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Curve di Probabilità Pluviometrica e di Durata Appunti scolastici Premium

Insieme di Appunti ed esempi relativi alla Definizione e la Costruzione di Curve di probabilità Pluviometrica e Curve di Durata basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Oliveto dell’università degli Studi della Basilicata - Unibas. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Idrologia e costruzioni idrauliche docente Prof. G. Oliveto

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ψ

1 #

I

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ψ + 6 66 2 6 '

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∑ µ Q

=

µ =

∑ σ Q

=

σ =

G 7

! 5

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio

SCHEDA DIDATTICA N°5

C

URVE DI PROBABILITÀ PLUVIOMETRICA

A.A. 2004-05

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

CURVE DI PROBABILITÀ PLUVIOMETRICA

Le curve di probabilità pluviometrica esprimono la relazione fra le altezze di precipitazione h e la loro

durata t, per un assegnato valore del periodo di ritorno T. Tale relazione viene spesso indicata anche

come curva di possibilità climatica o, ancora, linea segnalatrice di probabilità pluviometrica (LSPP).

In pratica non ci si limita mai ad una curva sola, ma si considera un fascio di curve, ciascuna delle quali

corrisponde ad un valore diverso del periodo di ritorno. L’altezza di precipitazione h presa in

considerazione è quella massima annuale relativa alla durate in esame.

Diverse formule sono utilizzate per descrivere questa relazione. In Italia viene generalmente utilizzata

una legge di potenza monomia del tipo:

n

h = a t (1)

t,T

dove h = altezza di precipitazione; t = durata della precipitazione; a ed n sono coefficienti che

dipendono dal periodo di ritorno.

Per la determinazione delle suddette curve ci si basa sull’analisi delle curve di frequenza (CDF),

costruite per le serie storiche dei massimi annuali delle piogge di durata 1, 3, 6, 12, 24 ore, adattando a

ciascuna di esse, attraverso la stima dei parametri, un predefinito modello probabilistico (TCEV,

Gumbel, etc.).

Dalle curve di frequenza, fissato il periodo di ritorno T ( tipicamente 10, 20, 50, 100, 200, 1000 anni) e

per ogni durata è possibile, quindi, ricavare il valore h I valori così determinati vengono riportati su

t,T.

un diagramma (h, t) ed interpolati mediante delle curve caratterizzate dalla espressione (1).

La legge di potenza considerata si adotta anche per l’interpolazione dei valori medi dei massimi annuali

di precipitazione di diversa durata.

Per la stima dei parametri a ed n di ciascuna curva conviene considerare la trasformata logaritmica dei

valori delle precipitazioni e delle durate ed applicare il metodo dei minimi quadrati.

Passando ai logaritmi, infatti, la (1) diventa un’espressione lineare:

log h = log a + n log t (2)

10 10 10

Ponendo

Lh = log h ; A = log a ed Lt = log t

10 10 10

si ha:

Lh = A + n Lt (3)

che indica è l’equazione di una retta di intercetta A e coefficiente angolare n.

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

Note M coppie di valori (h,t) riferite ad uno stesso periodo di ritorno, i coefficienti A ed n possono

essere determinati approssimando la retta dell’equazione (3) con la retta di interpolazione dei minimi

quadrati.

Tale retta di interpolazione è quella che minimizza la somma dei quadrati delle distanze tra la retta

stessa ed i punti individuati dalle M coppie di valori noti.

I parametri, date le M (in genere 5) coppie di valori noti (log h, log t), possono essere stimati

10 10

attraverso le equazioni normali:

∑ ∑ ∑

M ( Lt )( Lh ) Lt Lh

n = (4)

∑ ∑

2 2

M Lt ( Lt )

∑ ∑ ∑ ∑

2

Lh Lt Lt ( Lt )( Lh

)

A = (5)

∑ ∑

2 2

M Lt ( Lt )

Una volta stimati i parametri è possibile entrare nella curva di probabilità pluviometrica caratterizzata

da un certo tempo di ritorno e ricavare l’altezza di pioggia corrispondente a durate differenti da quelle

considerate dal servizio idrografico.

Per durate inferiori all’ora, in genere, si effettua una estrapolazione della curva ottenuta con la

procedura appena descritta; oppure, effettuando elaborazioni analoghe a quelle descritte utilizzando

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

anche i dati relativi a durate inferiori ad un’ora è comunque opportuno utilizzare due leggi monomie

caratterizzate da diversi parametri.

