Definizioni e Teoremi di Analisi Matematica 2

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Università degli Studi di Napoli “Federico II”

Ingegneria Informatica

Prof. Francesco Chiacchio --- Definizioni e teoremi di Salvatore Capuozzo

ANALISI MATEMATICA II

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

Successioni di funzioni

⊆ ℝ ∈ ℕ

()

∶ ∈ → ℝ

Convergenza puntuale (successioni)

()

()

| ()|

()

∀ > 0 ∀ ∈ ∃: (, ) ∈ ℕ ∶ ∀ > − <

()

lim = ()

→∞

Convergenza uniforme (successioni)

()

()

| ()|

()

∀ > 0 ∀ ∈ ∃: () ∈ ℕ ∶ ∀ > − <

Teorema di convergenza uniforme | ()|

() ()

() ⇔ lim �sup − � = 0

→∞ ∈

DIMOSTRAZIONE ⇐ ()|

| () − <

: ∀ > 0 ∃: () ∈ ℕ ∶ sup

∈ | |

()| ()|

() ()

− −

è , ℎ ℎ:

≤ sup <

∈

()|

| () − < ∀ > ∀ ∈

:

DIMOSTRAZIONE ⇒ | ()|

() −

: ∀ > 0 ∀ ∈ ∃: () ∈ ℕ ∶ ∀ > <

|

()| ()|

| () ()

− −

≤ sup <

ℎ ℎ:

∈

| ()|

()

: lim �sup − � = 0

→∞ ∈

Teorema di continuità del limite uniforme

0

() ([,

∈ ]) ∀ ∈ ℕ

0

() [, ([,

() ] ⇒ () ∈ ])

DIMOSTRAZIONE

[.

∈ ]

0 |

() ( ) )|:

() − (

0 0

| | |

| () () ( ) ( ) )| ()| () ( )| ( ) )|

+ − + − ( − − (

≤ () − + +

() −

0 0 0 0 0 0

ℎ:

| | |

| ()| () ( )| ( ) )| () ( )|

− − ( −

+ + ≤ 2 +

() −

0 0 0 0

() è ∀ ∈ ℕ, :

| | | () ( )|

−

∃ > 0 ∶ − < ⇒ <

0 0

| |

() ( )| )|

2 + − ≤ 3, () − ( < 3

0 0

() ()

ò ℎ: lim lim = lim lim

→∞ → → →∞

0 0

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

0

() ([,

∈ ]) ∀ ∈ ℕ

() [, () ()�

→ () ] ⇒ lim

� = � � lim = � ()

→∞ →∞

DIMOSTRAZIONE

| ()|

() () −

�� − � () � ≤ �

| ()|

()

[, −

: ∀ > 0 ∀ ∈ ] ∃: () ∈ ℕ ∶ ∀ > <

| ()|

()

� − ≤ � = ( − )

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata

1

() ([,

∈ ]) ∀ ∈ ℕ

( )

[, → ∈ ℝ

∈ ] ∶

∃

0 0 () [,

→ () ]

′ () [,

→ () ] ⇒ � ′ ′

()� ()

� lim = lim

→∞ →∞

DIMOSTRAZIONE ′

() ( ) ()

= + �

:

0 0

′

() ( ) ()

= lim + �

� �

lim 0

→∞ →∞ 0

′

() ()

= + lim

�

lim

→∞ →∞ 0

()

lim = + � ()

≡ ()

→∞ 0

′ ′

()|

| () ( ) () ( ) ()

− = �� + � − + �

: � − � + � () �� = � − � () �

0 0

0 0 0 0

′ ′

|

|

( ) () ( ) ()

− + � � − ()� − + �� � − ()�

� ≤ �

: �

0 0

0 0

′ ′

| |

| ()|

( ) () ()

− + �� � − ()� −

� ≤ + � ≤ + ( − )

:

0

0

() ()

′ ()

, ℎ: = ()

()

ò lim = () = ′()

→∞

Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

⊆ ℝ |

() () ()|

→ () ⇔ ∀ > 0 ∃: () ∈ ℕ ∶ −

< ∀, ℎ > ∀ ∈

ℎ

DIMOSTRAZIONE ⇒

| | ()| |

| () ()| () ()| () ()|

− − () + () − −

= ≤ + () − < 2

ℎ ℎ ℎ

DIMOSTRAZIONE ⇐ ′

ℎ, è ℎ , è :

| () ()|

−

∀ > 0 ∃: () ∈ ℕ ∶ lim < ∀, ℎ > ∀ ∈

ℎ

→∞ | ()|

()

: ∀ > 0 ∃: () ∈ ℕ ∶ − < ∀ > ∀ ∈

Serie di funzioni

⊆ ℝ

()

∶ ∈ → ℝ

() :

() ()

=

1 1

() () ()

= +

2 1 2

() () () ()

= + + ⋯ +

1 2

∞ ()

() = �

=1

Convergenza puntuale (serie)

∞ ()

� ()

=1

() ()

Convergenza uniforme (serie)

∞ ()