Derivate e altri argomenti, Analisi matematica I

Derivate

Definizione di derivata

Si prende un punto c ∈ ℝ finito e una funzione f: I(c) → ℝ (f è definita anche in x = c).

φ(x) = f(x) - f(c) V x ∈ I(c) \ {c} [x ≠ c] x - c

Non esiste φ(c), ma ha senso studiare lim φ(x)x→c

Definizione: Si dice che f è derivabile in x = c se esiste finito il lim f(x) - f(c)x→cx - c

In questo caso il risultato di tale limite si indica con f'(c) ∈ ℝ e si chiama la derivata di f in x = c. La derivata della funzione nel punto è un numero.

Esempio di calcolo della derivata

f(x) = x³ c=1

f'(1) = 3 lim f(x) - f(1) x→1x - 1 se esiste finito

lim x³ - 1³ x→1 x - 1 = lim (x - 1) (x² + x + 1) x - 1

Interpretazione della derivata

Cosa significa la derivata di f in x = c?

1. Derivata come tasso di variazione

Qual è il significato di f(x) - f(c) ?
x - c = Δx Variazione della x (variabile indipendente)
f(x) - f(c) = Δy = Δf Variazione di y indotta dalla variazione di x

f(x) - f(c) = Δy = Variazione relativa di y x - c Δx rispetto a x nell'intervallo [c,x] Tiene conto di quanto tempo è passato sull'asse delle x

f'(c) = lim f(x) - f(c)x→cx - c = lim Δy = Tasso di variazione istantaneo di Δx→0 Δx y rispetto a x all'istante x = c

Derivate di F

Si prende un punto c ∈ ℝ finito e una funzione F: I(c) → ℝ (F è definita anche in x = c).

φ(x) = ^{F(x) - F(c)}/_{x - c} ∀x ∈ I(c) \ {c} [x ≠ c]

Non esiste F'(c) ma ha senso studiare lim_{x → c} φ(x)

Definizione: Si dice che F è derivabile in x = c se esiste finito il lim_{x → c} ^{F(x) - F(c)}/_{x - c}

In questo caso il risultato di tale limite si indica con F'(c) ∈ ℝ e si chiama la derivata di F in x = c. La derivata della funzione nel punto è un numero.

Esempio di calcolo della derivata di F

F(x) = x³ c = 1
F'(1) = 3 ⋅ 1² = 3

lim_{x → 1} ^{F(x) - F(1)}/_{x - 1} se esiste finito
lim_{x → 1} ^{x3 - 1}/_{x - 1}

lim_{x → 1} ^{(x2 + x + 1)} = 3

Significato della derivata di F

Qual è il significato di ^{F(x) - F(c)}/_{x - c}?

x - c = Δx variazione della x (variabile indipendente)
(F(x) - F(c)) = Δy = Δf variazione di y indotta dalla variazione di x

^{F(x) - F(c)}/_{x - c} = ^Δy/_Δx variazione relativa di y rispetto a x nell'intervallo [c, x] Tiene conto di quanto tempo è passato sull'asse delle x

F'(c) = lim_{x → c} ^{F(x) - F(c)}/_{x - c} = lim_{Δx → 0} ^Δy/_Δx = Tasso di variazione istantaneo di y rispetto a x all'istante x = c

f'(c): misura della variazione istantanea di y rispetto ad x quando x=c.

Δy - f'(c) ⟷ Δy = f'(x) Δx per Δx è piccolo

Derivata: misura del tasso di variazione della y rispetto ad x.

Es. f'(x) = 3 In x=1 va all'incirca 3 volte più veloce di x Δy=3Δx

Se ad esempio: Δx=0,1 Δy = 3Δx=0,3

Casi particolari: moto rettilineo

1. x = tempo
2. f(x) = posizione al tempo x
3. Δx = velocità media, f'(c) = velocità istantanea
4. x = tempo
5. f(x) = velocità al tempo x
6. Δx = accelerazione media f'(c) = accelerazione istantanea

Interpretazione geometrica

Ricordiamo che si dice che f: o.g per x⟶c se lim f(x) =0
una funzione è o-piccolo di un'altra quando il limite del rapporto è 0.

Riscriviamo la definizione di derivata usando il simbolo o-piccolo.

lim_x⟶c ((f(x)-f(c)) / (x-c)) = f'(c)

lim_x⟶c (f(x)-(f(c)-f'(c)=0

lim_x⟶c (f(x)-(f(c)) / (x-c)) = 0

f(x) - f(c) - f'(c)(x-c) = 0x=c

f(x)-f(c)-(f'(c)(x-c)=o(x-c), x→c

Tutte le volte che c'è una frazione che tende a 0, il numeratore è trascurabile rispetto al denominatore.

f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + o(x-c), x→c

C = numero

Es: f(x) = x³ , c = 1