Per durate superiore alle 24 ore, invece, si preferisce effettuare delle elaborazioni analoghe a quelle

illustrate sulle base di dati di precipitazione giornaliera (massimi annuali per 1, 2, 3, .. giorni

consecutivi).

Esempio di calcolo delle curve di probabilita’ pluviometrica

Utilizzando le serie storiche dei massimi annuali delle altezze di precipitazione di durata 1, 3, 6, 12, 24

ore registrate nella stazione di Riace, si vogliono costruire le curve di probabilità pluviometrica per i

periodi di ritorno 50, 100, 500 anni, considerando il modello probabilistico di Gumbel.

I dati di partenza, riportati nella tabella 1, sono le serie storiche dei massimi annuali delle altezze di

precipitazione di durata 1, 3, 6, 12, 24 ore registrate nel pluviografo di Riace ricavati dalla Tabella III –

“Precipitazioni di massima intensità registrate ai pluviografi”, nella Parte Prima degli annali idrologici,

sezione Pluviometria.

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

Tabella 1 – Massimi annuali registrati nel pluviografo di Riace

ANNO P1ora P3ore P6ore P12ore P24ore

1937 72.00 74.20 74.60 74.60 74.60

1939 21.00 41.00 74.40 99.60 134.50

1940 20.40 31.20 35.80 55.00 87.00

1941 31.00 43.00 62.60 77.20 78.60

1943 40.00 61.00 86.40 157.00 180.00

1944 17.80 32.40 37.00 58.00 77.00

1945 19.20 24.00 33.20 50.60 57.60

1946 29.80 34.00 47.60 69.60 76.80

1947 39.80 64.00 76.00 88.60 126.00

1948 34.00 37.00 49.00 66.00 91.00

1949 37.00 46.00 53.00 75.00 96.60

1950 30.80 50.00 75.60 83.20 114.40

1951 40.00 80.00 140.00 240.00 313.00

1952 19.00 38.00 48.00 51.80 52.00

1954 39.00 46.00 51.00 51.40 57.20

1956 65.40 67.80 69.40 77.00 105.80

1957 52.00 80.80 91.20 102.00 139.60

1958 37.80 59.00 72.40 72.40 73.80

1959 32.00 44.00 58.00 67.60 85.00

1960 34.00 39.40 43.20 51.60 67.40

1962 31.40 38.00 38.80 38.80 38.80

1963 23.80 39.80 49.00 80.40 92.40

1964 90.00 112.00 192.00 200.20 200.80

1965 28.00 28.20 36.60 48.20 67.00

1966 55.40 89.80 90.20 90.80 97.20

1967 40.20 85.20 108.40 120.60 138.00

1968 16.60 32.60 38.20 45.70 58.60

1969 17.00 27.50 39.80 45.00 63.40

1970 19.50 29.00 39.60 51.80 84.40

1971 24.00 42.80 58.40 85.80 143.90

1972 34.20 38.40 64.00 114.00 199.60

1973 28.20 38.00 52.40 86.80 109.40

1974 36.00 47.40 47.40 66.00 70.20

1977 22.40 31.20 34.80 36.60 36.80

1978 31.20 54.60 57.00 72.20 82.00

1979 23.40 37.40 51.20 67.20 93.60

1980 36.20 59.40 72.80 83.20 128.80

1982 34.80 56.20 70.40 104.80 143.20

1983 25.20 57.60 72.40 88.40 104.00

1984 39.00 55.80 64.20 73.80 73.80

1985 19.20 36.00 40.60 54.60 70.60

1986 19.00 35.60 38.40 70.80 127.40

1987 26.40 42.40 42.80 42.80 42.80

A ciascuna serie deve essere adattato il modello probabilistico di Gumbel, caratterizzato da lla seguente

espressione per la CDF: −

ε

a ( x )

e

F (x) = e

X

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

α ε

in cui ed sono parametri da stimare.

La stima dei parametri può essere effettuata attraverso il metodo dei momenti o il metodo della

massima verosimiglianza .

Alla base del primo metodo sta l’ipotesi che i momenti relativi al campione siano la migliore stima dei

corrispondenti momenti della popolazione. Nella tabella 2 sono riportati i valori ottenuti.

