Curve di Probabilità Pluviometrica e di Durata

I

ψ =

J I

• #

• F 9 #

: " : " :

8

9 = #

8 "

" : !

?

=

ψ + 6 66 2 6 '

'

# /N 0

/ 0

C "

) ψ O J

H : 3

) "

! ! !

" M ?

! !

µ σ + ; % '(8 P; ' ,

P P !

∑ µ Q

=

µ =

∑ σ Q

=

σ =

G 7

! 5

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio

SCHEDA DIDATTICA N°5

C

URVE DI PROBABILITÀ PLUVIOMETRICA

A.A. 2004-05

Scheda did attica N°5 – Curve di probabilità pluviometrica Manoscritto soggetto a revisione

CURVE DI PROBABILITÀ PLUVIOMETRICA

Le curve di probabilità pluviometrica esprimono la relazione fra le altezze di precipitazione h e la loro

durata t, per un assegnato valore del periodo di ritorno T. Tale relazione viene spesso indicata anche

come curva di possibilità climatica o, ancora, linea segnalatrice di probabilità pluviometrica (LSPP).

In pratica non ci si limita mai ad una curva sola, ma si considera un fascio di curve, ciascuna delle quali

corrisponde ad un valore diverso del periodo di ritorno. L’altezza di precipitazione h presa in

considerazione è quella massima annuale relativa alla durate in esame.

Diverse formule sono utilizzate per descrivere questa relazione. In Italia viene generalmente utilizzata

una legge di potenza monomia del tipo:

n

h = a t (1)

t,T

dove h = altezza di precipitazione; t = durata della precipitazione; a ed n sono coefficienti che

dipendono dal periodo di ritorno.

Per la determinazione delle suddette curve ci si basa sull’analisi delle curve di frequenza (CDF),

costruite per le serie storiche dei massimi annuali delle piogge di durata 1, 3, 6, 12, 24 ore, adattando a

ciascuna di esse, attraverso la stima dei parametri, un predefinito modello probabilistico (TCEV,

Gumbel, etc.).

Dalle curve di frequenza, fissato il periodo di ritorno T ( tipicamente 10, 20, 50, 100, 200, 1000 anni) e

per ogni durata è possibile, quindi, ricavare il valore h I valori così determinati vengono riportati su

t,T.

un diagramma (h, t) ed interpolati mediante delle curve caratterizzate dalla espressione (1).

La legge di potenza considerata si adotta anche per l’interpolazione dei valori medi dei massimi annuali

di precipitazione di diversa durata.

Per la stima dei parametri a ed n di ciascuna curva conviene considerare la trasformata logaritmica dei

valori delle precipitazioni e delle durate ed applicare il metodo dei minimi quadrati.

Passando ai logaritmi, infatti, la (1) diventa un’espressione lineare:

log h = log a + n log t (2)

10 10 10

Ponendo

Lh = log h ; A = log a ed Lt = log t

10 10 10

si ha:

Lh = A + n Lt (3)

che indica è l’equazione di una retta di intercetta A e coefficiente angolare n.

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Note M coppie di valori (h,t) riferite ad uno stesso periodo di ritorno, i coefficienti A ed n possono

essere determinati approssimando la retta dell’equazione (3) con la retta di interpolazione dei minimi

quadrati.

Tale retta di interpolazione è quella che minimizza la somma dei quadrati delle distanze tra la retta

stessa ed i punti individuati dalle M coppie di valori noti.

I parametri, date le M (in genere 5) coppie di valori noti (log h, log t), possono essere stimati

10 10

attraverso le equazioni normali:

∑ ∑ ∑

−

M ( Lt )( Lh ) Lt Lh

n = (4)

∑ ∑

−

2 2

M Lt ( Lt )

∑ ∑ ∑ ∑

−

2

Lh Lt Lt ( Lt )( Lh

)

A = (5)

∑ ∑

−

2 2

M Lt ( Lt )

Una volta stimati i parametri è possibile entrare nella curva di probabilità pluviometrica caratterizzata

da un certo tempo di ritorno e ricavare l’altezza di pioggia corrispondente a durate differenti da quelle

considerate dal servizio idrografico.

Per durate inferiori all’ora, in genere, si effettua una estrapolazione della curva ottenuta con la

procedura appena descritta; oppure, effettuando elaborazioni analoghe a quelle descritte utilizzando

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anche i dati relativi a durate inferiori ad un’ora è comunque opportuno utilizzare due leggi monomie

caratterizzate da diversi parametri.

Per durate superiore alle 24 ore, invece, si preferisce effettuare delle elaborazioni analoghe a quelle

illustrate sulle base di dati di precipitazione giornaliera (massimi annuali per 1, 2, 3, .. giorni

consecutivi).

Esempio di calcolo delle curve di probabilita’ pluviometrica

Utilizzando le serie storiche dei massimi annuali delle altezze di precipitazione di durata 1, 3, 6, 12, 24

ore registrate nella stazione di Riace, si vogliono costruire le curve di probabilità pluviometrica per i

periodi di ritorno 50, 100, 500 anni, considerando il modello probabilistico di Gumbel.

I dati di partenza, riportati nella tabella 1, sono le serie storiche dei massimi annuali delle altezze di

precipitazione di durata 1, 3, 6, 12, 24 ore registrate nel pluviografo di Riace ricavati dalla Tabella III –

“Precipitazioni di massima intensità registrate ai pluviografi”, nella Parte Prima degli annali idrologici,

sezione Pluviometria.

