Definizione di limite

DEFINIZIONI DI LIMITE

1

_limx→+∞ f(x) = +∞

• ∀E ∃N ∀x∈(domf) ∩ (N,+∞) ⇒ f(x) > E
• ∀E ∃I∈(+∞) ∀x∈(domf) ∩ I_ε(+∞) ⇒ f(x) > E
• ∀I(+∞) ∃I(+∞) ∀x∈V_I(+∞)∩(domf) ⇒ f(x)∈I(+∞)

bisogna dimostrare che f(x) > E trovando E∈domf per cui x > N_e, ∀E

2

_limx→+∞ f(x) = ℓ

• ∀E>0 ∃N∈ℕ ∀x∈(domf) ∩ {x | x > N} ⇒ |f(x) - ℓ| < E
• ∀E>0 ∃I_ε(+∞) ∀x∈(domf) ∩ I_ε(+∞) ⇒ |f(x) - ℓ| < E
• ∀I(ε) ∃V_I(+∞) ∀x∈(domf) ∩ V_I(+∞) ⇒ f(x) ∈ I(ε)

bisogna dimostrare che |f(x) - ℓ| < E per le x∈domf | x > N

3

_limx→x₀ f(x) = +∞

• ∀E ∃δ>0 | ∀x ≠ x₀, x∈(domf), x - x₀ < δ ⇒ f(x) > E
• ∀I(+∞) ∃V(x₀) | ∀x∈(dom_f - {x₀}) ∩ V(x₀) ⇒ f(x)∈I(+∞)
• ∀E ∃δ>0 | ∀x∈domf, 0 < d - x₀| < δ ⇒ f(x) > E

bisogna dimostrare che f(x) > E ∀E sia soddisfatta inf I(x₀) esclusa

• x₀ p.to di accumulazione può anche ∈ domf

Se x₀ non è p.to di acc. - o è p.to isolato

DEFINIZIONI DI LIMITE

1. _{x → +∞} f(x) = +∞

   • ∀ E ∃ N ∀ x ∊ (dom f) ∩ (N, +∞) ⇒ f(x) > E
   • ∃ E ∀ ∊ I_f(+∞) ∀ x ∊ (dom f) ∩ I_ε(+∞) ⇒ f(x) > E
   • ∀ I(+∞) ∃ x ∊ V_I(+∞) ∩ (dom f) ⇒ f(x) ∊ I(+∞)

   bisogna dimostrare che f(x) > E trovando E ∊ dom f per cui x > Nε, ∀ E

2. _{x → +∞} f(x) = ℓ

   • ∀ ε > 0 ∃ Nε | x ∊ (dom f) ∩ {x | x > Nε} ⇒ |f(x) - ℓ| < ε
   • ∀ ε > 0 ∃ I_ε(+∞) ∀ x ∊ (dom f) ∩ I_ε(+∞) ⇒ |f(x) - ℓ| < ε
   • ∀ I(ℓ) ∃ V_I(+∞) ∀ x ∊ (dom f) ∩ V_I(+∞) ⇒ f(x) ∊ I(ℓ)

   bisogna dimostrare che |f(x) - ℓ| < ε per le x ∊ dom f | x > N

3. _{x → x0} f(x) = +∞

   • ∀ ε ∃ δ > 0 | x ≠ x₀, x ∊ (dom f), x - x₀ < δ ⇒ f(x) > ε
   • ∀ I(+∞) ∃ V_I(x₀) ∀ x ∊ ((dom f - {x₀}) ∩ V_I(x₀)) ⇒ f(x) ∊ I(+∞)
   • ∀ ε ∃ δ > 0 ∀ x ∊ dom f, 0 < |x - x₀| < δ ⇒ f(x) > ε

   bisogna dimostrare che f(x) ≤ E ∀ ε sia soddisfatta in I(_f(x₀)) escluso x₀

4

lim_x→x0 f(x) = ℓ

x ≠ x₀ x₀ ∈ ℝ

ℓ ∈ ℝ

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 | 0 < |x-x₀| < δ, x ∈ dom f ⇒ |f(x) - ℓ| < ε

bisogna dimostrare che |f(x) - ℓ| < ε per |x-x₀| < δ

DEFINIZIONE GENERALE

lim_x→α f(x) = β

∀ I_β ∃ V_α | ∀ x ∈ dom f - {x₀} ∩ V_α ⇒ f(x) ∈ I_β

Limite di una funzione

f: X → Y

X ⊆ ℝ, Y ⊆ ℝ

x₀ ∈ ℝ, ℓ ∈ ℝ

x₀ pt. di acc. per X

lim (x → x₀) f(x) = ℓ def (⇔) ∀ I(ℓ) ∃ I(x₀) : ∀ x ∈ X∩I(x₀)\{x₀} ⇒ f(x) ∈ I(ℓ)