Tabella 2 - Parametri stimati con il metodo dei momenti 0

. 577

1 . 645

σ ε µ −

µ

1 ORA α

= s =15.097

x = =26.54

= =33.327 = =0.08 α

σ 2 0

. 577

1 . 645

σ ε

µ µ −

3 ORE α

= s =19.220 = =40.37

x

= =49.016 = =0.07 α

σ 2 0

. 577

1 . 645

σ ε

µ µ −

α

6 ORE = s =29.808 = =48.86

x

= =62.274 = =0.04 α

σ 2 0

. 577

σ 1 . 645 ε

µ µ −

12 ORE = s =39.631 α = =62.09

x

= =79.923 = =0.03 α

σ 2 0

. 577

1 . 645

σ ε µ −

µ

24 ORE α

= s =51.405

x = =78.14

= = 101.270 = =0.02 α

σ 2

Con il metodo della massima verosimiglianza, invece, si assumono come valori dei parametri quelli

che rendono massima la funzione di verosimiglianza, ottenuta come densità di probabilità delle N

osservazioni ind ipendenti del campione. Per la legge di Gumbel il metodo fornisce le seguenti

α ε:

espressioni da cui si ricavano le stime di ed −

α

∑ ˆ x

⋅ i

x e

1 i

= − (6)

x −

α

α ∑ ˆ x

ˆ i

e

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αε −

α

1

$$ $

∑ x

= ⋅ i (7)

e e

n

Tabella 3 - Parametri stimati con il metodo della massima verosimiglianza

α ε

1 ORA =0.1027 = 27.20

α ε

3 ORE =0.0763 = 40.70

α ε

6 ORE =0.0571 = 51.00

α ε

12 ORE =0.0429 = 65.00

α ε

24 ORE =0.0298 = 80.30

Esempio di calcolo dei parametri con il metodo della massima verosimiglianza

Si consideri la serie relativa a t =1 ora.

α

Poiché il parametro compare sia nel termine a destra che in quello a sinistra della (6) è necessario

risolvere l’espressione in maniera iterativa.

Come valori iniziali del parametro si consideri quello stimato con il metodo dei momenti:

α =0.08

1 α

Sostituendo nel termine a destra della (6) si ottiene un nuovo valore per

1

α = =0.116

α

2 ˆ x

⋅ i

x e

i

x −

α

∑ ˆ x

i

e

A questo punto si verifica la condizione di uscita

|α -α |≤ ?

1 2 ∆

In questo esempio si consideri una tolleranza pari a 0.001

Se la condizione è soddisfatta allora la procedura termina, altrimenti si procede alla determinazione di

α

un nuovo valore per lo stimatore nella seguente maniera: α − α

α ⇒ α α + 2 1

se (α < ) =

1 2 3 1 3

α − α

⇒ α α + 1 2

se (α >α ) =

1 2 3 2 3

∆=0.036, α α

Poichè risulta si calcola il nuovo valore per che, essendo (α < ), risulta pari a 0.092.

1 2

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

A questo punto si procede in maniera iterativa fino a quando non risulta soddisfatta la condizione di

uscita fissata. α α

2° iterazione: Si pone = = 0.092

1 3

α ∆=0.0159

= 0.1079 (condizione non soddisfatta)

2

α = 0.0973

3

α α

3° iterazione: = = 0.0973

1 3 α ∆=0.0077

=0.1050 (condizione non soddisfatta)

2

α =0.0998

3

α α

4° iterazione: = = 0.0998

1 3 α ∆=0.0039

=0.1037 (condizione non soddisfatta)

2

α =0.1010

3

α α

5° iterazione: = = 0.101

1 3 α ∆=0.0021

=0.1031 (condizione non soddisfatta)

2

α =0.1016

3

α α

6° iterazione: = = 0.10169

1 3 α ∆=0.001

=0.1027 (condizione soddisfatta)

2

ε α

La stima del parametro si ottiene quindi sostituendo il valore ottenuto per nell’espressione (7)

ε = 27.20

Nelle figure che seguono, per ciascuna delle durate considerate, le CDF teoriche sono confrontate su

cartogramma probabilistico doppio esponenziale (o di Gumbel) con la frequenza cumulata campionaria

(ovvero la probabilità di non superamento) ottenuta tramite la plotting position di Weibull:

i

PP = +

n 1

in cui i indica il rank occupato dal dato nel campione riordinato in maniera crescente.

