Derivate e altri argomenti, Analisi matematica I

Derivate

Si prende un punto c ∈ ℝ finito e una funzione f: I(c) → ℝ ( f è definita anche in x = c),

∀ x ∈ I(c) { c } [ x ≠ c ]

x - c

Non esiste f'(c) ma ha senso studiare lim p(x) x → c

Definizione:

Si dice che f è derivabile in x = c ne esiste finito il

lim f(x) - f(c) x → c x - c

In questo caso il risultato di tale limite si indica con f'(c) ∈ ℝ e si chiama la derivata di f in x = c. La derivata della funzione nel

punto c è un numero.

Es.

f(x) = x³ - 1

f'(1) = 3

lim f(x) - f(1) se esiste finito

x → 1 x - 1

lim x³ - 1³ = lim (x-1)(x²+x+1) x → 1 x - 1 x → 1 (x-1)

Cosa significa la derivata di f in x = c?

1) Derivata come tasso di variazione

Qual è il significato di f(x) - f(c) ? x - c

x - c = Δx variazione della x

(variabile indipendente)

f(x) - f(c) = Δy = Δf

Variazione di y indotta dalla variazione di x

f(x) - f(c) = Δy variazione relativa di y x - c = Δx rispetto a x nell’intervallo [c,x]

Tiene conto di quanto tempo è passato sull’asse delle x

f'(c) = lim f(x) - f(c) = lim Δy ÷ Δx = Tasso di variazione istantaneo di x → c x - c Δx → 0 Δx y rispetto a x all’istante x = c

f'(c): MISURA DELLA VARIAZIONE ISTANTANEA DI y RISPETTO AD x QUANDO x=c.

Δy = f'(c) ⇔ Δy ≈ f'(x)Δx se Δx è PICCOLO

Δx

DERIVATA: MISURA DEL TASSO DI VARIAZIONE DELLA y RISPETTO AD x.

ES. f'(1) = 3

Im x =1 va nell’incirca 3 volte più veloce di x Δy = 3Δx

Se ad esempio: Δx = 0,1

Δy = 3Δx = 0,3

CASI PARTICOLARI: MOTO RETTILINEO

1. x = tempo
2. f(x) = posizione al tempo x
3. Δy = velocità media, f'(c) = velocità istantanea
4. Δx

SE NE FACCIO IL LIMITE HO LA VELOCITÀ ISTANTANEA.

2. x = tempo
3. f(x) = velocità al tempo x
4. Δy = accelerazione media f'(c) = accelerazione istantanea
5. Δx

2. INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Ricordiamo che si dice che f: ℝ → ℝ per x → c se lim f(x) = 0

x→c g(x)

Una funzione è o-piccolo di un’altra quando il LIMITE DEL RAPPORTO è 0.

lim f(x) - f(c) = f'(c)

x→c x-c

(lim f(x) - f(c)) f'(c) = 0

x→c x-c

lim (f(x) - f(c)) = 0

x→c x-c

lim f(x) - f(c) - f(c)(x-c) = 0

x→c x-c

Come si trova f'(x)?

1. Usare la definizione ^{(lim x→c)}_{(^{f(x) - f(c)}/x - c)} troppo lungo e difficile
2. Se si è data l'espressione di f, usare le regole di derivazione
3. Disegno grafico

Esempio

x=2 f'(2)=0

f'>0

f' IR c -> f'(c) funzione derivata prima

Esempio

f(d) ≤ 1

f(d) ≥ 1

f'(p)

f'(x): retta tangente

f(x)

f'(x) > 0

f'(x) < 0

Pendenza > 1

le note della derivata nell'asse delle y sono la pendenza della retta tangente

Funzioni e Derivate

d ∈ ℝ

f(x)ⁿ

• d f(x)ⁿ : n f(x)ⁿ⁻¹ f'(x)
• eʰˣ : eʰˣ f'(x)
• ln f(x) : f'(x) / f(x)
• cos(f(x)) : - (sen(f(x)) • f'(x))
• sin(f(x)) : cos(f(x) • f'(x))
• tg f(x) : f'(x) / cos²(x) (1 + tg²(x)) f'(x)
• arctg f(x) : f'(x) / 1 + f²(x)
• arcsin f(x) : f'(x) / √(1 - f²(x))
• logₐ f(x) : ln f(x) / ln a • f'(x) / lna • f(x)
• a f(x) : e ln a f(x) : e ln a • f(x) = ln a • f'(x) = lna • f(x) = a f(x)

f(x) g(x) : eʰˣ ln f(x) = e [ 9; (x) ln f(x) + f(x) g'(x)] / [ eʰˣ ]

Derivata di una Somma

y = f(x) + g(x)   y' = f'(x) + g'(x)

Derivata di un Prodotto

y = f(x) • g(x)

y' = f'(x) • g(x) + f(x) • g'(x)

Derivata di un Quoziente

y = f(x) / g(x)

y' = [f'(x) • g(x) - f(x) • g'(x)] / [g(x)]²

Derivata di una Costante per una f(x)

y = k • f(x)   y' = k • f'(x)

