Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

= =

Arco di azione sul cerchio di base ( ): per proprietà dell’evolvente abbiamo che tale

a A B AB

b b b

arco coincide con il segmento d’azione. ∧

Per proprietà dell’evolvente abbiamo che gli angoli (che sottende l’arco d’azione) e

A O B

p 1 p

∧ (che sottende l’arco d’azione sul cerchio di base) sono uguali pertanto :

A O B

b 1 b

∧ ∧ ϕ

= =

A O B A O B

p 1 p b 1 b

ϕ

a R R R 1 a AB

= = = = = =

b

a

=>

ϕ α α α α

a R R R cos cos cos cos

b b b p p p p p

Tale relazione vale anche per i passi, ovvero il passo individuato sulla primitiva e il passo

p

individuato sulla circonferenza di base :

b

ϕ

p R ' R R 1

= = = =

ϕ α α ϖ

p R ' R R cos cos

b b b p p

Passo (p): Distanza tra due profili sinistri (o destri) misurata sulla circonferenza 1

primitiva. p

Passo di base (p ): corrispettivo del passo ma misurato sulla circonferenza di b

b

base. p n

Passo normale (p ): corrispettivo del passo ma misurato sulla retta dei contatto.

n p

=

p p

Per proprietà dell’evolvente abbiamo che: b n

Affinché sia soddisfatto il fenomeno per cui quando una coppia di denti in presa esce dal contatto ce

ne sia già una che è entrata in contatto, occorre che:

= =

p p p

- i passi delle ruote siano uguali: .

1 2 ≥

a p

- l’arco d’azione sia maggiore (o al limite uguale) al passo: . Questo perché vogliamo che

quando una coppia di denti ha raggiunto il punto B ci sia una nuova coppia che ha già raggiunto il

punto A.

Avremo pertanto:

a

ε ε

= ≥ =

1 1

,

1

di norma si assume (questo perché ci deve essere un minimo di gioco, comunque

p

l’importante è che l’arco d’azione non sia inferiore al passo).

Con le relazioni finora ricavate si può scrivere: ϖ 2

ϖ 1 C C’

A’

R A

b

1

MODIFICA

DELL’INTERASSE

Allontanando la ruota 2 l’interasse aumenta. La retta dei contatti si inclina maggiormente e il nuovo

centro di istantanea rotazione C’ è spostato più a destra rispetto a quello vecchio. La primitiva e la

circonferenza di troncatura esterna della ruota 2 si sono spostate anch’esse verso destra, causando lo

spostamento del punto A. Il tratto di profilo a contatto si è ridotto ma il meccanismo funziona

ancora perfettamente.

Il raggio primitivo della ruota 1 è aumentato perché C si è spostato verso destra. Dunque

anche il passo è aumentato (perché il passo abbiamo detto che è misurato lungo la R '

primitiva). R

Il raggio di base non può cambiare perché è un parametro costruttivo.

L’angolo di pressione diminuisce infatti:

α

=

R R cos +

R R int erasse p p’

1 b p α = =

1 1 2

cos

=> p + +

α

= R R R R

R R cos R

b b b b

1 2 1 2

2 b p

2 b

Poiché l’interasse aumenta il coseno dell’angolo diminuisce, quindi:

AB

ε = dove ↑

p

α

p cos p α α

↑ ↓

=> cos

p p

ε =

Pertanto complessivamente si ha costante.

COLLEGABILITA’ DELLE RUOTE

I profili ad evolvente con lo stesso passo sono tutti collegabili tra loro, (ovviamente però occorre

che le due ruote abbiano denti di dimensioni proporzionate, non posso far fisicamente entrare dei

denti grossi con dei dentini minuscoli, pertanto non si richiede passo uguale ma modulo uguale

come vedremo in seguito), qualunque sia il numero di denti, infatti:

π

2 R =

b p

1

π = b

2 R z p 1 π π

z 2 R 2 R

b 1 b

1 1 =

1 b b

1 2

=> =>

π

π = z z

2 R

2 R z p = 1 2

b

b 2 b p

2

2 2 b 2

z 2

Affinché sia verificato che i passi siano uguali si può mettere qualsiasi numero di denti perché è

sufficiente modificare i diametri.

MODIFICA DELLE DIMENSIONI DI UNA RUOTA

Se, ad esempio, la ruota 2 avesse una circonferenza di base maggiore, la retta dei contatti

risulterebbe meno inclinata. Da ciò si vedrebbe che andando verso ruote crescenti il profilo ad

evolvente si appiattisce risultando sempre meno curvo. Nella condizione limite avremo la dentiera,

caratterizzata da denti con profilo trapezoidale. Nella dentiera il passo è costante

qualunque circonferenza consideri.

MODIFICA DEL VERSO DI ROTAZIONE

Se il verso cambia la ruota motrice non spinge più la ruota

condotta ma la trascina, affinché questo non si verifichi

occorre disegnare l’evolvente facendo riferimento alla retta

dei contatti opposta. Nuova retta dei contatti

ε

MODIFICA DEL PARAMETRO Andamento delle

ε = pressioni sul dente

Supponiamo di prendere un parametro , il che

1

,

3

significa che il raggio d’azione è lungo 30% in più

( )

= = +

rispetto al passo . In una

a 1 . 3 p p 30 % p A B

condizione di questo tipo accade che in alcuni tratti

della retta dei contatti avremo una sola coppia di denti Due coppie Due coppie

in presa mentre in altri tratti avremo due coppie di denti di denti in di denti in

Una coppia di denti in presa

presa presa

in presa. La situazione sul segmento di contatto è quella

indicata. 0,3 0,7 0,3

FORZE SCAMBIATE TRA I DENTI C C

= ⋅ M R

C N R

M b

1

= ⋅ ϖ

C N R ϖ

R b 2 2

N

La forza N è perpendicolare al 1

profilo del dente, è applicata nel

punto di contatto e giace sulla retta

dei contatti.

