Criogenia e Tecnica del Freddo - Prof Silvi - Appunti di Fabio Galizia

Corso di Laurea Magistrale in Tecnica del Freddo e Criogenia

Prof. Chiara Silvi

Appunti di Fabio Galizia

Lezione 1

Exergia parte 1

1. Formulazione dell’equazione dell’exergia per i sistemi aperti

1.1 Sistema e processo

Si considera un sistema termodinamico (porzione di spazio o di materia), delimitato da un contorno, attraverso il quale il sistema scambia con l’esterno massa ed energia. Se il contorno del sistema è impermeabile al flusso di massa il sistema si dice chiuso. In caso contrario il sistema si definisce sistema aperto. In questi appunti ci si riferirà sempre ai sistemi di tipo aperto.

L’insieme delle trasformazioni del sistema e degli scambi di energia e di massa con l’esterno costituisce il processo oggetto di indagine.

Per definire i confini di un sistema aperto si utilizza il concetto di volume di controllo, un volume che racchiude il sistema termodinamico, il cui contorno (superficie di controllo) è attraversato dai flussi di massa e di energia che si verificano durante il processo.

Nell’ipotesi che la superficie di controllo non si deformi, si possono scrivere le equazioni integrali riportate di seguito, valide per il volume di controllo racchiuso al suo interno.

I sistemi chiusi scambiano lavoro tramite deformazione del contorno mentre i sistemi aperti scambiano attraverso sistemi rotanti all’interno del volume di contorno. Nelle equazioni di deformazione non scriveremo i termini di pressione quindi, che sono legati alla deformazione.

1.2 Equazione di continuità o di conservazione della massa

dM ∑ ∑= − & &m m (1.1)
τd in us

dove:

dM = variazione nel tempo della massa del sistema;

τd&m = portata in massa che attraversa il contorno del sistema.

Per un processo stazionario si ha:

∑ ∑= − & &0 m m (1.2)
in us

1.3 1° principio della termodinamica o equazione di conservazione dell’energia

L’equazione è scritta in termini di potenza: tutti i termini sono in Watt. Nel seguito si utilizzeranno talvolta convenzionalmente i termini “lavoro” e “calore” in relazione, rispettivamente, alla potenza meccanica e alla potenza termica o flusso termico. Dal contesto sarà comunque chiaro se le grandezze in oggetto sono espresse in Watt oppure in Joule.

ndE [ ] [ ]∑ ∑ ∑& & & &= + + − + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅& &Q W W W m ( e P v ) m ( e P v ) (1.3)
j el ch
τd =j 0 in us

dove:

1⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 2E = energia totale del sistema = U + M g z + / M w (energia interna + energia 2 potenziale + energia cinetica) [grandezza di stato];

dE = variazione nel tempo dell’energia totale del sistema;

τd&Q = potenza termica scambiata con il j-esimo termostato, >0 se entrante nel sistema, <0 j se uscente dal sistema [grandezza di scambio] (un termostato è una sorgente termica la cui temperatura non varia nel corso del processo);

&W = potenza meccanica netta all’albero scambiata con l’esterno, >0 se compiuto dal sistema, <0 se subito dal sistema (“lavoro all’albero del sistema”) [grandezza di scambio];

⋅ ⋅1 2e = energia totale per unità di massa = u + g z + / w (energia interna + energia 2 potenziale + energia cinetica per unità di massa) [grandezza di stato];

&W el = potenza elettrica netta entrante nel sistema;

&W ch (*) = potenza chimica netta entrante nel sistema.

Sostituendo nella (1.3) l’entalpia massica h = u + p⋅ v si ottiene:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 2ndE w w∑ ∑ ∑& & & &= + + − + ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ +& &( ) ( )Q W W W m h g z m h g z (1.4)
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
j el ch
τ 2 2d ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=j in us
0

Si definisce metalpia dell’unità di massa di un sistema termodinamico la funzione di stato:

2w= + ⋅ +0h h g z (1.5)
2

Sostituendo la (1.5) nella (1.4) si ottiene la seguente espressione:

[ ] [ ]ndE ∑ ∑ ∑& & & &= + + − + ⋅ − ⋅0 0& &Q W W W m h m h (1.6)
j el ch
τd =j in us
0

[ ]⋅ 0&dove il termine m h esprime il flusso di energia legato al flusso di massa attraverso il contorno.

