Derivate prime ed integrali 2

Integrali di funzioni complesse

∫(x⁸ + 4x³ - 2cosx + 3x⁵)dx = ∫ x⁸dx + ∫ 4x³dx + ∫ -2cosxdx + ∫ 3x⁵dx = x⁹/9 + 4x⁴/4 - 2sinx + 3x⁶/6 - 4 - x² > 0 ⇒ x² < -4

Calcolo di un altro integrale

∫(8x³ + 4/x^-3 + 2x^-4 - cos(1/3x))dx = ∫ 8x³dx + ∫ 4x^-3dx + ∫ 2x^-4dx - ∫ cos(1/3x)dx = 2[x⁴/4] + 4[x^-2/-2] + 2[x^-3/-3] - sin(1/3x)/[1/3] = x⁴/2 - 2/x² - 2/3 · x^-3 - 3/4 sin(1/3x)

Un altro esempio di integrale

∫(x⁵ + 4x³ - 2cosx + 3x⁵) dx = ∫ x⁵ dx + ∫ 4x³ dx + ∫ -2cosx dx + ∫ 3x⁵ dx = x⁵/5 + 4x⁴/4 - 2senx + 3x⁶/6 - 4 - x² > 0 → x² < -4

Calcolo di integrali con funzioni trigonometriche e esponenziali

• ∫(8x^-3 + 4x^x + 2x^-4 - cos(3/x)) dx = ∫ 8x^-3 dx + ∫ 4x^-2 dx + ∫ 2x^-4 dx - ∫ cos(3/x) dx= 2 x^-2/4 + 4 x^-1/-2 + 2 x^-3/-3 - sen(3/x)/3 = x^-1/2 - 2/x² - 2/3 x - 3/4 cos(3/x)
• ∫ x³e^-x dx = x³ - e^-x - ∫ x³ e^-x dx = x³ e^-x - ∫ 3x² e^-x dx
• = -x³ e^-x + 3 ∫ x² e^-x dx = -x³ e^-x + 3 [ ▭ e^-x - ∫ 2x - e^-x dx ]
• = -x³ e^-x + 3 [ ▭ x^-x e^-x + ∫ e^x e^-x dx ]
• = -x³ e^-x - 3x² e^-x + 6 ∫ x e^-x dx = -x³ e^-x - 3x e^-x + 6 (-x e^-x - e^-x)
• ∫ e^3x dx = ⋅ e^3x∫ e^4x dx = ⋅ e^4x∫ e^7x dx = -∫ x² e^-x dx = (∫ 2x - e^-x dx
• = -x² e^-x + ∫ e^x e^-x dx ∫ x e^-x dx = x ⋅ e^-x - (∫ 1 - e^-x dx -= - x e^-x + (e^-x dx = x ⋅ e^-x - e^-x)

Calcolo di integrali con polinomi

• ∫ x e^x e^7x dx = x^e e^7x - ∫ 2 x e^7x dx = 1/7 x e^7x - 2/7 ∫ x e^7x dx
• ∫ x e^7x dx = x e^x e^7x /7 - ∫ 1 e^7x / 7 dx = x e^7x / 7 ∫ e^7x dx == 1/7 x e^7x - 1/7 e^7x / 7 = 1/7 x e^x e^7x -2/7 (1/7 x e^7x - 1/49 e^7x)

Logaritmi e altri integrali

• ∫ x³log x dx = x⁴/4 log x - ∫ x³1/x = x⁴/4 log x - 1/4 ∫ x³ dx = x⁴/4 log x - 1/4 x⁴
• ∫x⁵ log x dx = x¹⁰/10 log x - ∫x⁹/10 1/x dx = x¹⁰/10 log x - 1/10 ∫ x⁹ dx = x¹⁰/10 log x - x¹⁰/10 x¹⁰

Calcolo degli integrali definiti

∫₀⁴ x e^4x dx ◦ i ∫ x e^4x dx = x e^4x/4 - ∫ 1 · e^4x/4 dx = 1/4 x e^4x - 1/16 e^4x[ ]₀⁴ = (4 · 1/4 · 0 e^4·0 - 1/16 e^4·0) - 1/4 e⁴ + 1/16 = = 3/16 e⁴ + 1/16