COME TRACCIARE L’EVOLVENTE Dalla figura si vede che per ogni raggio “r” abbiamo un

P

r’ P’’ punto “P” sull’evolvente. ϕ

Si vede anche che per ogni angolo “ ” abbiamo un valore

r’’ P’ del raggio “r” ; pertanto si può dire che il profilo è

P ϕ descritto dalla funzione:

' '

b ϕ ϕ

T = (r )

α

ϕ ' Tale funzione però non può essere ricavata, pertanto

r occorre ricorrere ad un parametro intermedio.

b Intanto si vede per proprietà dell’evolvente che

.

=

P T PT

b ( )

α ϕ

= +

P T R

b b

Dalla figura si ha che: α

= ⋅

PT R tg

b

Da cui:

ϕ α α α

= − =

tg ev ( ) s

R s

0

= b

r r

α

cos 0

r

COME RICAVARE IL DENTE COMPRESO DELLO

SPESSORE s 0

s

L’angolo che sottende è:

0 r

0

s

s

L’angolo che sottende è: r

s

s ( )

ϕ ϕ

= + −

0 2

Pertanto: 0

r r

0

s

s ( )

α α

= + −

0 2 ev ( ) ev ( )

0

r r

0 R

α = b

arccos r

R

α = b

arccos

0 r

0

ACCOPPIAMENTO CON O SENZA GIOCO TRA I DENTI

C C

M M

ϖ ϖ

2 2

ϖ ϖ s

1 1 1 e

2

Accoppiamento senza gioco: il dente di una ruota è a contatto con entrambi i profili dei denti della

ruota con cui è accoppiato. Si ha che:

= +

p s e

1 1 1

= = +

s e p s s

1 2 1 2

= +

p s e

=> =>

2 2 2

= = +

s e p e e

2 1 1 2

= =

p p p

1 2

Se allontano le due ruote aumenta l’interasse e quindi aumentano anche le circonferenze primitive

dalla relazione:

= +

I R R

1 2

Il passo aumenta (perché è misurato proprio sulla primitiva), pertanto si ottiene:

> +

p s s

1 2

> +

p e e

1 2

Perché nel frattempo lo spessore dei vani calcolato sulle nuove primitive si riduce (lo spessore del

dente infatti diminuisce andando verso la punta del dente stesso).

Per semplicità considereremo un accoppiamento senza gioco.

α =

R cos R +

R R

1 p b

1 = b b

I 1 2

=> α

α = cos

R cos R p

2 p b 2

I raggi di base sono una grandezza costruttiva, pertanto una volta costruita la ruota non posso più

cambiarli, le circonferenze primitive, al contrario sono grandezze cinematiche e dipendono dalla

condizione di esercizio delle ruote. Ad esempio se ho un applicazione in temperatura non posso

progettare un accoppiamento senza gioco a freddo perché poi avrei dilatazione termica e rischio di

rompere tutto. α

Se l’interasse I aumenta, cresce anche l’angolo di pressione .

p

Se volessi montare con un leggero gioco potrei ipotizzare un interasse pari a:

= + ∆

I * I I

Da questo interasse mi ricavo il nuovo angolo di pressione:

+

R R

= b b

I * 1 2

α

cos *

p

Con questo angolo di pressione ricavo i nuovi raggi primitivi:

α

=

R * R / cos

1 b p

1 α

=

R * R / cos

2 b p

2

LE RUOTE UNIFICATE

L’unificazione è stabilita rispetto alla ruota più semplice, cioè la dentiera. Il profilo del dente è

=

s e

rettilineo. La primitiva è una retta sulla quale si ha . La normativa non prevede uno smusso

0 0 m

in testa. Da normativa sono forniti il modulo e

0

α α

e h l’angolo di pressione . Da ciò si ricava

0

0 0 a . Si noti che nella dentiera il

π

s = ⋅ = =

p m 2 e 2 s

0 0 0 0

h

0 passo è costante qualunque retta io usi per misurarlo.

d

=

addendum : h m

a 0

Si ha inoltre = ⋅

dedendum : h 1

. 25 m

d 0

L’ultima informazione fondamentale è il numero di denti, infatti con essi posso ricavare il raggio

della circonferenza primitiva:

zm

π =

= 0

R

zp 2 R =>

0 0 0 2

Mediante addendum e dedendum posso ricavare i raggi di testa e di fondo e grazie all’angolo di

pressione ricavo il raggio del cerchio di base. Insomma mediante questi tre dati ho tutto ciò che

occorre per determinare la ruota.

TAGLIO DELLE RUOTE DENTATE

Mediante fresa di forma. Il dente della fresa ha la forma

del vano della ruota dentata da realizzare. Fatto il vano, il

pezzo è ruotato di un passo, l’operazione viene ripetuta z

volte. Tale processo è lungo perché ho molti tempi morti

inoltre l’utensile deve avere una forma a evolvente

(pertanto devo usare una fresa unificata), inoltre se voglio

modificare il numero di denti mantenendo lo stesso passo

e angolo di pressione devo cambiare la fresa. Esistono

però delle tolleranze sul profilo ad evolvente, cioè si

definisce un range di profili che permette di eseguire con

la stessa fresa

ruote con una

> m

p / 2 certa escursione di numeri di denti (es. 20-21-22;

0

0 p / 2 30-31-32; ecc…).

1

, 25 m

0 Esistono anche lavorazioni mediante elettroerosione a

0

V filo ma sono ancora più lente.

Nel taglio per inviluppo invece non ho questi

problemi. Un profilo ad evolvente è l’insieme

ϖ (inviluppo) di punti successivi del profilo con cui si

R R

0 a

accoppia. Se la ruota 2 mangiasse tutto quello che incontra, il suo profilo sinistro ricaverebbe il

profilo sinistro della ruota1.

L’utensile è una ruota dentata, essa deve generare per inviluppo

una ruota unificata. Esso deve essere il negativo della ruota da

realizzare (addendum e dedendum sono inversi). Non deve tagliare

la testa della ruota perché è già stabilita dal grezzo di

partenza. Il dedendum dell’utensile deve essere maggiore del

modulo così da non andare a toccare il diametro di testa.

