 + 1⁄m)m) > (1 + 1⁄m-1)m-1

(√m⁄m-1) > 0

am = (1 + 1⁄n)n+1

Successione che definisce il limite (e)

Sia am = (1 + 1⁄m)m con m ∈ IN.

  1. (am) è finiti crescente
  2. (am) è limitata

Dimostrazione della crescita finita

1) Voglio dimostrare che am ≥ am-1 ∀ m ≥ 2

am ≥ am-1 &Rightarrow (1 + 1⁄m)m ≥ (1 + 1⁄m-1)m-1

&Rightarrow (m+1⁄m)m &Rightarrow (m⁄m-1)m-1

&Rightarrow (m+1⁄m)m(m-1⁄m)m-1(m⁄m+1)m+1

Divido per (m⁄m-1) > 0

(m+1⁄m)m(m⁄m-1)m-1(m⁄m+1) > m-1⁄m

(n⁄m)2 &Rightarrow (n⁄m+1)m &Rightarrow (4-1⁄4)m > 1⁄4

(m⁄3) > 1

Devo verificare che è vera

Poiché se che Bernoulli (1 + x)m ≥ 1 + mx con x ≠ 0, x = -1, x ≥ 2 è vera, la mia disequazione è vera nel momento in cui pongo x = -1⁄m2 poiché diventa Bernoulli stesso

∴ x = -1⁄m2 am è finiti crescente

Limite della successione

2) Sia bm = am(1 + 1⁄m)

  • (1 + 1⁄m)m(1 + 1⁄m)(1 + 1⁄n)m+1

bm > am poiché (1 + 1⁄m) > 1

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Eman993 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi di Napoli Federico II o del prof Baldi Pietro.
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