∫₁² x³ log x dx =∫ x³ log x dx = x⁴/4 log x - ∫( x⁴/4) ′ dx = x⁴/4 log x - 1/16 x⁴

∫₁² x³ log x dx = [ x⁴/4 log x - 1/16 x⁴ ]₁² = (2⁴/4 log 2 - 1/16 · 2⁴ ) - (1/4 · log 1 - 1/16 · 1 ) == 16/4 log 2 - 16/16 + 1/16 = 4 log 2 - 1 + 1/16 = 4 log 2 - 15/16

Ulteriori esempi di calcolo integrale

∫( ³⁄_x⁷ + x)² dx ;∫(7x - ⁴⁄_x³)² dx

∫(7x - ⁴⁄_x³)² dx =∫(7x - 4x^-3)² dx =∫(49x² - 56x · x^-3 + 16x^-6) dx == 49 ∫ x² dx - 56 ∫ x^-1 dx + 16 ∫ x^-6 dx == ⁴⁹⁄₃ x³ - 56 x^-4⁄_-1 + 16 x^-5⁄_-5 == ⁴⁹⁄₃ x³ + ⁵⁶⁄_x - ¹⁶⁄₅ · ¹⁄_x⁵

∫( ³⁄_x² + x)² dx =∫(3x^-2 + x)² dx =∫(9x^-4 + 6 x^-2 + x²) dx == 9 ∫ x^-4 dx + 6 ∫ x^-2 dx + ∫ x² dx == 9 x^-3⁄_-3 + 6 log|x| + x³⁄₃

∫ x^-1 dx = ^x-1+1⁄_-1+1 = ^x0⁄₀ ???!!!

∫ ¹⁄_x dx = log|x|

Funzione e limite

f(x) = 4x³ - 3x¹ ; X = ℝ∫(4x³ - 3x)dx = x¹ - ³/₂ x²

lim_x→+∞(4x³ - 3x) = +∞

m = lim_x→+∞ 4x³ - 3x / x = lim_x→+∞ (4x² - 3) = +∞

4x³ - 3x > 0 ⟹ x (4x² - 3) > 0

x √3/₂ ∨ x > ^√3/₂-^√3/₂ 0 ^√3/₂- + - +

Derivata e analisi del segno

f(x)=4x³-3x

f'(x)=12x²-3

12x²-3=0 ⟹ 3(4x²-1)=0 ⟹ 4x²-1=0 ⟹ 4x²=1 ⟹ x=±¹/₂

f'(x) > 0 ⟹ 12x²-3 > 0 ⟹ 4x²-1 > 0 ⟹ x < -¹/₂ ∨ x > ¹/₂

Valori assoluti relativi

f(-¹/₂) = 4(-¹/₂)³-3(-¹/₂) = -⁴/₈ + ³/₂ = ¹/₂ valore assoluto relativo

f(¹/₂) = 4(¹/₂)³ - 3(¹/₂) = ¹/₈ - ³/₂ = -¹ valore assoluto relativo

Funzione frazionaria

f(x) = ^4x³⁄_{2x³ + 1}

2x³ + 1 ≠ 0 ⇒ 2x³ ≠ -1 ⇒ x³ ≠ -¹⁄₂ ⇒ x ≠ -¹⁄_√2

x = -¹⁄_√2 A.V.

lim _x→±∞ ^4x³⁄_{2x³ + 1} = 2

y = 2 A.O.

f(x) ≥ 0 ⇒ ^4x³⁄_{2x³ + 1} ≥ 0 ⇒ ^4x³⁄_{2x³ + 1} ≥ 0

4x³ ≥ 0 ⇒ x ≥ 0

2x³ + 1 ≥ 0 ⇒ 2x³ ≥ -1 ⇒ x³ ≥ -¹⁄₂ ⇒ x ≥ -¹⁄_√2