Esiste poi il coltello FELLOW, dove l’utensile è una ruota normale ma i cui denti sono utensili con

un certo angolo di spoglia frontale e dorsale. Quello dorsale c’è sempre per evitare vibrazioni.

Un CREATORE si basa sulla vite senza fine. La sezione ha la forma di una dentiera e si praticano

dei tagli assiali, in cui i denti sono in pratica degli utensili. Il creatore deve entrare nella ruota con

una certa gradualità pertanto si fanno più passate.

La velocità di scorrimento della dentiera si sceglie nel modo seguente:

V zm

= =

R 0

ϖ 0 2 = +

R R m

Il raggio del grezzo di partenza sarà .

a 0 0

La dentiera deve scendere per penetrare nel grezzo, generalmente la si fa scendere lateralemente e

poi a si fa entrare gradualmente. La dentiera scende scavando il grezzo fino a quando la sua retta

primitiva non corrisponde con la primitiva della ruota. Si ha allora un accoppiamento senza gioco

pertanto lo spessore del dente della ruota che genero è uguale allo spessore del vano tra dente e

dente dell’utensile.

Se avessi voluto generare una ruota con numero di denti diverso avrei dovuto semplicemente

cambiare il diametro del grezzo iniziale e la velocità di rotazione. z , z

Supponiamo di generare con il medesimo utensile due ruote con denti , avremo:

1 2

z m z m

= =

1 0

R R 2 0 e

1 2 2

2 0

= =

m m m m

1 0 2 0

= =

p p p p

1 0 2 0

α α α α

= =

1 0 2 0

α α

= =

R R cos R R cos

b 1 1 b 2 2

1 2

= = = =

e s p / 2 e s p / 2

1 0 0 2 0 0

= = = =

s e p / 2 s e p / 2

1 0 0 2 0 0

= = = =

h h 1

, 25

m h h 1

, 25

m

d a 0 d a 0

1 0 2 0

= = = =

h h m h h m

a d 0 a d 0

1 0 2 0

= − = −

R R h R R h

f 1 d f 2 d Si può notare come lo spessore del dente

1 2

1 2 dell’utensile abbia la stessa lunghezza del vano

= + = +

R R h R R h

a 1 a a 2 a

1 1 2 2 tra dente e dente ella ruota

R , R

Avendo assunto come primitiva proprio è

1 2

+ =

s s p

rispettata la relazione: 1 2 z , z

Supponiamo ora di prendere due ruote ma di

1 2 R

affondare un po’ meno, ovvero ingrandire le primitive di una 0

quantità b differente per le due ruote che dipende dai fattori +

R b

x , x : 0

1 2

z m z m

= =

1 0

R R α α

2 0 = + ⋅ = − ⋅

e e 2

b tg s s 2

b tg

1 2 2

2 0 0 0 0

Dove

= =

m m m m

1 0 2 0

= =

p p p p

1 0 2 0

α α α α

= =

1 0 2 0

α α

= =

R R cos R R cos

b 1 1 b 2 2

1 2

α α

= = − ⋅ = = − ⋅

e s s 2 x m tg e s s 2 x m tg

1 0 1 0 0 2 0 2 0 0

α α

= = + ⋅ = = + ⋅

s e e 2 x m tg s e e 2 x m tg

1 0 1 0 0 2 0 2 0 0

= = − = = −

h h 1

, 25 m b h h 1

, 25 m b

d a 0 d a 0

1 2

= − = −

R R h R R h

f 1 d f 2 d

1 2

1 2

= − = −

h R R h R R

a a 1 a a 2

1 1 2 2 + =

s s p

Questa volta non è più verificata la relazione , infatti:

1 2

α α

+ = + ⋅ + + ⋅

s s e 2

b tg e 2

b tg

1 2 0 0 0 0

p p

α α

+ = + ⋅ + + ⋅

s s 2 x m tg 2 x m tg

0 0

1 2 1 0 0 2 0 0

2 2

α

+ = + ⋅ +

s s p 2 m tg ( x x )

1 2 0 0 0 1 2 = =

x x 0

Tale relazione pertanto verificata solo se (ma torniamo al caso precedente) oppure se

1 2

= −

x x . Per questi due casi non vi sono problemi.

1 2 ≠ −

x x

Un caso più complesso da studiare è quando 1 2 α

=

R r cos

b

s s

Ricordiamo le relazioni che descrivono il profilo ad evolvente: ( )

α α

= + −

0 2 ev ev

0

r r

0

 

s ( )

α α

= + −

0

s r 2 ev ev

1

 

1 1 0

r

 

0

1

Con esse era possibile, dato un raggio qualunque r, ottenere s:  

s ( )

α α

= + −

0

s r 2 ev ev

2

 

2 2 0

r

 

0 2

+ =

s s p

Impongo che :

1 2

   

s s

( ) ( )

α α α α

+ − + + − =

0 0

r 2 ev ev r 2 ev ev p

1 2

   

1 0 2 0

r r

   

0 0

1 2

   

s s

z m z m

( ) ( )

α α α α π

+ − + + − =

0 0

1 0 2 0

2 ev ev 2 ev ev m

1 2

   

0 0 0

2 r 2 r

   

0 0

1 2

π π

   

m m

α α

+ +

0 0

2 x m tg 2 x m tg

   

z z

1 0 0 2 0 0

( ) ( )

2 2

α α α α π

+ − + + − =

1 2

2 ev ev 2 ev ev

   

0 0

z m z m

2 2

   

1 0 2 0

   

2 2

π π

   

( ) ( )

α α α α α α π

+ + − + + + − =

2 x tg z ev ev 2 x tg z ev ev

   

1 0 1 0 2 0 2 0

2 2

( ) α

+

2 x x tg

α α

= +

1 2 0

ev ev

( ) 0

+

z z

1 2 α

Con questa relazione è possibile ricavare da cui ricavo le primitive e dunque l’interasse.