Come si è detto, la (1.6) vale per i sistemi aperti, per cui si ha uno scambio di massa con l’esterno. Per un sistema chiuso &m = 0. In questo caso, la (1.6) continua formalmente a valere, ma il lavoro assume un significato diverso (“lavoro di un sistema chiuso”).

Per un processo stazionario la (1.6) diventa:

Processo: Variazioni delle grandezze termodinamiche del sistema + gli scambi di energia con l'esterno.

(*) Nella (1.3) si utilizza una notazione semplificata per descrivere le variazioni di energia elettrica e chimica del sistema: non compaiono termini relativi alle variazioni dei relativi potenziali nel sistema. Anche il secondo principio si scriverà in modo coerente con questa semplificazione. Le energie sotto forma “elettrica” e “chimica” si considerano così integralmente trasformabili in lavoro; in effetti, l’errore che si commette, per i processi qui considerati, è trascurabile. Il limite principale di questa semplificazione è che non consente di analizzare nel dettaglio le reazioni chimiche, che vengono così assimilate a “scatole nere”. Per quanto riguarda, ad esempio, i fenomeni di ossidazione (con o senza combustione), la (1.3) è compatibile con l’ipotesi che l’energia chimica per unità di massa di una sostanza sia pari al suo potere calorifico (inferiore o superiore, a seconda dei casi) e che sia potenzialmente trasformabile in lavoro in modo completo. Come è noto, infatti, nei processi di combustione, per tener conto dell’eventuale presenza di incombusti nei fumi si introduce un opportuno rendimento.

2[ ] [ ]n∑ ∑ ∑& & & &= + + − + ⋅ − ⋅0 0& &0 Q W W W m h m h (1.7)
j el ch=j in us
0

1.4 2° principio della termodinamica

(scritto in termini di potenza: tutti i termini sono in W/K)

Per un sistema aperto il secondo principio in forma integrale è:

&QndS ∑ ∑ ∑& j= − − ⋅ + ⋅& & (1.8)
S ( m s ) ( m s )GEN τd T=j 0 in us
j

&S La (1.8) esprime il grado di irreversibilità di un processo mediante la funzione ,GEN dipendente dallo stato del sistema, dallo stato delle sorgenti termiche e dagli scambi termici e di massa; i termini che non compaiono nella (1.3) hanno il seguente significato:

&S = entropia generata nel processo per unità di tempo; GEN

dS = variazione nel tempo dell’entropia del sistema [grandezza di stato]; τd

T = temperatura del j-esimo termostato [grandezza di stato]; j

s = entropia per unità di massa [grandezza di stato];

&SQ uindi, la (1.8) afferma che il grado di irreversibilità di un processo è dato dalla GEN &QdS j differenza fra la variazione di entropia del sistema , e i flussi di entropia τ Td j∑ ∑⋅ − ⋅& &(dovuti agli scambi termici con i termostati) e ( m s ) ( m s ) (dovuti ai flussi di massa in us attraverso il contorno). Si noti ancora che lo stato termodinamico dei termostati si esprime mediante la loro temperatura.

&m Per un sistema chiuso la (1.8) vale con = 0.

Le irreversibilità che si manifestano nel corso di un processo sono imputabili a due categorie di fenomeni:

• Fenomeni dissipativi nel sistema termodinamico (attrito, miscelazione, reazioni chimiche); vengono dette irreversibilità interne;
• Scambi termici con le sorgenti in presenza di salti di temperatura non nulli; queste ultime vengono dette irreversibilità esterne.

Per un processo stazionario:

&Qn∑ ∑ ∑& j= − − ⋅ + ⋅& & (1.9)
S ( m s ) ( m s )GEN T=j 0 in us
j

Per un processo reversibile:

&QndS ∑ ∑ ∑j= − − ⋅ + ⋅& &0 ( m s ) ( m s ) (1.10)
τd T=j 0 in us
j

Reversibilità esterne: dovute agli scambi all'esterno del sistema.