(ε) f(x) - ε < f(x) < ε

I(ε) ε ⊂ f(x) ε

+∞ : ........ f(x) > M

-∞ : ........ f(x) < M

x > ∞

-∞₀:

(x)

(ε) (e)

(N_ε)

VERIFICA DI UN LIMITE

1.

 lim_x→+∞ (x²-2x-10) = +∞

 ∀A ∃B ∈ ℕ t.c. x²-2x-10 > A

 (x²-2x-10) = (x-1)²-11 > A

 (x-1)² > A+11

 (x-1) > √A+11

 x > 1+√A+11 = B

2.

 f(x) = x + sin(10x)

 lim_x→+∞ (x + sin(10x)) = +∞

 -1 ≤ sin(10x) ≤ 1

 x-1 ≤ sin(10x) + x ≤ x+1

 Il grafico della funzione e' compreso tra y = x-1 e y = x+1

∀ε>0 ∃N∈ℕ t.c. x+sin(10x) ≥ ε

 x+sin(10x) ≥ x-1 ≥ ε = D

 x-1 ≥ ε = D x > ε+1 = N

-sin(10x) = 0

 10x = 0 + kπ k∈ℤ

-sin(10x) = 1

 10x = π/2 + k2π k∈ℤ

-sin(10x) = -1

 10x = 3π/2 + k2π k∈ℤ

3)

lim_x→+∞ (x + ^{sin x}/_x) = +∞

-1 ≤ sin x ≤ 1

-¹/_x ≤ ^{sin x}/_x ≤ ¹/_x

x - ¹/_x ≤ x + ^{sin x}/_x ≤ x + ¹/_x

Devo mostrare che per opportune x, x + ^{sin x}/_x > ε

x + ^{sin x}/_x > x - 1 > ε

x > N > 1

0 < ¹/_N < ¹/_x < 1

x - ¹/_x > x - ¹/_N > N - ¹/_N = ε

y = x

x + ¹/_x

y - ¹/_x

lim_x→x₀ f(x) = f(x₀^-) = f(x₀⁺)

FUNZIONE PARI

lim_x→x0⁺ f(x) = α   f(x) = f(-x)

FUNZIONE DISPARI

lim_x→x0⁺ f(x) = -α   f(-x) = -f(x)

f(x) è un infinitesimo per x→x₀ (⇔) |f(x)| ε^eᶦ

REGOLA DI CALCOLO

(+∞) + (+∞) = +∞   (-∞) - ∞ = -∞

^±∞/₀ = ±∞

⁰/_±∞ = 0   0^±∞ = 0

⁰/₀ =   1^±∞

e (+∞) = {   +∞   ε > 0

ε (-∞) =   {   -∞   ε < 0

(-∞) x (+∞) = (-∞)

⁰/₀ =   ^±∞/_±∞

(+∞)⁰ = 1

FORMA INDETERMINATE

(±∞)⁰ = 1

⁰/₀ = ±∞

(+∞)⁰ = 0   +∞ + 0

^±∞/_±∞   -∞ + ±∞

⁰/_±∞ = -∞^±∞

(+∞) + 0 = +∞

(+∞)⁰ = 0

(+∞)⁰ = 0

(+∞)_(f(x)^g(x))

A(SINTOTO VERTICALE)

A(SINTOTO ORIZZONTALE)

A(SINTOTO OBLIQUO)

lim_x→x₀ f(x) = ∞   x = x₀

lim_x→∞ f(x) = ℓ   y = ℓ

lim_x→∞ f(x) = ∞   y = ux + n

u = lim_x→∞ (f(x)/x) ≠ 0

n = lim_x→∞ (f(x) - ux) ≠ ±∞

Se c'è asintoto obliquo, non c'è asintoto orizzontale.