( )

α

=

R R / cos +

R R

1 b

1 = + = b b

I R R 1 2

=>

α

= 1 2 α

R R / cos cos

2 b 2

VANTAGGI DEI PROFILI SPOSTATI

Dalla figura a destra si vede che se minore è il

numero di denti di una ruota e minore è lo spessore

alla base di ogni dente. Dunque in una trasmissione

la ruota più critica è quella più piccola (dove i denti

hanno meno superficie resistente. Per ovviare il

problema si può aumentare il modulo ma questo

non conviene quasi mai perché si rischia di avere un

meccanismo troppo grosso e talvolta anche troppo

costoso. Si decide allora di ricorrere ai profili

spostati che permettono, con il medesimo modulo di

aumentare lo spessore dei denti (come abbiamo

visto) senza ingrandire la ruota e mantenendo il

rapporto di trasmissione. Ciò è possibile scegliendo

x , x

opportunamente i parametri .

1 2

STRISCIAMENTO A

Abbiamo due superfici a contatto in moto relativo tra loro. Dopo un certo tempo il punto si

1

porta in e si porta in tale per cui abbiamo i percorsi:

B A B

1 2 2

A B

1 1 =

s A B

1 1 1

A B =

s A B

2 2 2 2 2

=

s s

Se abbiamo rotolamento puro

1 2

s s

Se abbiamo strisciamento relativo

1 2 −

s s

=

k 1 2

1 s

1

Possiamo definire inoltre gli strisciamenti relativi specifici: −

s s

=

k 1 2

2 s 2

Rullo che striscia senza rotolare (brusca frenata): = ∞

=

s 0 k

1 => 1 =

= k 1

s A B 2

2 2 2

La situazione è critica per il rullo

A B perché lo strisciamento è subito

1 1 tutto da un solo punto.

A A B

2 2 2

Rullo che rotola senza avanzare (brusca accelerazione): =

k 1

=

s A B => 1

1 1 1 = ∞

= k

s 0 2

2

La situazione è critica per il piano

A B A perché lo strisciamento è subito

1 1 1 tutto da un solo punto.

A B

2 2

v P

1 Consideriamo il punto P (punto generico di contatto

v tra i profili che giace sulla retta dei contatti). In esso

T

v P 2 2

1

t indichiamo la velocità relativa che ha direzione

v β

O ortogonale al raggio e modulo pari a :

O P

1 n

P 1

1 2 (rispetto alla ruota 1).

ϖ

=

v O P

β

β p 1 1

1

Essa è scomponibile nella componente lungo la retta

1

T 1 v

dei contatti (dunque ortogonale al profilo) e

1

β 1

n v

2 nella componente tangenziale al profilo .

1

t

=

s v dt

Lo spostamento del punto P lungo il profilo del dente della ruota 1 di sinistra vale: 1 1

t

β ϖ β ϖ

= = =

v v sin O P sin T P

1 1 1 1 1 1 1 1

t =

s v dt

Lo spostamento del punto P lungo il profilo del dente della ruota 2 di destra vale: 2 2 t

β ϖ β ϖ

= = =

v v sin O P sin T P

2 2 2 2 2 2 2 2

t − − ϖ ϖ ϖ α ϖ α

− − −

v dt v dt v v

s s T P T P R sen R sen

= = = = =

1 2 1 2

1 2 t t t t 1 1 2 2 1 1 2 2

k

1 ϖ α

ϖ

s v dt v R sen

T P

1 1 1 1 1

1 1

t t

K 2

K T

1 2

C

T

1 − − ϖ ϖ ϖ α ϖ α

− − −

v dt v dt v v

s s T P T P R sen R sen

= = = = =

1 2 1 2

1 2 t t t t 1 1 2 2 1 1 2 2

k 2 ϖ α

ϖ

s v dt v R sen

T P

2 2 2 2 2

2 2

t t

L’andamento è in realtà delimitato sulla retta dei contatti. Si nota che il K è maggiore nel caso della

ruota pù piccola che è pertanto quella soggetta a maggiore usura.

INTERFERENZA

Si tratta di un fenomeno che si verifica quando nel punto di contatto tra due profili non si ha

coincidenza delle tangenti; in tale condizione si ha un contatto irregolare ed una compenetrazione

tra i profili stessi. Nell'analisi dell'ingranamento di due profili ad evolvente di cerchio si è

individuato un segmento T T in cui avvengono tutti i contatti regolari; il problema da considerare

1 2

ora è se al di fuori di questo campo possano esistere fisicamente dei contatti tra i denti oppure no.

La condizione da imporre per non avere interferenza è

che la linea di troncatura esterna della dentiera passi

per il punto T .

1

Indicando con H la proiezione di T sulla retta OC in

1

condizioni limite di non interferenza si ha:

= − = − = −

CH m b m xm m (

1 x )

0 0 0 0

Si ha dalla figura che:

Dunque: m z α

− = 2

m (

1 x ) sin

0 1

0 2

2

= −

z (

1 x )

α

1 2

sin

Che è il numero minimo di denti della ruota 1 per il quale non si ha interferenza. Se le ruote non

sono a profili spostati si ha x = 0 e dunque il numero minimo di denti aumenta:

2

=

z α

1 2

sin

TEORIA DI LEWIS

Si considera il dente come una mensola incastrata al quale è applicata una forza in punta al dente

stesso lungo la retta dei contatti pari a F, si considera una sola coppia di denti in presa.

γ

=

W F cos

Di tale forza si considera solo la componente che esercita flessione .

γ α

Poiché si suppone che (approssimazione cautelativa) si ottiene che tale componente di forza

γ α

= ≅ =

W F cos F cos F

coincide con la sola forza tangenziale .

t

Avendo considerato la sola componente responsabile della flessione ora teniamo conto della

tensione nata dalla sola flessione:

F F x

σ = =

t t

⋅ 2

b s ( x )

w f 6

x è l’altezza variabile del dente

s è lo spessore in funzione dell’altezza

b è la larghezza di fascia del dente

Il dente, a differenza di una trave a mensola, non ha

sezione costante perché infatti il suo spessore varia con

l’altezza.

Per la teoria di Lewis la tensione massima si ha nella

sezione in cui una parabola, avente per asse l’asse del

dente e origine nel punto H, risulta tangente al profilo

del dente stesso.