Per un processo stazionario e reversibile:

&Qn∑ ∑ ∑j= − − ⋅ + ⋅& & (1.11)
0 ( m s ) ( m s )
T=j 0 in us
j

In generale, le grandezze di interesse nell’analisi energetica non sono tanto le potenze, quanto le energie scambiate nel corso di un processo che si svolge in un determinato intervallo di tempo. Per ottenere, rispettivamente, le energie scambiate (J) e le irreversibilità prodotte (J/K) nel corso di un processo termodinamico si integrano il 1° e il 2° Principio della Termodinamica sull’intervallo di tempo considerato.

Infatti le energie scambiate nel corso di un processo tra l’istante iniziale 0 e l’istante generico τ e l’entropia generata a causa delle irreversibilità sono così definite:

• Valutazione dimensionamento: approccio in termini di potenze

τ∫ &= ⋅ τQ Q d ENERGIA TERMICA: (stabilire la taglia, valutazione 0 potenza massima)

τ∫ &= ⋅ τW W d ENERGIA MECCANICA: (1.12)

• Valutazioni consumi: approccio integrale

0

τ∫ &= ⋅ τS S d ENTROPIA GENERATA: GEN GEN 0

Naturalmente per un processo di tipo stazionario l’integrazione risulta particolarmente semplice: per questo motivo i processi stazionari saranno trattati con le equazioni espresse in termini di potenze.

1.5 Equazione dell’exergia

(scritta in termini di potenza: tutti i termini sono in W)

Si consideri la sommatoria delle potenze termiche scambiate con i termostati che compare nelle equazioni (1.6) e (1.8). Si stabilisce convenzionalmente di indicare con il pedice 0 l’ambiente. Sorgente numero 0 è l'ambiente.

&Q potenza termica scambiata tra il sistema e l’ambiente nella (1.6) e nella Si ricava la 0 (1.8); uguagliando si ottiene l’equazione dell’exergia per i sistemi aperti:

⎛ ⎞ [ ] [ ]( ) ( )Tnd ∑ ∑ ∑⎜ ⎟ & && & &= + − − ⋅ + − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅0 0& &0W W W ( E T S ) 1 Q m h T s m h T s T S⎜ ⎟ 0 0 0el ch j GEN0τd T⎝ ⎠=1j in usj (1.13)

&Si ricorda che W è la potenza meccanica scambiata tra il sistema e l’esterno.

Per un processo reversibile si ha:

⎛ ⎞ [ ] [ ]( ) ( )Tnd ∑ ∑ ∑⎜ ⎟ && & &= + − − ⋅ + − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅0 00 & &W W W ( E T S ) 1 Q m h T s m h T s⎜ ⎟REV el ch 0 0 0jτd T⎝ ⎠=1j in usj (1.14)

&Il termine W REV, il lavoro scambiato nel corso di un processo reversibile, è detto energia disponibile o exergia in gioco nel processo: come si può dedurre dalla (4.14), dipende solo dalla temperatura dell’ambiente e dalle condizioni termodinamiche iniziali e finali del sistema, cioè è una funzione dello stato del sistema e dello stato dell’ambiente con cui il sistema interagisce.

1.6 Teorema di Gouy – Stodola

Sottraendo membro a membro la (1.13) dalla (1.14) si ottiene l’espressione del lavoro perso (lost work) a causa dell’irreversibilità:

&& & &= − = ⋅ ≥ 0W W W T S (1.15)
PERSO REV 0 GEN

La (1.15) costituisce il Teorema di Gouy – Stodola.