Limiti Notevoli

lim_x→∞ ^log_ax/_x^b = 0lim_x→0 x^d log_ax = 0lim_x→∞ ^ex/_x^d = 0 ∀dlim_x→∞ |x|^d e^x = 0lim_x→∞ (1+(x)^1/x)^x = αlim_x→∞ ^nα/_x = 1 α≥0lim_x→∞ ^√n/n = 1

lim_x→0 ^{1-cos x}/x = 0lim_x→0 ^{1-cos x}/x² = 1/2lim_x→∞ ^{sin x}/x = 1lim_x→∞ ^ex-1/x = 1lim_x→∞ ^ax-1/x = log_aelim_x→∞ ^log(1+x)/x = 1lim_x→∞ ^log_a(1+x)/x = 1lim_x→∞ (1+1/n)ⁿ = elim_x→∞ (1+x/n)ⁿ = e^x

lim_x→∞ x^α = { +∞ α>1 1 α=1 0 00: ∀x∈dom f, |x-x₀| |f(x)-f(x₀)|0 (esponenziale))

1. Discontinuità Eliminabile
2. Discontinuità Prima Specie
   1. ∃ lim_x→x0 f(x)= l ≠ f(x₀)
   2. g(x)={f^lim_x→x0 x ≠ x₀}
   3. ∃lim_x→x0 f(x)= l^l, l_1⁺ => l_2^-

Discontinuità di Seconda Specie

∄ lim_x→x0 f(x)

lim_x→x0^- f(x) ∨ lim_x→x0⁺ f(x) = ∞

f(x) non definita in x₀

ℓ = lim_x→x0 f(x) → g(x) = {f(x) se x ≠ x₀, e se x = x₀, g è continua}

Funzioni Composte

Sia data f(y) = h(g(x)) e valga:

lim_x→x0 g(x) = ℓ

lim_y→ℓ f(y) = u

1) f(y) continua e definita in ℓ

2) g(x) non prenda valore ℓ

3) f(y) non sia definita in ℓ

⇒ lim_x→x0 f(g(x)) = u

Limiti per Sostituzione

y = g(x)

sostituzione a variabile y una funzione invertibile tale che la sua inversa g^-1(y) verifichi le ipotesi sopra.

lim_x→d g(x) = ℓ lim_x→d f(g(x)) = u x → d

u = lim_y→ℓ f(g(g^-1(y))) = lim_y→ℓ f(y)

Confronto di Funzioni

lim_x→d (f(x)/g(x)) = 0 f = o(g)

(f o piccolo di g)

quando f e g sono infiniti o infinitesimi contemporanei

INFINITI

f(x) → ∞

g(x) → ∞

• lim_x→d f(x)/g(x) = 0 g(x) ORDINE SUPERIORE f(x) ORDINE INFERIORE f(x) = o(g(x))
• lim_x→d f(x)/g(x) = ∞ f(x) ORDINE SUPERIORE g(x) ORDINE INFERIORE
• lim_x→d f(x)/g(x) = c (f(x) e g(x)) STESSO ORDINE
• u(|g(x)|) < f(x) < H(g(x)) NON SONO CONFRONTABILI
• SONO CONFRONTABILI
• lim_x→d f(x)/g(x) = 1 EQUIVALENTI f ≈ g f(x) = g(x) + o(g) f(x) ∩ c[g(x)]^γ

1. f(x) è INFINITO o INFINITESIMO di ORDINE k rsp g(x)
2. c[g(x)]^γ è PARTE PRINCIPALE

SIMBOLI DI LANDAU

_n^o, _n^∞, _o^o

f O grande di g per x → ∞

se ∃M ∈ I(d) : x∈I ⇒ |f(x)| < M|g(x)|

f = O(g)

INFINITI

{log_n} < {bⁿ} < {aⁿ}, {n!}, {nⁿ}

log x < x^b < x^a < x^x < x^!! < x^!!

FORMULA DI MACLAURIN

T_n(x; 0) = ^{f(n)(x₀) (x - x₀)k}/_k!

k₀ = 0 di ordine n

• ∀x:

  e^x = 1 + x + ^x2/₂ + ^x3/₆ + ^x4/₂₄ + … + ^xn/_n! + o(xⁿ)

• |x| < 1:

  log(1 - x) = x + ^x2/₂ + ^x3/₃ + ^x4/₄ + ^x5/₅ = - ^(-1)n+1/_nxⁿ + o(xⁿ)

• |x| < 1:

  (1 + x)^d = 1 + dx + ^{d(d - 1)}/₂ x² + ^{d(d - 1)(d - 2)}/₆ x³ + …

• (^d/_n)xⁿ + dⁿ
• sin x = x - ^x3/₆ + ^x5/₁₂₀ - ^x7/₅₀₄₀ + … - ^{(-1)n x2n+1}/_(2n+1)! + o(x²ⁿ⁺²)
• cos x = 1 + ^x2/₂ - ^x4/₂₄ + ^x6/₇₂₀ + … + ^{(-1)n x2n}/_(2n)! → o(x²ⁿ⁺²)