Si noti che in tal modo si può scrivere:

6 F

= ⋅

2 t

s ( x ) x = ⋅

ovvero che è appunto l’eq di una parabola.

2

y k x

σ

b max =

In tutta l’altezza del dente il punto più sollecitato è proprio quello per pertanto:

x h

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

F h F h F h 6

σ = = =

t t t

LW ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2

b s ( h ) b s b s

6 6

Moltiplicando e dividendo ora per il modulo normale si ottiene:

2

⋅ ⋅ ⋅ 2 2

F h 6 m F 6 h s F h s F

σ = = = ⋅ = ⋅

6 y

t n t t t

LW LW

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 2

2

b s b m b m b m

m m m m m

n n n

n n n n n

y

Dove si ricava da tabelle in funzione dell’ angolo di pressione e del numero di denti.

LW

TEORIA DI HERTZ

Il calcolo a contatto hertziano verifica

che le pressioni specifiche di contatto,

cioè le tensioni di tipo hertziano che si

instaurano localmente durante

l’ingranamento, siano inferiori alla

tensione ammissibile del materiale, già

definita per il calcolo statico a

flessione. Un’eccessiva pressione

specifica di contatto, infatti,

comporterebbe un deterioramento della

superficie del dente, inaccettabile ai

fini di un corretto funzionamento dell’ingranaggio. Dal punto di vista del contatto hertziano due

denti diritti che ingranano possono essere considerati come due cilindri a contatto lungo una

generatrice di lunghezza pari alla larghezza di fascia del dente b.

⋅ ⋅

F E ρ

σ = 0

, 418

HZ max b

1 1

= +

ρ è la somma delle curvature dei due corpi a contatto

R R

1 2

 

1 1 1 1

 

= + media dei moduli elastici dei materiali di cui sono fatti i corpi a contatto

 

E 2 E E

 

1 2 σ σ

,

In entrambe le teorie è richiesto che si calcolino e si verifichi che:

HZ LW

R

σ σ

< R p

σ

HZ amm 0 , 2

= =

dove

σ σ

< amm CS CS

LW amm 1 2

Nel caso della relazione in questione abbiamo ricavato la larghezza di fascia minima b che

soddisfacesse entrambe le teorie contemporaneamente.

I CUSCINETTI

RADIALI Radiali a rulli aperti

Sostengono solo forze radiali ,

i bordini sull’anello interno

servono solo ad evitare che si

smontino (possono essere

messi anche sull’anello

esterno).

RADIALI e ASSIALI Universali rigidi

Universali oscillanti

2 3 2 3

2 3

2 3

1 4 1 4

1 4

1 4

Cuscinetti a sfere.

Sostengono forze radiali e assiali. La forza 2 attraversa il cuscinetto e

si scarica in 4. La forza 1 attraversa il cuscinetto e si scarica in 3.

L’anello esterno è in grado di ruotare, ciò permette all’albero di

effettuare piccole flessioni.

Obliqui rigidi

3 3

1

1 In direzione assiale non supportano 2-4 ma solamente 1-3. Inoltre

per supportare una spinta assiale hanno bisogno di una forza radiale

altrimenti si smontano. Il vertice del cono nel cuscinetto di dx deve

cadare sull’asse dell’albero per avere rotolamento puro e non

strisciamento. Obliqui oscillanti 3

Il rullo è un cono a botte, anche

questo cuscinetto permette

piccole flessioni dell’albero. 1

ASSIALI Obliqui rigidi

Questo cuscinetto supporta solo

spinte assiali. Per la sua stessa

conformazione se tali spinte non

sono presenti tende a smontarsi.

TIPOLOGIE DI SPALLAMENTO Sulla carcassa

RIGIDI – sono sballamenti non smontabili e non

regolabili. Sono in genere ricavati tramite una variazione di

sezione dell’albero o della carcassa. Occorre in genere

che il raggio di raccordo del cuscinetto sia maggiore di

quello dello sballamento in modo che le facce vadano

bene in battuta. Sull’albero

SMONTABILI – sono

sballamenti che possono

essere rimossi ma non sono

regolabili. Sono costituiti da

una gola all’interno della

quale (allargato con apposite

pinze) viene inserito con

gioco un anello elastico

(seeger). La presenza di

gioco fa si che questi anelli

possano inflettersi sotto

l’azione di spinte assiali. Gioco

Un’alternativa è la flangia che è molto più resistente

alla forza assiale perché la piastra è fissata alla carcassa

tramite viti (prima centrate con una spina). In genere la

flangia viene montata con gioco sulla carcassa in modo

da essere sicuri che in ogni caso il cuscinetto venga

montato a pacco.

SMONTABILI E REGOLABILI – ghiera filettata.

Si inserisce la rosetta lungo la scanalatura, dopodichè si avvita la

ghiera e si piegano i dentini della rosetta sulla ghiera in modo da

effettuare il bloccaggio.

Supponiamo il seguente montaggio. Si noti la ripresa del gioco presente solo sulla flangia di

sinistra, nello spazio tra flangia e carcassa si inseriscono dei dischetti spessi qualche decimo di

millimetro. A mano a mano che si ha usura si rimuovono i dischetti in modo da essere sicuri che i

cuscinetti siano sempre a pacco. L’anello interno deve essere montato con interferenza sull’albero,

questo perché altrimenti sarebbe sottoposto ad una forza

rotante perciò sottoposto a fatica. L’anello esterno non ruota

pertanto può non essere montato con interferenza. Il montaggio

indicato è a X, infatti i bracci dei momenti sono molto piccoli

pertanto le forze sono molto grandi, è un montaggio adatto per

carichi ridotti.

Lo schema seguente è identico ma l’utilizzo di cuscinetti a sfera permette di applicare carichi

maggiori:

Supponiamo ora di voler montare tre cuscinetti. A dx il montaggio

risulta uguale mentre a sx i due cuscinetti si dividono i carichi. Il

cuscinetto all’estrema sinistra sostiene il solo carico radiale (infatti

l’anello interno è libero assialmente mentre quello esterno è

equilibrato a dx e a sx); il cuscinetto a dx sostiene i soli carichi

assiali infatti è presente un gioco radiale che lo solleva dai carichi

radiali.