Notare che:

• Il Teorema di Gouy – Stodola è totalmente generale; non sono state fatte ipotesi di stazionarietà del processo.
• Tutte le equazioni scritte finora valgono sia per processi diretti (con produzione di lavoro), sia per processi inversi (con assorbimento di lavoro).
• I termini che compaiono nella (1.15) hanno il seguente significato:

&W lavoro scambiato dal sistema con l’esterno nel corso del processo

&W REV lavoro scambiabile dal sistema con l’esterno in assenza di irreversibilità

&W PERSO exergia distrutta nel corso del processo

• Le equazioni scritte fino ad ora valgono per un determinato volume di controllo: tutte le equazioni fin qui illustrate sono pertanto utilizzabili per valutare l’irreversibilità che si determina in una qualsivoglia porzione del sistema.
• Le equazioni di conservazione riguardano grandezze termodinamiche di tipo estensivo: consentono cioè di calcolare quantità additive; in altre parole, è possibile sommare le energie, le exergie, le entropie di sottovolumi di un volume di controllo per ottenere le corrispondenti grandezze riferite al volume complessivo. Questa proprietà risulta molto interessante, in quanto consente di suddividere, ad esempio, un impianto nei suoi componenti, per andare a valutare i singoli contributi alla perdita di lavoro complessivo del sistema.

Coerentemente con le (1.12) si calcola il lavoro perso (in termini di energia, in Joule) nel corso di un processo tra l’istante iniziale 0 e l’istante generico τ:

τ∫ &= ⋅ τW W d (1.16)
PERSO PERSO
0

Integrando la (1.15) si ottiene:

= − = ⋅ ≥ 0W W W T S (1.17)
PERSO REV 0 GEN
&&&

Significato dei termini &W, &W REV, &W PERSO

Il lavoro perso è sempre positivo. La verifica è fornita di seguito.

a. Processi con produzione di lavoro

(work producing systems; processi diretti)

Si considerino i segni dei termini che compaiono nella (1.15):

&& & &= − = ⋅ ≥ 0W W W T S
PERSO REV 0 GEN

Si ha:

&W > 0 lavoro prodotto dal sistema nel processo esaminato

&W REV > 0 lavoro che il sistema potrebbe produrre in assenza di irreversibilità

&& &> WW W quindi PERSO REV > 0 e la (1.15) risulta verificata.

Il segno di uguaglianza, ovviamente, si realizza solo quando il processo è reversibile. Infatti, la differenza è proprio l’exergia distrutta a causa dell’irreversibilità.

b. Processi con assorbimento di lavoro

(work absorbing systems; processi inversi)

In questo caso nella (1.15) si ha:

&W < 0 lavoro che occorre fornire al sistema per realizzare il processo esaminato

&W REV < 0 lavoro che occorrerebbe fornire al sistema in assenza di irreversibilità

&& &< WW W quindi si ha ancora PERSO REV > 0 e la (1.15) risulta nuovamente verificata.

In questo caso il lavoro perso rappresenta la potenza in più che, a causa delle irreversibilità, occorre fornire al sistema per realizzare il processo.

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Prof. Chiara Silvi

Appunti di Fabio Galizia

Lezione 2

Exergia parte 2

2. Analisi dell’equazione dell’exergia

2.1 Equazione dell’exergia per processi stazionari

Come si è detto, l’ipotesi di stazionarietà non è restrittiva per quanto riguarda la validità dell’equazione dell’exergia e del teorema di Gouy – Stodola.

In generale, comunque, si dovranno esaminare processi stazionari che coinvolgono sistemi di tipo aperto, quindi risulta interessante analizzare con maggior attenzione questi processi.

In questo caso la (1.13) diventa:

⎛ ⎞ [ ] [ ]( ) ( )Tn∑ ∑ ∑⎜ ⎟ & && & & ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅= + + − (2.1)0 00 & &W W W 1 Q m h T s m h T s T S⎜ ⎟ 0 0 0el ch j GENT⎝ ⎠=1j in usj

Semplificazioni fatte: energia elettrica integralmente trasformabile in lavoro (abbastanza vero), energia chimica integralmente trasformabile in lavoro (meno vero).

Se il sistema non scambia né energia elettrica, né energia chimica con l’esterno la (2.1) diventa:

⎛ ⎞ [ ] [ ]( ) ( )Tn∑ ∑ ∑⎜ ⎟ & && ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅= − (2.2)0 00 & &W 1 Q m h T s m h T s T S⎜ ⎟ 0 0 0j GENT⎝ ⎠=1j in usj

Per un processo stazionario reversibile:

⎛ ⎞ [ ] [ ]( ) ( )Tn∑ ∑ ∑⎜ ⎟ && & &= + + − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ (2.3)0 00 & &