Costruzioni di macchine 1 lezione

Obiettivi e contenuti del corso

• Progettazione meccanica di strutture

Progettazione strutturale → studio del trasferimento dei carichi per evitare la rottura

• Sintesi → disegno a mano
• Dimensionamento
• Verifica
• Progetto definitivo

Sistema → insieme di sottosistemi che interagiscono tra loro

Sistema

• Sottosist. A ←→ Sottosist. B
• Sottosist. C
• Sottosist. D

Elementi di macchine

• Alberi e assi
• Collegamenti → bullonati, albero/mozzo
• Cuscinetti
• Giunti, innesti
• Freni
• Molle

VETTORI

Utilizzati per la rappresentazione di grandezze fisiche

3 informazioni (una unica scadera)

• AMPIEZZA
• DIREZIONE
• VERSO

Si indica con

• AB, B-A

Tipologie:

• Vettori FISSI → viene fissato il punto di applicazione (origine)
• Vettori SCORREVOLI → il vettore si può applicare lungo una direzione fissata
• Vettori LIBERI → è un segmento orientato libero di muoversi nello spazioè una classe di equivalenza di vettori applicati

Siano AB e CD due segmenti orientati. Diciamo che AB e CD sono vettori equivalenti se si verifica una delle seguenti condizioni:

• Se A coincide con C, risulta che B coincide con D (sovrapposti)
• AB e CD appartengano alla stessa retta e hanno stesso modulo e verso
• AB e CD appartengano a due rette parallele e hanno stesso modulo e verso

Diciamo quindi che due vettori sono equipollenti se hanno modulo, direzione e verso uguali.

COMPONENTI

Espressione analitica:

A = A_x + A_y + A_z → somma di vettori.

         lè singole componenti          variano in base al sistema          di riferimento scelto

A = _dx + _dy + _dz

         le componenti in modulo = proiezioni sui 3 assi,          perderebbe le componenti

ı, ĵ, κ terna di versi perpendicolari tra loro

Nullo: [0,0,0]

F = [F_x, F_y, F_z] F* = [-F_x, -F_y, -F_z]

F₁ + F₂ = F₂ + F₁ F_tot = F_x + f_y + f_z F* = F₁, -F₂

Prodotto scalare

W = F ⋅ r = |F| |r| cosα = F_x x_r + F_y y_r + F_z z_z

F⋅r = r⋅F

Prodotto vettoriale

r = Op - O

Momento della forza F per il braccio r nel punto O

M = r x F = Op x F = Po x F F x Ro

Schematizzazione di una struttura

• Ciò che fa passare i carichi e reagisce di conseguenza

Schemi di calcolo di un organo

F schematizza il gancio

• Linea d'asse
• Schematizza la trave

Dalla struttura reale si passa a un modello semplificato composto da:

• Aperture
• Carichi
• Vincoli

Per identificare i vincoli vengono utilizzati dei codici

Schema di un albero di trasmissione

• Schema geometrico albero linea d'asse (d e L)
• Schema carichi: forze e momenti concentrati

Nel caso limite in cui A'B' è vicino a AB, gli spostamenti sono infinitesimi.

AA' = dA e BB' = dB

Andiamo a definire la cinematica "istantanea" di AB in prossimità della posizione iniziale.

L'angolo dθ ha lo stesso valore sia per lo spostamento di A che di B.

• Questo può essere generalizzato per ogni punto P con spostamento PP'.

Quanto vale questo spostamento?

• dA = 2⋅CA⋅sin(^dθ/₂) ≅ CA⋅dθ
• Approssimazione per rotazioni attorno a CA e non di asse

Nel caso limite dA, dB → 0

• dθ → 0 e ∠CAA' e ∠CBB' → π/2

Siamo in presenza di un centro di istantanea rotazione (CIR).

Nel caso di una traslazione S, ha uno spostamento del vertice uguale in modulo e verso.

Vincoli tra corpi rigidi

Consideriamo ora i vincoli che permettono il collegamento tra due o più aste nel piano.

Se uniamo due aste con un vincolo rigido (incastro interno) otteniamo un sistema che da due corpi rigidi (6 GdL) si è ridotto ad un solo corpo rigido (3 GdL), quindi è stato introdotto un vincolo triplo.

Cerniera interna

GdL = 3n

GdL residui: = n + 2 → 3 GdL + (n-1) GdL

• 2 traslazioni

• 1 rotazione

rotazioni reciproche

GNV = 3n - (n + 2) = 2n - 2 = 2(n-1)

⇒ GdL - GdL residui

Il caso di un snello chiuso comporta la presenza di 3 vincoli

in terni aggiuntivi che possono essere rimossi senza modificare il suo

equilibrio.

3 GoV

LABILITA

La condizione di uguaglianza tra GoL e GoV è una condizione

necessaria ma non sufficiente affinché la struttura sia in equilibrio

anche solo virtuale (ogni possibile mobilità deve essere impedita)

In questi casi sono possibili movimenti macroscopici nonostante

siano strutture isostatiche

1 GoW

vincolo di

manicotto

3 GoW

2 GoW

1 GoW

2 GoW

3 GoW

2 GoW

Il caso più frequente di labilità riguarda però la possibilità di

eseguire movimenti virtuali infinitesimi consentiti dai vincoli

VINCOLO CERNIERA – CARRELLO (mal disposto)

2 GoW

1 GoW

CIR della struttura - non è corpo rigido

Base orizzonte ↔ canalello di - α

- PATTINO: permette solo la traslazione lungo la retta di scorrimento, senza rotazioni.

le reazioni ai vincoli sono costituite da una forza in direzione

perpendicolare alla retta di scorrimento (R_C) e da un momento (M_C)

R_C

M_C

Rissunto: modellizzare la struttura retta in modo schematico

• sostituire i vincoli con le forze/momenti di reazione

VINCOLI INTERNI

• INCASTRO: se separiamo due aste collegate rigidamente, possiamo mettere in evidenza due forze presenti sul punto di separazione (R_X e R_Y) e un momento (M_Z). Nei due spezzoni di asta saranno presenti forze e momenti uguali e contrari.

B

R_Y

M_Z

A

R_X

M_Z

B

R_X R_Y

A

D

B

R_Y

Esempio

GDL = GDN

Struttura isostatica

non labile

• Eq. alla traslazione orizzontale: _RA = 0
• Eq. alla traslazione verticale: _{P - RB} => _RB = P
• Eq. alla rotazione intorno a O: _MA + _P·d = 0 => _MA = -_P·d