Una soluzione alternativa può

essere montare un cuscinetto

assiale, facendo attenzione

che l’anello di dx deve essere

montato con interferenza

sull’albero mentre quello di

sinistra ha gioco sopra e

sotto, questo per evitare

strisciamento e per agevolare

l’autocentramento. Inoltre i

distanziali sono conformati in

maniera tale da scaricare la

forza assiale al centro della

sfera.

LA TEORIA DI HERTZ

Il contatto hertziano si propone di studiare il contatto tra due superfici curve, è un problema di

elasticità (ovvero tolta la causa sparisce anche l’effetto) ma è non lineare, perché la relazione che

lega lo sforzo alla deformazione non segue una legge lineare (come vedremo).

Cominciamo con il contatto regolare, in cui le due superfici non si compenetrano:

 Piano tangente: Ogni superficie può essere

n intersecata da un generico piano. In particolare si

definisce piano tangente quell’unico piano in cui

P la superficie di intersezione degenera in un punto

P.

Vettore normale: Si definisce vettore normale

quell’unico vettore normale al piano tangente.

Il contatto è regolare quando i due corpi hanno in

comune soltanto il punto P, ovvero non si

compenetrano.

Curvatura: 2

d y

y 1 2

dx 2

ρ = = 1 d y

=> (se ho tg

ρ = =

3 / 2

r  

2

 

dy 2

r dx

+  

 

1

W  

dx

 

 

orizzontale, dunque punto di max o min e derivata prima

nulla).

Q In dinamica dei sistemi meccanici si è sempre usato

P 2

M d y , inoltre l’equazione della curvatura si usa per

= 2

EI dx

calcolare la deformazione elastica della trave.

Abbiamo tracciato la normale e la tg alla curva nei punti Q e P. Individuiamo così il punto W

intersezione delle due normali. Se Q tende a P (P è fermo), il punto di intersezioni delle normali

degenera nel punto C detto centro di curvatura, mentre la distanza da C a P è detta raggio di

curvatura r. La circonferenza con tale centro e raggio è detta osculatrice.

Circonferenza osculatrice: Ogni tratto della

y P1 funzione può essere approssimato con una

circonferenza di centro C (compreso tra i centri P1

C e P2) e raggio r (compreso tra R e r), tale

circonferenza è detta osculatrice. La circonferenza

r

P2 osculatrice è l’unica che ha in comune con il tratto

di curva la derivata prima e anche la derivata

seconda.

Le curve rosse sono ottenute intersecando la superficie con i piani che contengono la normale alla

superficie stessa nel punto P e passano per l’asse x l’uno e per l’asse y l’altro.

α

Supponiamo di ruotare il piano verde piano attorno all’asse Z di un angolo che vari tra 0 e 180°,

otterremo un valore di curvatura per ogni angolo. Per una superficie generica si ha:

TEOREMA DI GAUSS – CURVATURE PRINCIPALI ρ ρ

Tra tutti i piani possibili ce ne sono, come si vede, due che ai quali corrispondono e , tali

max min

α ρ

z ρ max

2

d z

2

dx ρ

x min α

π

0

P π / 2

y

piani sono detti principali e sono tra loro perpendicolari. È possibile inoltre scrivere la funzione che

α

lega il valore di curvatura all’angolo sfruttando proprio i piani principali, attraverso il teorema di

gauss: α ρ ρ

= ⇒ =

0 α min

ρ ρ α ρ α

= +

2 2 =>

cos sin

α α π ρ ρ

= ⇒ =

min max / 2 α max

TEOREMA DI MEUSNIER – SOLIDI DI ROTAZIONE α β

Individuiamo la retta tangente alla superficie nel punto P (uscente

dal piano del foglio). Ora di tutto il fascio di piani passanti per

α

quella retta prendiamo il piano (anch’esso perpendicolare al

foglio) che contiene proprio la normale alla superficie nel punto P; β

β

e il piano generico . Entrambi individuano delle curvature con

centri e raggi di curvatura rispettivi, essi sono legati dal teorema di

Meusnier grazie alla seguente relazione: r

α

β

=

r r cos

β α r

β

P

Per casi di superifici particolari si ha: ρ

z

SFERA y 2

d z

2

dx

x π α

CILINDRO ρ max

x ρ min

CURVATURE POSITIVE E NEGATIVE

ρ ρ

> <

0 0

APPROSSIMARE LOCALMENTE UNA SUPERFICIE

z è l’equazione che descrive la superficie

=

f ( x , y ) z

nello spazio.

Scriviamone lo sviluppo di Taylor (funzione di più

variabili):

x

y

= + − + − +

z f ( x , y ) f ' ( x , y )( x x ) f ' ( x , y )( y y )

0 0 x 0 0 0 y 0 0 0

1 1

+ − + − +

2 2

f ' ' ( x , y )( x x ) f ' ' ( x , y )( y y )

x 0 0 0 y 0 0 0

2 2

+ − −

f ' ' ( x , y )( x x )( y y )

xy 0 0 0 0 z

Se prendo il seguente sistema di riferimento dove:

=

f ( x , y ) 0

0 0 =

f ' ( x , y ) 0

x 0 0 =

f ' ( x , y ) 0

y 0 0

Si ottiene: 1 1

= + +

2 2

z f ' ' ( 0

, 0

) x f ' ' ( 0

,

0

) y f ' ' ( 0

,

0

) xy

x x y xy

2 2

y = + +

2 2

z ax by cxy

Ovvero un polinomio di secondo grado che approssima la superficie localmente (ovvero nel punto

di contatto P). Tale espressione si può semplificare ulteriormente prendente tra tutte le rotazioni di

assi x e y quella per cui c=0. pertanto:

= +

2 2

z ax by

Tale espressione è quella di un paraboloide ellittico (con a diverso da b), dove:

∂ 2

1 1 z 1 1

ρ ρ

= = = =

a f ' ' ( 0

, 0

) ( 0

,

0 )

x x max

∂ 2

2 2 2 2

x

∂ 2

1 1 z 1 1

ρ ρ

= = = =

b f ' ' ( 0

,

0 ) ( 0

, 0

)

y y min

∂ 2

2 2 2 2

y

Dunque concludiamo che ogni superficie può essere localmente approssimata con un paraboloide

1 1

ρ ρ

= +

2 2

ellittico la cui equazione è .

z x y

max min

2 2 Mettiamo a contatto due

Z1 superfici 1 e 2.