• |x| < ^π/₂:

  tan x = x + ^x3/₃ + ²/₁₅ x⁵ → o(x⁶)

• sinh x = x + ^x3/₆ + ^x5/₁₂₀ + ^x7/₅₀₄₀ + ^x9/₃₆₂₈₈₀ + … → o(x⁹)
• cosh x = 1 + ^x2/₂ + ^x4/₂₄ + ^x6/₇₂₀ + ^x8/₃₆₂₈₈₀ + o(x⁹)
• a^x = 1 + x log a + o(x)

COEFFICIENTE BINOMIALE

ⁿC_k = n! / (k! (n-k)!)

FORMULA DEL BINOMIO O DI NEWTON

(1 + x)ⁿ = ∑_k=0ⁿ ( ⁿC_k x^k + o(xⁿ) )

= ∑_k=0ⁿ⁺¹ ( ⁿC_k x^k + o(xⁿ⁺¹))

ⁿ⁺¹C_k = 0 ⇒ x^k e x⁰

(1 + x)ⁿ = ∑_k=0ⁿ ( ⁿC_k )

1. o(g) + o(g) = o(g)
2. c . o(g) = o(g) ∀ c ∈ ℝ \ {0}
3. g₁ . o(g₂) = o(g₁.g₂)
4. o(g₁)^d = o(|g₁|^d) d ∈ ℝ⁺
5. o(g₁) . o(g₂) = o(g₁.g₂)
6. o(g + o(g)) = o(g)
7. o(o(g)) = o(g)

Se f(x) continua in x₀ e f(x) = xⁿ + o(xⁿ) per x → x₀

f(x₀) = 0

se n pari → ∃ I(x₀) su cui f(x) > 0 per x ≠ x₀

se n dispari → f(x) passa da negativa a positiva quando x attraversa x₀

f(x) = xⁿ ( 1 + o(xⁿ) / xⁿ ) = xⁿ (1 + o(1)) PERTANENZA DEL SEGNO

• LIMITI NOTEVOLI (TRASCENDENTI)
• CONFRONTO INFINITESIMI
• SOVRAPPOSIZIONE POLINOMI (L’EQUIME BASSO)
• DE L’HÔPITAL
• MAC

∞ : LIMITI NOTEVOLI

∞ : CONFRONTO INFINITI

SOVRAPPOSIZIONE (GRADO MAX)

0/0 = ∞/∞ = ∞/0 = 0/∞ = 0⁰

∞⁰ = 0^∞ = 1^∞ = ∞

1. I LIMITI NOTEVOLI

y = ln(1)

PARAMETRIZZAZIONE

• SOVRAPPOSIZIONE
• CONFRONTO INFINITI
• ∞/∞ INFINITI (INFINITESIMI)

SUCCESSIONE

{a_n}_n∈N = {a₀, a₁, a₂, ..., a_n} (a_n)

limn→+∞ a_n

CARATTERE

• REGOLARE limn→+∞ l∈ℝ
• NON REGOLARE limn→+∞
• CONVERGENTE limn→+∞ a_n = ℓ
• DIVERGENTE limn→+∞ a_n = ±∞

CONVERGENTE ⇒ LIMITATA (sup e inf)(∀ε>0 ∃n₀ t.c. N≤a_n≤ℝ)

• DIVERGE POSITIVAMENTE ⇒ LIMITATA INFERIORMENTE
• DIVERGE NEGATIVAMENTE ⇒ LIMITATA SUPERIORMENTE

CRESCENTE limn→+∞ a_n = sup a_nn∈N a_n ≤ a_n+1

DECRESCENTE limn→+∞ a_n = inf a_nn∈N a_n ≥ a_n+1

limn→+∞ a_n = limn→+∞ sup a_n = limn→+∞ inf a_n

SUCCESSIONE DI CAUCHY (a0 ∃n∈N [ ∀n≥n₀, ∀m>n₀ |a_n-a_m| < ε ]

RAPPRESENTAZIONE GRAFICAa_n = f(n) = insieme di infiniti punti isolati di coordinate (n, a_n)

SUCCESSIONE LIMITATA ammette SOTTOCCESSIONE CONVERGENTE{a_n}_n=0^∞ {a_k(n)}_n=0^∞

|a_n| ≤ H ⇒ [ limn→+∞ a_k(n) | ≤ H ]