Costruzione di macchine - Appunti

A

T 1

= + −

AB T B T A T T

1 2 1 2

O T B O T A

Considero di triangoli: e da cui ricavo:

1 1 2 2

2 2 2 2

= − = −

;

T B R R T A R R

1 e b

1 2 e b 2

1 2

O T C O T C

Considero di triangoli: e da cui ricavo:

1 1 2 2

α

=

T C R sin ( ) α

2 2 p = + = +

T T T C T C R R sin

=>

α 2 1 2 1 1 2 p

=

T C R sin

1 1 p

2 2 2 2 α

= − + − − +

AB R R R R ( R R ) sin

e b e b 1 2 p

1 1 2 2

A è il primo punto del profilo sulla circonferenza di troncatura esterna.

B è l’ultimo punto del profilo sulla

circonferenza di troncatura ϖ

esterna. T

2

A è il primo punto sulla 2

b ϖ

circonferenza di base.

B è l’ultimo punto sulla 1 B B B

b b p

circonferenza di base. C

A è il primo punto sulla

p

circonferenza primitiva. A b

R A A

B è l’ultimo punto sulla p

p b

1

circonferenza primitiva. T

1

=

a A B

Arco di azione ( ): è

p p

l’arco percorso sulla circonferenza

primitiva dal dente dal momento

in cui entra in contatto fino a quando ne esce. Ha uguale lunghezza per entrambe le primitive.

= =

Arco di azione sul cerchio di base ( ): per proprietà dell’evolvente abbiamo che tale

a A B AB

b b b

arco coincide con il segmento d’azione. ∧

Per proprietà dell’evolvente abbiamo che gli angoli (che sottende l’arco d’azione) e

A O B

p 1 p

∧ (che sottende l’arco d’azione sul cerchio di base) sono uguali pertanto :

A O B

b 1 b

∧ ∧ ϕ

= =

A O B A O B

p 1 p b 1 b

ϕ

a R R R 1 a AB

= = = = = =

b

a

=>

ϕ α α α α

a R R R cos cos cos cos

b b b p p p p p

Tale relazione vale anche per i passi, ovvero il passo individuato sulla primitiva e il passo

p

individuato sulla circonferenza di base :

b

ϕ

p R ' R R 1

= = = =

ϕ α α ϖ

p R ' R R cos cos

b b b p p

Passo (p): Distanza tra due profili sinistri (o destri) misurata sulla circonferenza 1

primitiva. p

Passo di base (p ): corrispettivo del passo ma misurato sulla circonferenza di b

b

base. p n

Passo normale (p ): corrispettivo del passo ma misurato sulla retta dei contatto.

n p

=

p p

Per proprietà dell’evolvente abbiamo che: b n

Affinché sia soddisfatto il fenomeno per cui quando una coppia di denti in presa esce dal contatto ce

ne sia già una che è entrata in contatto, occorre che:

= =

p p p

- i passi delle ruote siano uguali: .

1 2 ≥

a p

- l’arco d’azione sia maggiore (o al limite uguale) al passo: . Questo perché vogliamo che

quando una coppia di denti ha raggiunto il punto B ci sia una nuova coppia che ha già raggiunto il

punto A.

Avremo pertanto:

a

ε ε

= ≥ =

1 1

,

1

di norma si assume (questo perché ci deve essere un minimo di gioco, comunque

p

l’importante è che l’arco d’azione non sia inferiore al passo).

Con le relazioni finora ricavate si può scrivere: ϖ 2

ϖ 1 C C’

A’

R A

b

1

MODIFICA

DELL’INTERASSE

Allontanando la ruota 2 l’interasse aumenta. La retta dei contatti si inclina maggiormente e il nuovo

centro di istantanea rotazione C’ è spostato più a destra rispetto a quello vecchio. La primitiva e la

circonferenza di troncatura esterna della ruota 2 si sono spostate anch’esse verso destra, causando lo

spostamento del punto A. Il tratto di profilo a contatto si è ridotto ma il meccanismo funziona

ancora perfettamente.

Il raggio primitivo della ruota 1 è aumentato perché C si è spostato verso destra. Dunque

anche il passo è aumentato (perché il passo abbiamo detto che è misurato lungo la R '

primitiva). R

Il raggio di base non può cambiare perché è un parametro costruttivo.

L’angolo di pressione diminuisce infatti:

α

=

R R cos +

R R int erasse p p’

1 b p α = =

1 1 2

cos

=> p + +

α

= R R R R

R R cos R

b b b b

1 2 1 2

2 b p

2 b

Poiché l’interasse aumenta il coseno dell’angolo diminuisce, quindi:

AB

ε = dove ↑

p

α

⋅

p cos p α α

↑ ↓

=> cos

p p

ε =

Pertanto complessivamente si ha costante.

COLLEGABILITA’ DELLE RUOTE

I profili ad evolvente con lo stesso passo sono tutti collegabili tra loro, (ovviamente però occorre

che le due ruote abbiano denti di dimensioni proporzionate, non posso far fisicamente entrare dei

denti grossi con dei dentini minuscoli, pertanto non si richiede passo uguale ma modulo uguale

come vedremo in seguito), qualunque sia il numero di denti, infatti:

π

2 R =

b p

1

π = b

2 R z p 1 π π

z 2 R 2 R

b 1 b

1 1 =

1 b b

1 2

=> =>

π

π = z z

2 R

2 R z p = 1 2

b

b 2 b p

2

2 2 b 2

z 2

Affinché sia verificato che i passi siano uguali si può mettere qualsiasi numero di denti perché è

sufficiente modificare i diametri.