Individuiamo il piano

tangente ad entrambe nel

punto P. Per ognuna di

esse si può individuare

una terna di assi di

riferimento, gli assi Z1 e

Zp Z2 coincidono a meno del

1 ϖ segno, mentre le coppie di

assi X2 e Y2 sono ruotate

P X1 ϖ

di un angolo rispetto

alla coppia di assi X1 e

Zp

Y1 Y1. Per ogni superficie si

2 può scrivere il paraboloide

ellittico:

1 1

ρ ρ

2 2

= +

z ' X Y

Z2 1 1 1 1 1

2 2

1 1

ρ ρ

2 2

= +

z ' X Y

2 2 2 2 2

2 2

Si può individuare un punto P sul piano tangente, esso avrà coordinate:

x , y , z

P P P

1 1 1

x , y , z

P P P

2 2 2 δ = +

z z

Si definisce accostamento il la somma delle z dunque: P P

1 2

ϕ

Individuiamo ora una coppia di assi X e Y inclinata di un angolo rispetto a X1 e Y1 e dunque

ϖ ϕ

inclinata di un angolo rispetto agli assi X2 e Y2, possiamo scrivere le coordinate dei due

sistemi di riferimento in funzione dei nuovi assi X e Y: ϕ ϕ

= −

X X cos Y sin

1

Y ϕ ϕ

= +

Y X sin Y cos (1)

1

Y2 ϖ ϕ ϖ ϕ

= − + −

X X cos( ) Y sin( )

Y1 2 ϖ ϕ ϖ ϕ

= − − + −

Y X sin( ) Y cos( )

2 [ ]

1 (2)

δ ρ ρ ρ ρ

2 2 2 2

= + + +

' X Y ' X Y

X2 1 1 1 1 2 2 2 2

2

Dobbiamo andare a sostituire nella (2) le formule di

rotazione ricavate nella (1), si ottiene:

ϖ [ ]

1

ϕ dove:

X δ = + +

2 2

AX BY CXY

2

X1

[ ]

ρ ϕ ρ ϕ ρ ϖ ϕ ρ ϖ ϕ

= + + − + −

2 2 2 2

A 1 / 2 cos ' sin cos ( ) ' sin ( )

1 1 2 2

[ ]

ρ ϕ ρ ϕ ρ ϖ ϕ ρ ϖ ϕ

= + + − + −

2 2 2 2

B 1 / 2 ' cos sin ' cos ( ) sin ( )

1 1 2 2

[ ]

( ) ( )

ρ ρ ϕ ρ ρ ϖ ϕ

= − − − −

C 1 / 2 ' sin 2 ' sin 2 ( )

1 1 2 2

Vogliamo avere C = 0 pertanto:

[ ]

( ) ( )

ρ ρ ϕ ρ ρ ϖ ϕ

− − − − =

1 / 2 ' sin 2 ' sin 2

( ) 0

1 1 2 2

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ρ ρ ϕ ρ ρ ϖ ϕ ϕ ϖ

− − − − =

' sin 2 ' sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 0

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ρ ρ ϕ ρ ρ ϖ ϕ ρ ρ ϕ ϖ

− − − + − =

' sin 2 ' sin 2 cos 2 ' sin 2 cos 2 0

1 1 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϖ ρ ρ ϖ ϕ

− + − = −

' sin 2 ' sin 2 cos 2 ' sin 2 cos 2

1 1 2 2 2 2

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ρ ρ ρ ρ ϖ ϕ ρ ρ ϖ ϕ

− + − = −

' ' cos 2 sin 2 ' sin 2 cos 2

1 1 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ρ ρ ϖ  

ρ ρ ϖ

ϕ − −

' sin 2 ' sin 2

sin 2 1  

= ϕ =

*

2 2 2 2

arctg

=>

[ ]  

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ϕ ρ ρ ρ ρ ϖ

− + − ρ ρ ρ ρ ϖ

− + −

cos 2 ' ' cos 2 2 ' ' cos 2

 

1 1 2 2 1 1 2 2

L’angolo dunque dipende da parametri costruttivi come si vede, pertanto fissati quelli (ovvero le

due superfici) è fissato anch’esso.

A questo punto ho ottenuto:

[ ]

1 2 2

δ = +

* * * * dove:

A X B Y

2 ϕ ϕ

= −

* * * *

X X cos Y sin

1 ϕ ϕ

= +

* * * *

Y X sin Y cos

1 ϖ ϕ ϖ ϕ

= − + −

* * * *

X X cos( ) Y sin( )

2 ϖ ϕ ϖ ϕ

= − − + −

* * * *

Y X sin( ) Y cos( )

[ ]

2 ρ ϕ ρ ϕ ρ ϖ ϕ ρ ϖ ϕ

= + + − + −

* 2 * 2 * 2 * 2 *

A 1 / 2 cos ' sin cos ( ) ' sin ( )

1 1 2 2

[ ]

ρ ϕ ρ ϕ ρ ϖ ϕ ρ ϖ ϕ

= + + − + −

* 2 * 2 * 2 * 2 *

B 1 / 2 ' cos sin ' cos ( ) sin ( )

1 1 2 2

=

*

C 0

Supponiamo ora di applicare una forza che

schiaccia le due superfici a contatto fino a quando

δ

la distanza va ad annullarsi. Quando ciò Zp

accade sul piano tangente comune abbiamo la 1

superficie di contatto, data dal luogo di punti

indicati nel disegno. P

Tale orma cresce al crescere della superficie di

contatto. Su questa superficie è possibile Zp

individuare una distribuzione di sforzi normali 2

che ha un massimo al centro ed è zero sul

contorno. Essendo una densità di sforzi si può

scrivere: a

 

