Dimostrazione del Binomio di Newton

Binomio di Newton

Ricordiamo che: ^(u)C_(k)(a^u-k)(b^k)

Caso base

Poniamo u = 0, quindi: (a+b)⁰ = ∑^u_k=0^(u)C_(k)a^u-kb^k = cioè S = 1

Induzione

Se è vero u, per induzione è vera (u+1).

Poniamo (1+x)^u+1 = (1-1+x)^u+1. Applicando la definizione, quindi:

(1+x)^u = ∑^u_k=0^(u)C_(k)x^k + ∑^u+1_k=0^(u+1)C_(k)x = (x⁰) ∑^u_k=0^(u)C_(k)x^k + ∑^u+1_k=1^(u)C_(k)x^k + ∑^uk=0_k=0^(u+1)C_(k+1)x^k+1 = ... + (u+1/u+1!)(x)

= 1 + ∑^u_j=1[k^(u)C_(j) + (u^-1)C_(j-1)]x^j + x^u+1

== 1 + ∑^a_j=1(a - (a - j + 1/j - 1 ))x^j

Fattoriali

Ricordiamo che: u = u(u-1) quindi (u-j+1)! = (u-j+1-1)(u-j) = 1 + _{(u)^(k) / (2)}1! …

Moltiplico e divido per la stessa quantità sia il primo membro.

Seconda dimostrazione del binomio di Newton

Ricordiamo che: (a+b)^u = ∑_k=0^u ( ^u/_k ) a^k b^u-k

Poniamo u=0, quindi: (a+b)⁰ = ∑_k=0⁰ ( ⁰/_k ) a^kb^0-k = cioè 1 = 1

Passaggio per induzione

Se è vero u, per induzione è vera (u+1).

Poniamo (1+x)^u+1 = (1-1+x)^u (1+x). Applicando la definizione, quindi:

(1+x)^u = ∑_k=0^u ( ^u/_k ) x^k = ∑_k=0^u ( ^u/_k ) x^k 1^u-k = ∑_k=0^u ( ^u/_k ) x^k + x = (0) x⁰ + ∑_k=1^u ( ^u/_k ) x^k x + ∑_k=0^u ( ^u/_k ) x^k + (u+1)/(u+1) x^u+1

= ∑_j=0^u+1 ( ^u+1/_j ) x^j + x^u+1

Abbiamo posto j = k+1 => k = j-1. Ricordare come si effettua il cambio della variabile!

== 1 + ∑_j=1^u+1 ( ( ^u/_j-1 ) + ( ^u/_j ) ) x^j + x^u+1

== 1 + ∑_j=1^u+1 ( ^a_j/_{j! (i-j)!} + ^u/_{(j-1) (u-j+1)} ) x^j + x^u+1

= 1 + ∑_u=1^j+1 ( ( ^u/_{j (j-j)!} ) + x^u+1 = + x^u+1 = 0 = 1 + ^u!/_{(j-j+1) - (j-j+2) (j-j+3)-} + x^u+1 = 0 = 1 + ( ^u!/_{(j-1)! (u-j)!} ) ^{(1/(j-1) - 1/(u-j+1))} + x^u+1