MODIFICA DELLE DIMENSIONI DI UNA RUOTA

Se, ad esempio, la ruota 2 avesse una circonferenza di base maggiore, la retta dei contatti

risulterebbe meno inclinata. Da ciò si vedrebbe che andando verso ruote crescenti il profilo ad

evolvente si appiattisce risultando sempre meno curvo. Nella condizione limite avremo la dentiera,

caratterizzata da denti con profilo trapezoidale. Nella dentiera il passo è costante

qualunque circonferenza consideri.

MODIFICA DEL VERSO DI ROTAZIONE

Se il verso cambia la ruota motrice non spinge più la ruota

condotta ma la trascina, affinché questo non si verifichi

occorre disegnare l’evolvente facendo riferimento alla retta

dei contatti opposta. Nuova retta dei contatti

ε

MODIFICA DEL PARAMETRO Andamento delle

ε = pressioni sul dente

Supponiamo di prendere un parametro , il che

1

,

3

significa che il raggio d’azione è lungo 30% in più

( )

= = +

rispetto al passo . In una

a 1 . 3 p p 30 % p A B

condizione di questo tipo accade che in alcuni tratti

della retta dei contatti avremo una sola coppia di denti Due coppie Due coppie

in presa mentre in altri tratti avremo due coppie di denti di denti in di denti in

Una coppia di denti in presa

presa presa

in presa. La situazione sul segmento di contatto è quella

indicata. 0,3 0,7 0,3

FORZE SCAMBIATE TRA I DENTI C C

= ⋅ M R

C N R

M b

1

= ⋅ ϖ

C N R ϖ

R b 2 2

N

La forza N è perpendicolare al 1

profilo del dente, è applicata nel

punto di contatto e giace sulla retta

dei contatti.

COME TRACCIARE L’EVOLVENTE Dalla figura si vede che per ogni raggio “r” abbiamo un

P

r’ P’’ punto “P” sull’evolvente. ϕ

Si vede anche che per ogni angolo “ ” abbiamo un valore

r’’ P’ del raggio “r” ; pertanto si può dire che il profilo è

P ϕ descritto dalla funzione:

' '

b ϕ ϕ

T = (r )

α

ϕ ' Tale funzione però non può essere ricavata, pertanto

r occorre ricorrere ad un parametro intermedio.

b Intanto si vede per proprietà dell’evolvente che

.

=

P T PT

b ( )

α ϕ

= +

P T R

b b

Dalla figura si ha che: α

= ⋅

PT R tg

b

Da cui:

ϕ α α α

= − =

tg ev ( ) s

R s

0

= b

r r

α

cos 0

r

COME RICAVARE IL DENTE COMPRESO DELLO

SPESSORE s 0

s

L’angolo che sottende è:

0 r

0

s

s

L’angolo che sottende è: r

s

s ( )

ϕ ϕ

= + −

0 2

Pertanto: 0

r r

0

s

s ( )

α α

= + −

0 2 ev ( ) ev ( )

0

r r

0 R

α = b

arccos r

R

α = b

arccos

0 r

0

ACCOPPIAMENTO CON O SENZA GIOCO TRA I DENTI

C C

M M

ϖ ϖ

2 2

ϖ ϖ s

1 1 1 e

2

Accoppiamento senza gioco: il dente di una ruota è a contatto con entrambi i profili dei denti della

ruota con cui è accoppiato. Si ha che:

= +

p s e

1 1 1

= = +

s e p s s

1 2 1 2

= +

p s e

=> =>

2 2 2

= = +

s e p e e

2 1 1 2

= =

p p p

1 2

Se allontano le due ruote aumenta l’interasse e quindi aumentano anche le circonferenze primitive

dalla relazione:

= +

I R R

1 2

Il passo aumenta (perché è misurato proprio sulla primitiva), pertanto si ottiene:

> +

p s s

1 2

> +

p e e

1 2

Perché nel frattempo lo spessore dei vani calcolato sulle nuove primitive si riduce (lo spessore del

dente infatti diminuisce andando verso la punta del dente stesso).

Per semplicità considereremo un accoppiamento senza gioco.

α =

R cos R +

R R

1 p b

1 = b b

I 1 2

=> α

α = cos

R cos R p

2 p b 2

I raggi di base sono una grandezza costruttiva, pertanto una volta costruita la ruota non posso più

cambiarli, le circonferenze primitive, al contrario sono grandezze cinematiche e dipendono dalla

condizione di esercizio delle ruote. Ad esempio se ho un applicazione in temperatura non posso

progettare un accoppiamento senza gioco a freddo perché poi avrei dilatazione termica e rischio di

rompere tutto. α

Se l’interasse I aumenta, cresce anche l’angolo di pressione .

p

Se volessi montare con un leggero gioco potrei ipotizzare un interasse pari a:

= + ∆

I * I I

Da questo interasse mi ricavo il nuovo angolo di pressione:

+

R R

= b b

I * 1 2

α

cos *

p

Con questo angolo di pressione ricavo i nuovi raggi primitivi:

α

=

R * R / cos

1 b p

1 α

=

R * R / cos

2 b p

2

LE RUOTE UNIFICATE

L’unificazione è stabilita rispetto alla ruota più semplice, cioè la dentiera. Il profilo del dente è

=

s e