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Tabella 1 – Massimi annuali registrati nel pluviografo di Riace

ANNO P1ora P3ore P6ore P12ore P24ore

1937 72.00 74.20 74.60 74.60 74.60

1939 21.00 41.00 74.40 99.60 134.50

1940 20.40 31.20 35.80 55.00 87.00

1941 31.00 43.00 62.60 77.20 78.60

1943 40.00 61.00 86.40 157.00 180.00

1944 17.80 32.40 37.00 58.00 77.00

1945 19.20 24.00 33.20 50.60 57.60

1946 29.80 34.00 47.60 69.60 76.80

1947 39.80 64.00 76.00 88.60 126.00

1948 34.00 37.00 49.00 66.00 91.00

1949 37.00 46.00 53.00 75.00 96.60

1950 30.80 50.00 75.60 83.20 114.40

1951 40.00 80.00 140.00 240.00 313.00

1952 19.00 38.00 48.00 51.80 52.00

1954 39.00 46.00 51.00 51.40 57.20

1956 65.40 67.80 69.40 77.00 105.80

1957 52.00 80.80 91.20 102.00 139.60

1958 37.80 59.00 72.40 72.40 73.80

1959 32.00 44.00 58.00 67.60 85.00

1960 34.00 39.40 43.20 51.60 67.40

1962 31.40 38.00 38.80 38.80 38.80

1963 23.80 39.80 49.00 80.40 92.40

1964 90.00 112.00 192.00 200.20 200.80

1965 28.00 28.20 36.60 48.20 67.00

1966 55.40 89.80 90.20 90.80 97.20

1967 40.20 85.20 108.40 120.60 138.00

1968 16.60 32.60 38.20 45.70 58.60

1969 17.00 27.50 39.80 45.00 63.40

1970 19.50 29.00 39.60 51.80 84.40

1971 24.00 42.80 58.40 85.80 143.90

1972 34.20 38.40 64.00 114.00 199.60

1973 28.20 38.00 52.40 86.80 109.40

1974 36.00 47.40 47.40 66.00 70.20

1977 22.40 31.20 34.80 36.60 36.80

1978 31.20 54.60 57.00 72.20 82.00

1979 23.40 37.40 51.20 67.20 93.60

1980 36.20 59.40 72.80 83.20 128.80

1982 34.80 56.20 70.40 104.80 143.20

1983 25.20 57.60 72.40 88.40 104.00

1984 39.00 55.80 64.20 73.80 73.80

1985 19.20 36.00 40.60 54.60 70.60

1986 19.00 35.60 38.40 70.80 127.40

1987 26.40 42.40 42.80 42.80 42.80

A ciascuna serie deve essere adattato il modello probabilistico di Gumbel, caratterizzato da lla seguente

espressione per la CDF: −

ε

a ( x )

−

e

−

F (x) = e

X

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α ε

in cui ed sono parametri da stimare.

La stima dei parametri può essere effettuata attraverso il metodo dei momenti o il metodo della

massima verosimiglianza .

Alla base del primo metodo sta l’ipotesi che i momenti relativi al campione siano la migliore stima dei

corrispondenti momenti della popolazione. Nella tabella 2 sono riportati i valori ottenuti.

Tabella 2 - Parametri stimati con il metodo dei momenti 0

. 577

1 . 645

σ ε µ −

µ

1 ORA α

= s =15.097

x = =26.54

= =33.327 = =0.08 α

σ 2 0

. 577

1 . 645

σ ε

µ µ −

3 ORE α

= s =19.220 = =40.37

x

= =49.016 = =0.07 α

σ 2 0

. 577

1 . 645

σ ε

µ µ −

α

6 ORE = s =29.808 = =48.86

x

= =62.274 = =0.04 α

σ 2 0

. 577

σ 1 . 645 ε

µ µ −

12 ORE = s =39.631 α = =62.09

x

= =79.923 = =0.03 α

σ 2 0

. 577

1 . 645

σ ε µ −

µ

24 ORE α

= s =51.405

x = =78.14

= = 101.270 = =0.02 α

σ 2

Con il metodo della massima verosimiglianza, invece, si assumono come valori dei parametri quelli

che rendono massima la funzione di verosimiglianza, ottenuta come densità di probabilità delle N

osservazioni ind ipendenti del campione. Per la legge di Gumbel il metodo fornisce le seguenti

α ε:

espressioni da cui si ricavano le stime di ed −

α

∑ ˆ x

⋅ i

x e

1 i

= − (6)

x −

α

α ∑ ˆ x

ˆ i

e

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−

αε −

α

1

$$ $

∑ x

= ⋅ i (7)

e e

n

Tabella 3 - Parametri stimati con il metodo della massima verosimiglianza

α ε

1 ORA =0.1027 = 27.20

α ε

3 ORE =0.0763 = 40.70

α ε

6 ORE =0.0571 = 51.00

α ε

12 ORE =0.0429 = 65.00

α ε

24 ORE =0.0298 = 80.30

Esempio di calcolo dei parametri con il metodo della massima verosimiglianza

Si consideri la serie relativa a t =1 ora.

α

Poiché il parametro compare sia nel termine a destra che in quello a sinistra della (6) è necessario

risolvere l’espressione in maniera iterativa.

Come valori iniziali del parametro si consideri quello stimato con il metodo dei momenti:

α =0.08

1 α

Sostituendo nel termine a destra della (6) si ottiene un nuovo valore per

1

α = =0.116

−

α

∑

2 ˆ x

⋅ i

x e

i

−

x −

α

∑ ˆ x

i

e

A questo punto si verifica la condizione di uscita

∆

|α -α |≤ ?

1 2 ∆

In questo esempio si consideri una tolleranza pari a 0.001

Se la condizione è soddisfatta all