Deformazione

Deformazione dei corpi continui

Esistono due teorie

• Non lineare → teoria delle deformazioni finite
• Lineare → teoria delle deformazioni infinitesime

Si può trovare per limitazione della teoria non lineare

Per piccole deformazioni (trasf. infinitesime) intendiamo deformazioni dell'ordine di 10^-3...

Una proprietà di un corpo è quella di occupare una porzione di R₃. Riconosciamo ciò con i punti di una regione Ω.

Configurazione di riferimento

∂Ω = frontiera regione

Ogni punto osserva la sua individualità

DEFORMAZIONE DEI CORPI CONTINUI

CAP 1

Esistono due teorie

• Non lineare

Teoria delle deformazioni finite

• Lineare

Teoria delle deformazioni infinitesime

Si può ritenere per definizione della teoria non lineare

Per piccole deformazioni (tassi infinitesimi) intendiamo deformazioni dell'ordine di 10^-3...

Una proprietà di un corpo è quella di occupare una posizione in R3. Riconosciamo ciò con i punti di una regione Ω

Configurazione di riferimento

Ogni punto osserva la sua individualità

Configurazione

(Deformata)

X = f(X)

Si intende per deformazione la trasformazione che ad ogni punto X della configurazione di riferimento assegna un altro punto X appartenente alla configurazione attuale del corpo.

Legge di Deformazione

Confronto di una configurazione con quella di riferimento.

Deformazione:

f Bigettiva

Ad ogni elemento dell'insieme di partenza corrisponde uno e un solo elemento dell'insieme di arrivo

Consideriamo che preservata la individualità dei materiali nella deformazione; non ci sono così lacerazioni o sovrapposizioni di materiale.

₂ f bcontinua - → Anche la funzione inversa è continua.

Funzione biunivoca continua e con inversa continua

Considerando un sistema di riferimento ₀, z₁, z₂, z₃

X = (X₁, X₂, X₃) → x = f (X₁, X₂, X₃)

Per la ₃ consideriamo una matrice 3x3

[F] =

^∂f₁/_∂x1 ^∂f₁/_∂x2 ^∂f₁/_∂x3

^∂f₂/_∂x1 ^∂f₂/_∂x2 ^∂f₂/_∂x3

^∂f₃/_∂x1 ^∂f₃/_∂x2 ^∂f₃/_∂x3

F = grad f

gradiente o deformazioni

Con F(λ) percorso di deformazione

Per la o det Jacobiano > 0

F (X) = det f (X)

Permanenza della materia

Matrice jacobiana

Matrice che ha come elementi le derivate parziali della deformazione

det J(X)

esplosione materia

implosione materia

det J(H) = 0

det J(d) = 0

det f(H) = 0

det f(d) < 0

det f(d) = 0

3) det jacobiano > 0

L'applicazione che rimette a confronto due configurazioni

deve essere rispettosa dell'assioma di continuità

STUDIO LOCALE DEFORMAZIONE

Alla deformazione f resta associato un campo vettoriale

detto CAMPO DI SPOSTAMENTO.

V(X) = x - X = f(X) - X

Riferimento O (Y_i) i=1,2,3

V_i (x_j) = f_i (x_j) - X_i i,j=1,2,3

Raccogliamo in una matrice le ∂V_i/∂Y_j

[H] {

∂v₁/∂y₁ ∂v₁/∂y₂ ∂v₁/∂y₃

∂v₂/∂y₁ ∂v₂/∂y₂ ∂v₂/∂y₃

∂v₃/∂y₁ ∂v₃/∂y₂ ∂v₃/∂y₃

}

Gradiente di spostamento

H = grad v

v = f - i

D u = H

F = H + I

H (Df - I) = F - I

F = cost. → Deformazione omogenea

F - I → Traslazione

v = x - X - f (X) - X

dx = F dx

dx - dX = F dx - dX

dx - dX = dX (F - I)

dv/dX = F - I

i H + F = I

F = ∂f/∂X - ∂x/∂x

rispetto configuraz. iniziale

TRASFORMAZIONE LINEARE

Sia V spazio vettoriale associato alle relazioni di R₃.

Consideriamo u, v, w vettori.

Sia A trasformazione lineare, applicazione che associa a un vettore un altro vettore.

A: u → v = Au

Essendo lineare:

A (αu + βw) = αAu + βAw

PROP.

1. Elemento Nullo (Tensore zero)0u = 0Applicato a un qualsiasi u lo trasforma in un vettore nullo.
2. Identità (Tensore identità)Iu = uApplicato a un qualsiasi u lo trasforma in se stesso.
3. ComposizioneTra due tensori A e B(AB)u = A(Bu) ∀u ∈ V

A) Trasposta A^T

Applicazione lineare che permette lo scambio di 'ruoli'.

(Au) ∙ v − (A^Tv) ∙ u ∀u,v

(A^T)^T = A;

(A + B)^T = A^T + B^T

(A^T)_ij = A_ji

(AB)^T = B^TA^T Compostizione per trasposita

Se A = A^T A si dice Elemento Simmetrico

Se A = -A^T A si dice Elemento Anti-Simmetrico

Componenti A)

A_ij = (A_st) ∙ e_i

• [A] - [A_ij] =
• (A_l, A_l, A₃)
• (A₂₁, A₂₂, A₂₃)
• (A₃₁, A₃₂, A₃₃)

Matrici Associazione

Componenti nella base orogonale (e₁, e₂, e₃)

A_ij=A_ji

• per descrivere una matrice simmetrica bastano 6 dimensioni

A_ij=-A_ji

• Per descrivere una matrice antisimmetrica bastano 3 dimensioni

Teorema di decomposizione

A= 1/2 (A+ A^T) + 1/2 (A- A^T)

• Dimensione 6
• Dimensione 3

Traccia di A

Tr A = A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

Prodotto interno

A . B = Tr (A B^T)

Norma

‖A‖² = (A . A)^3/2 = [Tr (A A^T)]^1/2

• Nel caso delle deformazioni (teoria lineare) la norma di H è molto piccola

‖H‖ 0