Criterio del confronto asintotico

Criterio del confronto assoluto

Se due successioni (a termini positivi): {a_n}, {b_n} sono tali che a_n ≈ b_n, allora la corrispondente serie ha lo stesso comportamento.

Esempio

∑ 1/n² converge.

Considerando il fatto che: 1/n² ≈ 1/n^m+1, potrebbe essere che ∑ 1/n^m+1 converge altrimenti ∑ 1/n² converge.

Ogni serie ∑ 1/n^d con d ≥ 2 converge.

Osservazione in questo caso

1/n³ → 1/n^d ≥ 1/n² → ∑ 1/n² → ∑ 1/n^d.

Così ∑ 1/n³ ≤ ∑ 1/n², allora ∑ 1/n^d converge quindi ∑ 1/n^d con d ≥ 2 converge.

∞_m=1 ∑ 1/m^d converge se d > 1, diverge se d ≤ 1 → Serie armonica generalizzata.

Criterio della radice

Se ∑ α con α termini non negativi, e se esiste il limite lim_m→∞ ∜α_m = L:

• Se L > 1, la serie diverge
• Se L = 1, allora la situazione non conduce a una conclusione certa

Criterio del confronto assoluto

Se due serie con termini positivi _n, _m, sono tali che:

• La convergenza della minore implica la convergenza della maggiore.
• _n ≅ _n+1, potrei dire che ₂ converge allora ₂ converge.
• Q serie ₁ con converge dimostra inutile perché ₇ costn² converge allora ₂ converge → ₁ converge se diverge se la Serie alternata generalizzata.

Criterio della radice

Se _n termini non negativi e se il limite esiste, allora possiamo concludere che:

• Se il limite → converge, allora la serie converge.