Costruzione di macchine - Appunti

COSTRUZIONE DI MACCHINE

Mentre la rottura statica è preceduta quasi sempre da uno snervamento, la rottura per fatica dei

materiali non da nessun segno premonitore. Essa avviene per innesco di una cricca che pian piano si

propaga fino al cedimento per schianto.

PROGETTO SI UN COMPONENTE PROGETTO DI UN

COMPONENTE

VERIFICA DIMENSIONAMENTO

(di un componente già esistente) (di un componente da creare da zero)

CALCOLO STATICO CALCOLO A FATICA

Considero l’insieme di forze Considerando le forze che agiscono

massime che possono verificarsi mediamente sempre su un

su un componente. Si verifica e componente. In questo caso posso

confronta con le tensioni massime avere un coefficiente di sicurezza

sopportabili dal materiale con un anche pari a uno.

certo CS.

CURVA DI CURVA DI

TRAZIONE WOHLER

NO SI NO

ok

VERIFICA

(di un componente già esistente)

FORZE DI LAVORO DIMENSIONI

Statiche e a fatica del componente

DATI DEL

MATERIALE

NO SI

OK

DIMENSIONAMENTO

(di un componente già esistente)

FORZE DI LAVORO

Statiche e a fatica DATI DEL

MATERIALE CONDIZIONI

DIMENSIONI D’INGOMBRO

del componente del componente

NO SI OK

VERIFICA STATICA

Curva per acciai da carpenteria Curva per acciai meccanici

=40% =1200 MPa

=300-400 MPa

I coefficienti di sicurezza assumono per normativa i seguenti valori:

R R

σ

= =

S S

m =

m 1

,

5

=> dove

σ

S amm S

m

amm S

R R

= σ =

m =

m 3

=> dove

σ

R amm R S

m R

amm R

CALCOLO A FATICA

σ tot Le prove standardizzate

σ si fanno a flessione

a rotante, ottenendo la

tensione media pari a

zero.

σ

σ

σ max m

min t

CURVA DI WOHLER – ha senso in seguito a quanto detto chiedersi quanti cicli di fatica è in grado

σ

σ

di durare un materiale con un certo valore di tensione alterna (tenendo costante la )

a m

σ La curva corrisponde a

a I II III quella per acciai nobili, con

σ σ

= −

R tenore di carbonio piuttosto

a m m

R alto. Alla tensione media

fissata, per un valore di

σ = k

cost tensione alterna pari a il

m

σ provino ha una durata di

cicli.

a i Esiste un valore di tensione

σ alterna al di sotto della

quale la durata del provino

A è illimitata (la curva è

piatta), compreso tra e che

vale:

N

N 6 7

10 10

i

I – fatica oligociclica σ k =

N

II – fatica a durata limitata per cui vale cost

a

σ

III – fatica a vita illimitata sotto il valore A

σ σ

k = + =

k log log N

log N cost => cost è l’equazione di una retta pertanto:

a

a

σ a R

σ In scala non logaritmica

a la curva risulta molto

R s schiacciata, ragione per

cui la curva naturale è

scomoda da utilizzare

N N

⋅ ⋅ ⋅

3 6 6 6

10 2 10 2 10 10 10

PROBABILITA’ DELLA CURVA DI WOHLER

σ a i σ

Si sceglie un valore di e si effettuano varie prove, si ottiene un campo di valori di durate per i

a i

quali si è ottenuta la rottura. Una media di questi valori mi da indicativamente il valore di durata a

quel particolare valore di tensione media. A mano a mano che si abbassa la tensione media

cominciano a comparire casi in cui il provino non si rompe. La curva in basso rappresenta l’insieme

dei punti in cui si ha la probabilità del 100% che il provino non si rompe. La curva più in alto

rappresenta la certezza di rottura del provino. Esistono dunque curve di Wohler per valori di

probabilità diversi, la scelta della curva dipende da quanto il progettista vuole stare in sicurezza, se

la probabilità non è specificata in genere si suppone pari al 50%.

Nel caso della verifica a fatica posso anche assumere un coefficiente di sicurezza pari a 1, questo

perché se anche superassi la tensione alterna prevista togliere cicli di vita al provino, certamente,

ma non provocherei comunque la rottura.

