Dimostrazione formule del campo elettrico

Campo elettrico generato da un anello in un punto P

Traccia

Si determini il campo elettrico generato in un punto sull'asse da un anello carico di raggio con densità di carica lineare.

Svolgimento

λ: Densità lineare di carica = 2. La carica totale viene distribuita omogeneamente sull'anello filiforme.

Considero la parte infinitesima di anello: approssimabile ad un punto materiale.

E = dE è il campo generato dall’anello sull’asse. Calcolo i contributi infinitesimi di campo.

dqE = λ ⋅ cos θ = λ ⋅ ma 24π∈ 0 ds ⇒ E = λ ⋅ cos 24π∈ r0.

Ora che conosco i contributi infinitesimi del campo sull’asse, li sommo con un integrale, quindi è la somma delle parti infinitesime di campo dell’anello.

λ ds = λ λ = λ ⋅ cos θ ⇒ = λ ⋅ cos θ ⋅ ds = λ ⋅ cos θ ⋅ ∫ 2 2 24π∈ r 4π∈ r 4π∈ r0 0 0.

⇒ = λ ⋅ cos θ ⋅ 2 ⋅ ∫ . Infinitesime della circonferenza, cioè la circonferenza stessa 24∈ 0.

Chiamo con z il segmento. z = 2 = λ ⋅ cos θ ⇒ cos θ = λ = + z ⇒ θ = √R, 2 2r √+2 2 + √.

È necessario sostituire con perché generalmente si conoscono il raggio del cerchio e la distanza dal punto. Inoltre, se si considera un disco come somma di anelli infinitesimi, il segmento congiungente cambia leggermente per ogni anello considerato.

λ z q q ⋅ z ⇒ E = λ ⋅ 2 λ ⋅ 2 = λ 2 = ⇒ E = λ ma 2 32 2 2πR √+2 24π∈+(√) 2 2 )4πε ⋅(R + 20 0.