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A) Comportamento rigido
- Determinare numero e tipo di frequenze proprie e velocità critiche
N - m - V dove N è il numero di radi; in questo caso 1, m è il numero di poli, ossia 3 perché il sistema V è supposto rigido con sola massa concentrata nel volano V - t pari a k perché c’è solo un vincolo che toglie un polo → N - m - V = 4 - 3 - 1 = 2
Avremo 2 frequenze proprie, non smorzate mentre quelle smorzate saranno positive i radi Per le velocità critiche abbiamo una velocità positiva reale e poiché abbiamo un volano, quindi una mossa negativa, una velocità immaginaria
- Determinare la matrice di rigidezza e la matrice della mossa nel caso di velocità critiche
[M] = [M o ] = [M o ] [M] = | M o | | o 1 | -------------------- M / 4 hR - 1 / 2 hR =
K11 - K - K⁄2 = 0 => K11 = 3⁄2K
K12 + K ⋅ a - K ⋅ b⁄2 = 0 =>
K12 = K ⋅ b⁄2 - K ⋅ a =
= K (b⁄2 - a)
K22 - K ⋅ a2 - K ⋅ b2⁄2 = 0 =>
= (K22 - K ⋅ a2 + K b2⁄2)
= K (a2 + b2⁄2)
K21 + K ⋅ a - K ⋅ b⁄2= 0
K21 = K ⋅ b⁄2 - K ⋅ a =
= K (b⁄2 - a)
[K] =
[ 3⁄2K -K(b⁄2 - a) ]
[ K(b⁄2 - a) K(a2 + b2⁄2) ]
3) Determinare la velocità critica
[K] - w2[M] = 0
det ([K] - w2[M]) = 0
det (
[ 3⁄2K -K(b⁄2 - a) ] - w2 [ M 0 ] ) = 0
[ -K(b⁄2 - a) K(a2 + b2⁄2) ] [ 0 1⁄4 MR2 ]
det (
[ 3⁄2K - Mw2 -K(b⁄2 - a) ] ) = 0
[-K(b⁄2 - a) K(a2 + b2⁄2) + 1⁄4 mR2w2]
Ma1a1
M(a2b1)
k(a+b)1
Kf1 + Kf2 = 0
C - Kf1(a+b) = 0
f1 = -f2
f1 = -f2
f1 = -1k(a+b)
f1 = -1k(a+b)
ω12 = Ik(a+b)2
ω22 = 1ω12 + 1ω22
ω22 = 1ω22 + Ik(a+b)2
M(a2b1)k
Per un 3C - 4T
1 Rappresentare qualitativamente i modi
K1 K2 K3
I1 I2 I3 IIV
II modo di vibrare
W₁ = 2,505 1⁴ rad/s
f₂ = 12 ⁰⁰⁰ - 0,001 ω²/12 ⁰⁰⁰ = 12 ⁰⁰⁰ - 0,001 • 2,505 1¹²/12 ⁰⁰⁰ = 0,147
f₃ = 12 ⁰⁰⁰ f₂/12 ⁰⁰⁰ - 0,005 ω² = 12 ⁰⁰⁰ • 0,147/12 ⁰⁰⁰ - 0,005 • 2,505 1¹² = 0,295
{ 1 0,147 -0,295 } => II Modo di VIBRARE
III modo di vibrare
W₂ = 566 7,84 rad/s
f₂ = 12 ⁰⁰⁰ - 0,001 ω²/12 ⁰⁰⁰ = 12 ⁰⁰⁰ - 0,001 • 566 7,84¹²/12 ⁰⁰⁰ = -1,677
f₃ = 12 ⁰⁰⁰ f₂/12 ⁰⁰⁰ - 0,005 ω² = 12 ⁰⁰⁰ • (-1,677)/12 ⁰⁰⁰ - 0,005 • 566 7,84¹² = 0,135
{ 1 -1,677 0,135 } => III Modo di VIBRARE
- Determinare la risposta a regime in presenza di eccitazio ne prodotte da Io e IIo armonica quando la prima armonica ha una pulsazione pari a 2/3 della fondamen tale.
W m = 2/3 W m1 = 2/3 • 2,505,11 = 1,670,07 rad/s
y f = Kf 2π
y L = KL 1 • 2π = KL y f
K = 2 • 2,2π = 2π
W K = K2 Wm => W2 + 1/2 • 1,670 0,07 = 835,04 ra
-41,688 + 2534,183 Θx - 3439,111 Θ3x - 12000 Θ3x = 14
Θ3x = 0,0003474 - 0,211236 Θx
Θ2x = -0,162139 Θ3x
-12904,3 Θx + 55,688 -> Θ3x = -55,688 = -0,004315
12904,3
Θ3x = 0,0003474 - 0,211236 Θx Θ3x = 0,0003474 - 0,211236 (-0,004315) =
0,004385
Θ2x = -0,162139 Θx Θ3x = -0,162139 (-0,004315) = 0,0007
{Θx} {Θ2x} {Θ2y}
- 0,004385
- 0,0007
- -0,004315
Θ2 = √Θ2x2 + Θ2y2
=> Θ2 =
- 0,0007
- -0,004315
tg Ψ = Θy/Θ
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