Esempi di Derivate

1. F(x) = sen x² - sen (x - x) F'(x) = (cos x²) (2x)
2. g(x) = sen²(x) = (sen x)² = 2sen x • sen x g'(x) = 2 (sen x) cos x
3. f(x) = ln (5x) f'(x) = 5/x = 1/x
4. D { √(x + 1) • (1/√x) • √(x - 1) }

(x > 0) = 1/2√x (1/√x + √(x + 1) (1/2√x))

= 2/2 • 1/2√x = 2/2x

= - [2/√x] / 2x = -1/2x

ES. TROVARE PUNTI DI MAX E MIN

f(x) = x + 3x / x - x²

x = 2 x = 0 x = -1

D_f R: R\{0, 1, 2}

f(x) = (3x - (x²(1 + 3x)/ x²(x-2)(x-2)}

3x - 3x² = 1 + 2 - 3x + 6x²

3x² + 2x - 1 = 0

x = -(1/3) +- 1/3

-1 + 2 / 3 1/3 3

f(-1) = 4/3 = 3 = f(0)

f(1) = -1

f(1/3) = 9

f'(x) > 0 3x²(x - 2) < 0

CONVESSITÀ E CONCAVITÀ

f CONCAVA

f CONVESSA

*) 1

LA DERIVATA 1^a SARÀ < 0 PERCHÉ LA DERIVATA 1^a DECRESCE

TUTTE E DUE LE FUNZIONI HANNO LA DERIVATA PRIMA > 0

PERCHÉ CRESCENTI

DERIVATA SECONDA

f''(x) = lim_{h → 0} f((x + h) - f'(x) / h

ES. CALCOLARE f'' PER f(x) = xe^x + ln x

f'(x) = e^x + e^x + xe^x

f''(x) = e^x + e^x + xe^x - 1/x² =

DEFINIZIONE f DUE VOLTE DERIVABILE IN (a,b) = CONCAVA IN (a,b)

SE f''(x) < 0 f è CONVESSA IN (a,b) E F''(x) > 0

Esempio: e^x c=0

P_1,0(x) = 1 + x

E₁(x) = e^x - (1 + x) = O(x), x -> 0

E₁(x) = f(x) - P_1,0(x) errore o resto

E₁(x) = o(x), x -> 0

x = 1 ad esempio

c = 2

Come si regola l'approssimazione?

1⁰ passo: Approssimazione con un polinomio di grado ≤ 2

Definizione: Si chiama polinomio di Taylor di ordine 2 un polinomio di grado ≤ 2 tale che P(0) = f(0), P^'(0) = f^'(0), f^''(0) = f^''(0) stessa curvatura funzione

Teorema: Sia f : (c-r, c+r) -> R derivabile 2 volte allora esiste un unico polinomio di Taylor di f di ordine 2 dato da:

P_2,0(x) = f(x) = f^'(0)x + f^''(0) / 2 x²

Osservazione

P_2,0(x) = P_1,0(x) + f^''(0) / 2 x² aggiungo la parte di 2⁰ grado a polinomio di Taylor di grado 1

f^'(x) = e^x

f^''(x) = e^x = f^''(0) = 1

1 + x + 1/2 x²

x = 1 (ad esempio)

Valore esatto e valore approssimato

• n = 1 : 2
• n = 2 : 2,5

Ad es.: x = 1 e^x = 2,71828

• n = 1  p_n(1) = 2
• n = 2  p_n(1) = 2,5
• n = 3  p_n(1) = 2,6
• n = 4  p_n(1) = 2,7085
• n = 5  p_n(1) = 2,716

Approssimazione

f(x) = log (1 + x)

c = 0

f^(')(x) = ¹⁄_{1 + x}

f^('')(x) = -1 (1 + x)^-2

f^(''')(x) = 2 (1 + x)^-3

f⁽⁴⁾(x) = -3 ( -2 ) (-1 ) (1 + x)^-4

f⁽⁵⁾(x) = -4 (-3) (-2) (-1) (1 + x)^-5

f^('')(x) = (-1)^k+1 (k - 1)! (1 + x)^-k

f^(k)(x) = (-1)^k+1 (k - 1)!/(1 + x)^k

P_n,0(x) = ∑_{k = 0}^nf(k)(0)⁄_k! x^k = ∑_{k = 0}ⁿ (-1)^{k+1(k - 1)!/k!} x^k = ∑_{k = 0}ⁿ (-1)^k+11⁄_k x^k          x^k: k≥1 f(0) = 0

P_1,0(x) = x

P_2,0(x) = x - ^x2⁄₂

P_3,0(x) = x - ^x2⁄₂ + ^x3⁄₃

Es.: log 1,5 = ?

   ^{log (1 + x)}⁄_{con x = 0,5}

P_1,0 (0,5) = 0,5

P_2,0 (0,5) = 0,5 - ^(0,5)2⁄₂ 0,375

P_3,0 (0,5) = 0,375 + ^(0,5)3⁄₃ 0,646

log 1,5 ≈ 0,60546