Il cartogramma probabilistico doppio esponenziale è un diagramma con scala delle ordinate deformata

in modo tale che la funzione di probabilità cumulata di Gumbel sia rappresentata da una retta.

La variabile ridotta considerata in questo caso è:

= − −

y ln( ln( F ( y ))

Y

Poichè deve valere F (y)= F (x), considerando la legge di Gumbel si ha:

Y X

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

α −

ε

− ( x )

y e

e −

F (y) = = F (x) = e

e

Y X

in cui si evidenzia il legame lineare tra X ed Y :

α − ε

y = ( x )

Si procede riportando sulle ordinate i valori delle Y (variabile ridotta) a scala lineare e si determinano i

valori assunti da tale variabile in corrispondenza di assegnati valori di F (y):

Y

F (y)=0.1; 0.2, 0.3; 0.4; 0.5……. 0.998; 0.999

Y

F (y)= F (x) 0.1 0.2 0.3 0.367 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.99 0.995 0.998 0.999

Y X

y -0.834 -0.476 -0.186 0 0.087 0.366 0.672 1.031 1.5 2.25 2.97 4.6 5.296 6.214 6.907

CARTA PROBABILISTICA DI GUMBEL O DOPPIO ESPONENZIALE

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

Massimi annuali delle altezze di precipitazione di durata 1 ora Massimi annuali delle altezza di precipitazione di durata 3 ore

0,995 0,995

0,99 0,99

0,98

0,98 0,95

0,95

0,9 0,9

0,8

0,8

0,7 0,7

0,6 0,6

0,5 0,5

0,4 0,4

0,3 0,3

plotting position Weibull

0,2 0,2 massima verosimiglianza

0,1 0,1

massima verosimiglianza plotting position Weibull

0,05 0,05

metodo dei momenti metodo dei momenti

0,01 0,01

0,001 0,001

0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140

mm di pioggia mm di pioggia

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

Massimi annuali delle altezza di precipitazione di durata 12 ore

Massimi annuali delle altezze di precipitazione di durata 6 ore

0,995 0,995

0,99

0,99

0,98 0,98

0,95

0,95 0,9

0,9

0,8 0,8

0,7

0,7 0,6

0,6 0,5

0,5 0,4

0,4 0,3

0,3 0,2

0,2 massima verosimiglianza massima verosimiglianza

0,1

0,1 plotting position Weibull 0,05

0,05 plotting position Weibull

metodo dei momenti 0,01

0,01 metodo dei momenti

0,001 0 50 100 150 200 250

0 50 100 150 200 mm di pioggia

mm di pioggia Massimi annuali delle altezze di precipitazione di durata 24 ore

0,995

0,99

0,98

0,95

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2 massima verosimiglianza

0,1

0,05 plotting position Weibull

0,01 metodo dei momenti

0,001

0 50 100 150 200 250 300

mm di pioggia

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

A titolo di esempio, alla sola serie dei massimi annuali di precipitazione di durata pari a 12 ore

registrati nella stazione di Riace, è stato adattato il modello probabilistico TCEV, per cui la funzione di

probabilità cumulata e la funzione densità di probabilità sono:

{ }

[ ]

( ) ( ) ( )

θ

= − Λ − θ − Λ Λ − θ θ

1 ∗

F x exp exp x exp x x≥0

∗ ∗

X 1 1 1 1

 

ϑ

Λ Λ Λ

1/

dF ( x )

( ) *

− ϑ − ϑ ϑ

= = + = Ψ

x / x /

 

X 1 * 1

f x F ( x

) e e F ( x

) ( x

)

1 1 *

ϑ ϑ ϑ

X X X *

 

dx 1 * 1

Λ Λ Λ θ

in cui , , e sono i quattro parametri che caratterizzano il modello.

∗ ∗ 1 1

In questo caso sono stati considerati solo il primo ed il secondo livello di regionalizzazione.

θ Λ

Al 1° livello di regionalizzazione per i due parametri di forma del modello, e , si può assumere

∗ ∗

un valore costante all’interno di ampie zone omogenee. Dalle analisi condotte sulle piogge giornaliere

in Calabria per tali parametri sono stati stimati dei valori costanti nell’intera regione e pari a:

Λ = 0.418

*

θ = 2.154

*

E’ stato, inoltre, dimostrato che nel caso della Calabria è lecito assumere invarianti con la durata della

θ Λ

pioggia i valori di e e, pertanto, considerare tali valori anche nel caso di piogge orarie.

