Derivate fondamentali

Primi esempi di derivate

Funzione costante

Considerando la funzione costante \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) con \( x \rightarrow c \), essa è derivabile in tutto il suo dominio e ha derivata nulla. Infatti, fissando un generico punto \( x \in \mathbb{R} \), se a qualunque \( h \neq 0 \) viene associato il rapporto incrementale di \( f \), si ottiene:

\( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{c - c}{h} = 0 \)

da cui passando al limite si ha:

\( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 0 \).

Funzione lineare

Considerando la funzione lineare \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) con \( x \rightarrow mx + q \) con \( m \neq 0 \), essa è derivabile in tutto il suo dominio e ha derivata uguale a \( m \). Infatti, fissando un generico punto \( x \in \mathbb{R} \), se a qualunque \( h \neq 0 \) viene associato il rapporto incrementale di \( f \), si ottiene:

\( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{m(x+h) + q - (mx + q)}{h} = \frac{mh}{h} = m \)

da cui passando al limite si ha:

\( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = m \).

Funzione quadrato

Considerando la funzione quadrato \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) con \( x \rightarrow x^2 \), essa è derivabile in tutto il suo dominio e ha derivata uguale a \( 2x \). Infatti, fissando un generico punto \( x \in \mathbb{R} \), se a qualunque \( h \neq 0 \) viene associato il rapporto incrementale di \( f \), si ottiene:

\( \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \)

da cui passando al limite si ha:

\( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2x \).

Funzione valore assoluto

Considerando la funzione valore assoluto \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) con \( x \rightarrow |x| \), essa è derivabile per tutti i valori del suo dominio superiori a 0 con derivata uguale a 1, e per tutti i valori inferiori a 0 con derivata uguale a \(-1\), ma non è derivabile nel punto \( x = 0 \). Infatti:

• Considerando soltanto i valori di \( x \) positivi e fissando un generico punto \( x \in ]0, +\infty[ \), se a qualunque \( h \neq 0 \) viene associato il rapporto incrementale di \( f \), si ottiene:

\( \frac{|x+h| - |x|}{h} = \frac{x+h-x}{h} = \frac{h}{h} = 1 \)

da cui passando al limite si ha:

\( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 1 \).

• Considerando soltanto i valori di \( x \) negativi e fissando un generico punto \( x \in ]-\infty, 0[ \), se a qualunque \( h \neq 0 \) viene associato il rapporto incrementale di \( f \), si ottiene:

\( \frac{|x+h| - |x|}{h} = \frac{-x-h-(-x)}{h} = \frac{-h}{h} = -1 \)

da cui passando al limite si ha:

\( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = -1 \).

• Considerando, infine, \( x = 0 \), se a qualunque \( h \neq 0 \) viene associato il rapporto incrementale di \( f \), si ottiene:

\( \frac{|0+h| - |0|}{h} = \frac{|h|}{h} \), ma il limite per \( h \rightarrow 0 \) di tale rapporto non esiste, esistono però il limite destro e il limite sinistro finiti e distinti:

\( \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{|h|}{h} = 1 \) e \( \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{|h|}{h} = -1 \).

Si può affermare quindi che la funzione valore assoluto nel punto \( x = 0 \) non ha derivata, ma essa esiste a destra e a sinistra del punto; essendo la derivata destra e la derivata sinistra corrispondenti a un valore finito, \( f \) è derivabile a destra e a sinistra del punto 0, ma non in 0.

Funzione radice quadrata

Considerando la funzione radice quadrata \( f: [0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R} \) con \( x \rightarrow \sqrt{x} \), essa è derivabile nell’intervallo ]0, +∞[ e ha derivata uguale a \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\), mentre nel punto \( x = 0 \) la funzione non è derivabile essendo la derivata \( f'(0) = +\infty \).

• Considerando i valori di \( x > 0 \) e fissando un generico punto \( x \in ]0, +\infty[ \), se a qualunque \( h \neq 0 \) viene associato il rapporto incrementale di \( f \), si ottiene:

\( \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \). Razionalizzando, si ha:

\( \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \)

da cui passando al limite si ha:

\( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

• Considerando il punto \( x = 0 \), se a qualunque \( h \neq 0 \) viene associato il rapporto incrementale di \( f \), si ottiene:

\( \frac{\sqrt{0+h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}} \)

da cui passando al limite si ha

\( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{h}} = +\infty \).

Derivate delle funzioni elementari

Funzione potenza n-esima

La funzione potenza n-esima \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) con \( x \rightarrow x^n \) con \( n \in \mathbb{N} \) è derivabile in tutto il suo dominio con derivata \( D^n x = nx^{n-1} \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \) e \( n \in \mathbb{N} \).

Dimostrazione: per provare la relazione si procede per induzione:

• Occorre innanzitutto verificare la validità...