Successione che definisce il limite
Sia am = (1 + 1⁄m)m con m ∈ IN.
Dimostrazione della limitatezza della successione
- (am) è limitata
Dimostrazione della crescita della successione
Voglio dimostrare che am > am-1 ∀ m ≥ 2.
((1 + 1⁄m)m) > (1 + 1⁄m-1)m-1
(√m⁄m-1) > 0
am = (1 + 1⁄n)n+1
Successione che definisce il limite (e)
Sia am = (1 + 1⁄m)m con m ∈ IN.
- (am) è finiti crescente
- (am) è limitata
Dimostrazione della crescita finita
1) Voglio dimostrare che am ≥ am-1 ∀ m ≥ 2
am ≥ am-1 &Rightarrow (1 + 1⁄m)m ≥ (1 + 1⁄m-1)m-1
&Rightarrow (m+1⁄m)m &Rightarrow (m⁄m-1)m-1
&Rightarrow (m+1⁄m)m(m-1⁄m)m-1(m⁄m+1)m+1
Divido per (m⁄m-1) > 0
(m+1⁄m)m(m⁄m-1)m-1(m⁄m+1) > m-1⁄m
(n⁄m)2 &Rightarrow (n⁄m+1)m &Rightarrow (4-1⁄4)m > 1⁄4
(m⁄3) > 1
Devo verificare che è vera
Poiché se che Bernoulli (1 + x)m ≥ 1 + mx con x ≠ 0, x = -1, x ≥ 2 è vera, la mia disequazione è vera nel momento in cui pongo x = -1⁄m2 poiché diventa Bernoulli stesso
∴ x = -1⁄m2 am è finiti crescente
Limite della successione
2) Sia bm = am(1 + 1⁄m)
- (1 + 1⁄m)m(1 + 1⁄m)(1 + 1⁄n)m+1
bm > am poiché (1 + 1⁄m) > 1
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Dimostrazione teoremi falg 1.2
Recensioni
Appunto ben fatto di Analisi matematica I che verte dettagliatamente sulla dimostrazione del numero di Nepero. La dimostrazione è fatta molto bene e supporta alla grande quanto è spiegato dal docente nel corso dell'esame tenuto dal professore del corso. Lo consiglio davvero vivamente.
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