∗ ∗

θ Λ

I parametri e possono essere quindi desunti dalla singola serie applicando il metodo della

1 1

massima verosimiglianza.

Si definisca la funzione di verosimiglianza come:

n n n

∑ ∑ ∑

= = + Ψ

ln L ln f ( x ) ln F ( x ) ln ( x )

X i X i * i

= = =

i 1 i 1 i 1

con n numero di valori della singola serie. Le formule risolutive per la stima dei parametri sono le

seguenti (da non imparare a memoria!): − ϑ − ϑ ϑ

ϑ

Λ Λ

x / x /

1/

n n

x e x e

∑ ∑

i 1 * i * 1

+

i * 1 i

∂ Ψ ϑ Λ Ψ

2

ln L ( x ) ( x )

= =

= ⇔ ϑ = i 1 i 1

* i * 1 * i

0 ϑ − ϑ ϑ − ϑ ϑ

∂ ϑ Λ Λ Λ Λ

1 1/ x / 1/ x /

n n n n

e e

∑ ∑ ∑ ∑

* i 1 * i * 1

− ϑ − ϑ ϑ

+ + +

x / x /

1 * 1 * 1

x e x e

i 1 i * 1

ϑ Λ Ψ ϑ Λ Ψ

i i ( x ) ( x )

= = = =

i 1 i 1 i 1 i 1

* 1 * i * 1 * i

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

 

− ϑ ϑ − ϑ ϑ

Λ Λ Λ

x / 1/ x /

n n

e e

∑ ∑

i 1 * i * 1

+

1 * 1

 

ϑ Ψ ϑ Λ Ψ

∂ 2

 

( x ) ( x )

ln L = =

= ⇔ Λ = i 1 i 1

1 * i * 1 * i

0 ϑ

∂Λ Λ Λ

1 1/

n n

∑ ∑

*

− ϑ − ϑ ϑ

+

x / x /

1 * 1

e e

i 1 i * 1

ϑ Λ

= =

i 1 i 1

* 1

Per la serie in esame si ottengono le seguenti stime:

Λ = 26.683

1

θ = 17.078

1 θ Λ

Al 2° livello di regionalizzazione, oltre ai valori costanti dei parametri e nelle zone omogenee,

∗ ∗

all’interno di queste è possibile identificare sottozone omogenee, entro cui si può ritenere costante

Λ

anche il parametro di scala . In totale quindi per questo livello di analisi sono tre i parametri di cui si

1

può assumere a priori un valore regionale. Per la regione Calabria sono state individuate tre sottozone

omogenee: tirrenica, centrale e ionica. Per la sottozona ionica, in cui ricade la stazione di Riace, è stato

stimato: Λ = 10.987

1

Anche in questo caso è possibile considerare alla scala oraria il valore determinato dall’analisi delle

θ

piogge giornaliere. Dalla singola serie viene stimato, quindi, solo il parametro con il metodo della

1

massima verosimiglianza utilizzando l’espressione fornita precedentemente per il livello 1. Per il caso

in esame si ottiene: θ = 22.079

1

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

Massimi annuali delle altezze di precipitazione di durata 12 ore

0,995

0,99

0,98

0,95

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2 massima verosimiglianza

0,1 plotting position Weibull

0,05 metodo dei momenti

TCEV1°LIV

0,01 TCEV2°LIV

0 50 100 150 200 250

mm di pioggia

Come detto, per il calcolo delle curve di probabilità pluviometrica si ci basa sull’interpolazione dei

valori h individuati, per un fissato il periodo di ritorno T, sulla base delle curve di frequenza

t,T.

costruite per le serie storiche dei massimi annuali delle piogge di durata 1, 3, 6, 12, 24 ore.

Per ciascuna durata sono stati, quindi, determinati i valori medi ed i frattili corrispondenti ai periodi di

ritorno fissati (Tab.4), considerando il modello di Gumbel ed i parametri stimati con il metodo della

massima verosimiglianza.


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36

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2017-2018

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Francesko92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Idrologia e costruzioni idrauliche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Basilicata - Unibas o del prof Oliveto Giuseppe.

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