dimostrazione della legge di Gauss

Dimostrazione della Legge di Gauss

Abbiamo definito la legge di Gauss in tal modo.

φ(E) = qint / ε₀

... il flusso del campo elettrico è prodotto da un sistema di cariche attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche elettriche contenute all'interno della superficie chiusa ε₀.

Questo deriva dal fatto che l'espressione del campo elettrico dipende dal quadrato della distanza ed è radiale. Per la dimostrazione si utilizzi il concetto di angolo solido.

Considero una sfera e sulla sua superficie una calotta sferica di area Σ₁, a distanza x₁, che individua un elemnto di volume caratterizzato da un angolo solido n, che è l'estensione dell'angolo piano.

n = Σ₁ / πx₁² Unità di misura: steradianti

Se si considera una calotta sferica di raggio x₁ e x₂, l'angolo solido individuerà una superficie di calotta sferica concentriche alla prima ma il rapporto tra l'area e la distanza sarà uguale a quello della calotta più piccola e quindi avranno lo stesso angolo solido.

n = Σ₂ / πx₂² = Σ₁ / πx₁²

Preso un punto, considero una superficie chiusa (gaussiana). Se su questa si considera un elemento di superficie dΣ, con vettore normale un, individua un angolo solido di dn.

L'elemento di superficie dΣ, in genere, non sarà coincidente con quello della calotta sferica di raggio x₁. Il vettore un non coincide con il vettore u_ξ, quindi in tal caso:

dn = dΣ₀ / x₂² - dΣ cosθ

Dimostrazione della Legge di Gauss

Abbiamo definito la legge di Gauss in tal modo.

Il flusso del campo elettrico E prodotto da un sistema di cariche attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche elettriche contenute all'interno della superficie chiusa fratto ε₀.

Questo deriva dal fatto che l'espressione del campo elettrico dipende dal quadrato della distanza ed è radiale. Per la dimostrazione si utilizza il concetto di angolo solido.

Considero una sfera e sulla sua superficie una calotta sferica di area Σ₁, a distanza x₁, che individua un elemento di volume caratterizzato da un angolo solido ᾱ, che è l'estensione dell'angolo piano.

n = \(\frac{Σ_{i}}{π x_{i}^{2}}\)Unità di misura: Steradiante

Se si considera una calotta sferica di raggio x₁ e x₂, l'angolo solido individuerà una superficie di calotta sferica concentrica alla prima, ma il rapporto tra l'area e la distanza sarà uguale a quello della calotta più piccola e quindi avranno lo stesso angolo solido.

n = \(\frac{Σ_{x_{1}}}{x_{x_{1}^{2}}} = \frac{Σ_{x_{2}}}{x_{x_{2}^{2}}}\)

Preso un punto, considero una superficie chiusa (gaussiana). Se su questa si considera un elemento di superficie dΣ₁ con vettore normale un, individuerà un angolo solido di dΩ, in 2D (proiezione meglio in dis.).

L'elemento di superficie dΣ₂ in genere non sarà coincidente con quello della calotta sferica di raggio r, ma sarà cioè il vettore un non coincide con il vettore ux, quindi in tal caso:

dΩ = \(\frac{dΣ_{0}}{x_{x_{2}^{2}}}\) = \(\frac{dΣ \cosθ}{x_{x_{2}^{2}}}\)

Quindi ogni elemento di superficie individua un angolo solido che è dato dal rapporto della proiezione dell'elemento di superficie sull'elemento di superficie della della sfera, diviso il raggio al quadrato.

Per il calcolo dell'angolo solido si possono utilizzare le coordinate sferiche. Quindi considerando un punto di la sfera che forma un certo angolo , si può considerare l'elemento di calotta sferica di raggio che individua un certo angolo solido :

d = ∑ / ²

Quindi proseguendo i calcoli, ∑ è l'area di un rettangolo, dunque:

• ∑ = Ā × Ā
• Ā = ×
• Ā = ×

⟹ d = ^² / _² =

Per una superficie finita l'angolo solido sarà dunque dato dall'integrazione della quantità d: considero un elemento di sfera di raggio e

= ∫_₁^₂ ∫_₁^₂

Il caso più semplice è quello dell'angolo solido individuato da una sfera, quindi:

• = ∫₀² ∫₀ = 2 []₀ = -4 Sferadiom.

4 è il valore dell'angolo solido sotto cui dal centro è vista tutta la superficie sferica.

Nell'espressione della forza di Coulomb e nel campo elettrico, il può opporre nella costante ε₀ e rappresenta proprio l'angolo solido sotteso dalla superficie chiusa gaussiana.

Quindi per la dimostrazione del teorema di Gauss: si considera una carica q e una superficie gaussiana, supponendo che la carica sia interna alla superficie considerata. Considero un elemento di superficie e quadriamolo nel piano. Sapendo che, per definizione, il flusso è:

dp = E dΣ

dΦ = q/4πε₀ u_r sens dΣ · x²q/4πε₀ d_Σ.cosθx²

proiezione della superficie dΣ sulla superficie della calotta sferica d_Σ

Φ = q/4πε₀ ∫ d_Σ/x² dobbiamo definito essere l'angolo solido

unque Φ = q/4πε₀ ∫d_Σ

Per ottenere il flusso totale di questa carica elettrica si deve integrare l'angolo solido, che dobbiamo essere per una sfera o sup. chiusa = 4π

Φ(E) = q/ε₀

Perché Φ(E) = q/4πε₀ ∫d_Σ = q/ε₀ 4π

se sono continui piu cariche, il flusso e la somma di tutti i flussi:

Φ(E) = ∑Φ(E_i)

se la carica si trova all'esterno della superficie gaussiana, dobbiamo considerare che questa genere un campo elettrico radiale. essendo ciascuna Ogni elemento di superficie dE indivi_ un angolo solido, che essendo una sup. chiusa, individualo un altro elemento di superficie dE che sottende lo stesso angolo solido. quindi

Φ(E _i) = 0 , d

E

p