Derivate parziali, matrice hessiana, teorema di Schwarz

Sia A ⊆ ℝ² aperto e sia f: A → ℝ. Se (x,y) appartengono ad A la definizione

"derivata parziale" di f rispetto x nel punto (x,y) è

\[ \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h) - f(x,y)}}{h} \]

Se è finito il limite si indica con uno dei seguenti simboli: f_x(x,y), \[D_x f(x,y)\], \[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\]

Analogamente, la "derivata parziale" di f rispetto a y nel punto (x,y) è il limite: \[ \lim_{{k \to 0}} \frac{{f(x,y+k) - f(x,y)}}{k} \] se è finito si indica con: \[ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\], f_y(x,y), \[D_y f(x,y)\]

f(x,y): x²-3xy+5y²

f_x(x,y)=2x-3y, f_y(x,y)=-3x+10y

Quando si deriva parzialmente rispetto ad una variabile, si considera l'altra variabile come una costante.

f(x,y): 5x²+6y+3xy

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} [5x^2] + \frac{\partial}{\partial x} [6y] + \frac{\partial}{\partial x} [3xy] = 10x+\cancel{0}+3y ( \cancel{\frac{\partial}{\partial x}[x]} = 1 )

= 10x+3y

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [5x^2] + \frac{\partial}{\partial y} [6y] + \frac{\partial}{\partial y} [3xy] = \cancel{6}+\cancel{0}+3x \]

Se esistono, nel punto (x,y) ∈ A, entrambe le derivate: f_x(x,y) e f_y(x,y) allora si dice che f è "derivabile" in (x,y).

Se f è derivabile in ogni punto (x,y) ∈ A diremo che f è derivabile in A.

Si definiscono le derivate parziali in un punto al frontiera di A nel seguente modo: dobbiamo "prolungare" le derivate parziali dall'interno.

Sia D un dominio di ℝ², supponiamo che f ha f_x e f_y in ogni punto interno di D e supponiamo che f_x e f_y siano funzioni continue in D^0 ⊆ (insieme dei punti interni di D).

In ogni punto (x₀, y₀) ∈ ∂ D consideriamo i limiti:

\[ \lim_{{(x,y) \to (x_0,y_0)}} f_x(x,y) \text{ e } \lim_{{(x,y) \to (x_0,y_0)}} f_y(x,y) \]

Questi 2 limiti li chiamo f_x(x₀, y₀)

Sia A ⊆ ℝ² aperto e sia f: A → ℝ. Se (x,y) appartengono ad A definiamo "derivata parziale" di f rispetto x nel punto (x,y) il

lim_{h → 0} ⁡ (f(x+h) - f(x,y)) / h Se è finito il limite si indica con uno dei seguenti simboli:

f_x(x,y), D_xf(x,y), ∂f(x,y) / ∂x

Analogamente, la "derivata parziale" di f rispetto a y nel punto (x,y) il

lim_{k → 0} (f(x,y+k) - f(x,y)) / k se è finito si indica con: ∂f / ∂y, f_y(x,y), Dyf(x,y)

f(x,y): x²-3xy+5y²

f_x(x,y)=2x-3y, f_y(x,y)=-3x+10y

Quando si deriva parzialmente rispetto ad una variabile, si considera l'altra variabile come una costante.

f(x,y): 5x² + 6y + 3xy

∂f/∂x = ∂[5x²]/∂x + ∂[6y]/∂x + ∂[3xy]/∂x = 10x + 0 + 3y = 10x + 3y

∂f/∂y = ∂[5x²]/∂y + ∂[6y]/∂y + ∂[3xy]/∂y = 6 + 3x

Se esistono, nel punto (x,y)∈A, entrambe le derivate: f_x(x,y), e f_y(x,y) allora si dice che f è "derivabile" in (x,y). Se f è derivabile in ogni punto (x,y)∈A diremo che f è derivabile in A.

Si definiscono le derivate parziali in un punto di frontiera di A nel seguente modo: dobbiamo "prolungare" le derivate parziali dall'interno.

Sia D un dominio di ℝ², supponiamo che f ∈ C(D) e f_y in ogni punto interno di D.

e supponiamo che f_x e f_y siano funzioni continue in D ∪ ∂D (insieme dei punti interni di D). In ogni punto (x₀, y₀) ∈ ∂D consideriamo i limiti:

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f_x(x,y) e lim_{(x,y)→(x0,y0)} f_y(x,y) Questi si limitano chiamo f

e osserviamo che:

1. Se _(x0,y0) ∈ D per l'ipotesi di continuità delle derivate f_x e f_y in D tali limiti sono: f_x (x₀,y₀) e f_y (x₀,y₀)
2. Se (x₀,y₀) è di frontiera per D, allora se tali limiti off sono finiti vengono assunti come derivate parziali di f in (x₀,y₀) rispettivamente.

DERIVATE SUCCESSIVE, MATRICE HESSIANA: Sia f: A ⊆ ℝ² → ℝ con f derivabile in A allora V (x,y) ∈ A, f _x (x,y), e f _y (x,y), tali funzioni posso essere a loro volta derivabili in un punto (x₀,y₀)∈ A, rispetto a una delle variabili x,y o entrambe. Se ciò si verifica le derivate f_xx (x₀,y₀), f_yy (x₀,y₀), f_xy (x₀,y₀) vengono dette " derivate seconde".

• f_xx (x₀,y₀) e f_yy (x₀,y₀) sono le derivate seconde
• f_xy (x₀,y₀) e f_yx (x₀,y₀) " " " " miste.

MATRICE HESSIANA: Matrice delle derivate seconde quadrata

²f: ( _xfy) _xfxy f_yy)

TEOREMA DI SCHWARZ: Sia A ⊆ ℝ² un aperto e sia (x₀,y₀) ∈ A e f: A → ℝ e sia derivabile 2 volte.

Se le derivate seconde miste f_xy e f_yx sono continue in (x₀,y₀)

Allora f_xy (x₀,y₀) = f_yx (x₀,y₀)

Dim. Poniamo x = x₀ e y ≠ y₀

Definisco le seguenti due funzioni di una variabile reale:

• F (x) = f_xy - f (x₀,y) [ y fissato]
• G (x) = f_xy - f₀^— (x,y) [ x fissato] supponendo che x → x₀ y ≥ y₀

(Applicando il th. di Lagrange ad f (x) in (x₀,x) ottengo che:

D ) [ un punto x₁ ∈ (x₀,x) { f_x (x) - F (x₀) = f_x }

• [f_{xx x1 (x0)] = fxx x1 (y0) ( x - x0) ]}

Applicando nuovamente (th. di Lagrange alla funzione f_{xx (x1,x) )}

(y₀,y) f[ a un punto y₁ = F_x (x) - F_xy = [ f_{xy x1,y1) ( y - y0 ) ( y1 - ^y y0)]}