1 1 4

∫ b

σ π σ

= = =  

F dA V ab

z 0

2 2 3

 

A 3 F 3 3 F

σ σ σ

= = =

=>

π π

0 0 m

2 ab 2 2 ab

L’andamento sarà il seguente:

2 2

x y

σ σ

= − − dove:

1

Z 0 2 2

a b

µ

= ϑ ϑ

+

a q 3

= 1 2

q F ∑

3

υ

=

b q ρ

8 i

∑ ρ ρ ρ ρ ρ

= + + +

' '

i 1 1 2 2

2 2

− −

1 v 1 v

ϑ ϑ

= =

1 2

;

1 2

E E

1 2

* *

A B

τ =

cos +

* *

A B

τ

cos

Il può essere sviluppato in tal

modo: [ ]

ρ ϕ ρ ϕ ρ ϖ ϕ ρ ϖ ϕ

= + + − + −

* 2 * 2 * 2 * 2 *

A 1 / 2 cos ' sin cos ( ) ' sin ( )

1 1 2 2

[ ]

ρ ϕ ρ ϕ ρ ϖ ϕ ρ ϖ ϕ

= + + − + −

* 2 * 2 * 2 * 2 *

B 1 / 2 ' cos sin ' cos ( ) sin ( )

1 1 2 2

Per ricavare il denominatore:

[ ]

ρ ρ ρ ρ

+ = + + +

* *

A B 1 / 2 ' '

1 1 2 2

Per ricavare il numeratore si mette a sistema:

( )

* *

A B 2 2

=> da cui si ricava:

− = =

* * *

A B C 0

=

*

C 0 ( ) ( ) ( )( )

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϖ

2 2

− = − + − + − −

* *

A B 1 / 2 ' ' 2 ' ' cos 2

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( ) ( )( )

2 2

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϖ

− + − + − −

' ' 2 ' ' cos 2

τ 1 1 2 2 1 1 2 2

=

=> cos ρ ρ ρ ρ

+ + +

' '

1 1 2 2

I parametri dati dal grafico possono essere ricavati anche nel seguente modo ricorrendo a funzioni

particolari:

υ

µ = ε

cos

2

υ ε ε

= k ( ) cos

3 π ε ε

2 k ( ) E ( )

τ = −

cos 1 ε

ε

2 E ( )

tg ϕ

d

π / 2

ε =

k ( ) (integrale ellittico di I specie)

ε ϕ

0 2 2

1 sin sin

π / 2

ε ε ϕ ϕ

= − 2 2 (integrale ellittico di II specie)

E ( ) 1 sin sin d

0

Occorre però risolvere tale sistema di cinque equazioni in 5 incognite.

CONTATTO SFERA – SFERA

τ µ υ

= = = = =

1 a b q

=> => => L’orma è una circonferenza.

cos 0 ϑ ϑ

+

3

= 1 2

q F ∑

3 ρ

8 i

3 F 3 F 3 1 F

σ = = = ∑ 2

ρ

 

0 π π

π 2 2

2 ab 2 2

q    

ϑ ϑ

+ σ i

=> =

3 2

0

,

388 FE

  3  

1 2

F 0 2

 

3

 

ρ

8

 

i

CONTATTO CILINDRO – CILINDRO

ρ ρ

= =

ϖ = ' ' 0

; pertanto si ha:

0 1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) µ = ∞

2 2 2

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

+ + +

2

τ 1 2 1 2 1 2

= = = =>

cos 1 υ = 0

ρ ρ ρ ρ

+ +

1 2 1 2

Da ciò si vede che la superficie di contatto è un rettangolo di lato l (lunghezza dei rulli a contatto) e

2b. x

2 2 2

x y y

σ σ σ

= − − = −

1 1

Z 0 0

2 2 2

a b b σ

L’andamento della tensione è secondo un ellisse (non cambia 0

lungo x). π

 

1 2 F

∫ σ σ

= = = σ

 

F dA V bl =

=>

z 0 π

0

2 2

  bl

A ϑ ϑ

+ ∑

F ρ

FE

= 1 2

b => σ = 0

, 418

π ρ

l 0 l CONTATTO CONTATTO

Le forze lungo z fanno nascere delle SFERA- SFERA CILINDRO - CILINDRO

forze di compressione radiali. La loro

distribuzione è indicata accanto. σ

σ

z eq eq

max

max z

Nel contatto hertziano la tensione radiale massima può arrivare a 2000 – 3000 MPa, tuttavia il

valore massimo di tensione non è raggiunto nel punto di contatto ma leggermente più in profondità.

La rottura per contatto hertziano si ha all’interno e poi procede verso la superficie, occorre dunque

che i trattamenti termici (indurimento) raggiungano la profondità alla quale si ha la tensione

massima.

ACCOSTAMENTO Δc

M1 M1’ α

c c-Δc

M2’

M2 c

Supponiamo di prendere 2 punti M1 e M2 (nel disegno sono esageratamente lontani per chiarezza).

Δc.

La loro distanza è pari a c. Se applico forze di compressione la distanza si riduce di Prendendo

Δc,

punti M1 e M2 sempre più lontani c aumenta e dunque aumenta finché si esce dalla zona

α

Δc

deformata e non aumenta più, esso tendo ad un valore asintotico detto accostamento.

Si può calcolare l’accostamento nel modo seguente:

ϑ ϑ

ε +

3 2 K ( )

α = 1 2

πµ

2 8

q

FORMULA DI BOCHMAN


ACQUISTATO

5 volte

PAGINE

63

PESO

6.92 MB

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica
SSD:
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher steo_berto di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Costruzione di macchine e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino - Polito o del prof Belingardi Giovanni.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Costruzione di macchine

Costruzione di macchine
Appunto
Formulario Fondamenti di Meccanica Strutturale
Appunto
Relazioni su impianto frigorifero e scambiatore di calore
Esercitazione
Riassunto esame Termodinamica con temi d'esame e domande orale, prof. Borchiellini
Appunto