σ a Come si vede dal diagramma indicato, se

la cresce la curva di Wohler tende ad

abbassarsi. Per fare una curva di Wohler

con una certa tensione media possono

essere richiesti dai 15-20 gioni. Esistono

pertanto delle tabelle alle quali il

progettista può rifarsi perché sarebbe

impensabile generarsi delle curve di

Wohler per il materiale che dobbiamo

usare nel progetto.

N

Diagramma di Smith-Goodman σ σ

σ σ ,

, La parte a compressione è

max min max min Per disegnare la curva a

più grande di quella a segmenti occorrono e .

trazione, questo perché a

compressione i materiali

resistono di più, pertanto in

genere si verifica sempre a

trazione sapendo che è così

verificata anche la

R R

compressione.

σ s

σ

+

max A σ

σ

− A

A σ 0

σ

σ

m

σ − A

A 1

° ° 0

45

45

min σ

σ

σ R R

m m s m

σ

Si può ricavare un diagramma di Smith e Goodman per ogni durata, basta che anziché usare la A

σ

per vita illimitata si usi la corrispondente alla durata richiesta, il diagramma si restringe

a σ

ovviamente andando verso la vita infinta (ovvero verso la .

)

A

LEGGE DI MINER n

∑ =

i 1

Quando il provino si rompe.

N i

∑

=

N n

tot i

cost

k

σ =

N

a i

i

σ n k

σ

n ∑

∑

a i k

σ =

=>

i n c

=

σ i a i 1 i a i

c

a eq Esiste (ricavata nel diagramma a sx) una tensione

equivalente, cioè una tensione che corrisponde al

N

numero di cicli per cui si può scrivere:

tot

k

σ =

N c

N tot a eq

tot ∑ ∑

k k

σ σ

n n

∑ k k

σ σ

= k i a i a

σ = =

i i

n N => ∑

i a tot a a

i eq eq N n

tot i

∑ ∑ ∑

∑ k

σ n N p p

n

c = = =

i tot i i

k

σ = = i a N c c c

i => ∑ ∑ ∑

∑ tot k k k

σ σ σ

a eq n N p p

N n i a tot i a i a

tot i i i i

Non tutti i livelli sono al di sopra del limite di fatica illimitata, pertanto considero nella verifica solo

*

le sollecitazione che stanno sopra ( ):

n

i

∑ *

p ∑ ∑ ∑

n N p p

* i

=

N c * * *

i tot i i

= = =

N N N N

=>

∑ ∑ ∑ ∑

tot tot tot tot

tot * * *

* k

σ n N p p

p i tot i i

i a

* i

∑ ∑ ∑

*

p p p 1

i i i

= = =

N c c c

∑ ∑ ∑

∑

tot * * k * k * k

σ σ σ

p p p

p i a

* i a

* i a *

i i i

i

Spettro o cumulata di carico

σ a

500 10%

400 20%

300 40%

200 20%

100 10%

Spettro di carico - descrive la vita del Cumulata di carico - a differenza dello spettro i blocchi di carico vengono

provino (ad esempio per il 40% della sua vita cumulati fino a giungere al 100% di vita del provino. Posso per ogni blocco

assumere il valore massimo di tensione oppure il valore minimo per essere

il provino è sollecitato con una tensione più cautelativo, oppure un valore medio. È possibile dalla cumulata discreta

compresa tra i 200-300 MPa) passare a quella continua interpolando i dati, ovviamente posso scegliere una

curva più o meno cautelativa. Dalla cumulata continua si può risalire a

quella a gradino.

FATICA RANDOM METODO DEI MASSIMI E MINIMI

La tensione media è una sola e vale .

Dobbiamo calcolare le varie tensioni

alterne.

σ 2 Prendiamo di volta in volta il picco

a 4

2 maggiore e il picco minore (i primi

6 saranno 1 e 2) e ne ricaviamo una

8 tensione alterna media:

σ m 7 La coppia di picchi successivi saranno

5

σ 3 e 4, pertanto:

3

a 1 1 Ognuna di quste condizioni di carico la

considero come un ciclo, alla fine avrò

Si può anche scegliere di prendere solo i una storia di carico composta da n cicli.

massimi (cioè tutti i picchi che stanno sopra

la tensione media), poiché se sono verificati

quelli sono verificati tutti i minimi. METODO DELLE TRE ALTERNANZE

Divido la storia casuale di carico in piccole

σ storie, ognuna delle quali interseca la

P

max 1 tensione media per tre volte e di cui posso

ricavare una tensione massima e una minima:

σ Ognuna di queste condizioni perdo rispetto al

m metodo dei massimi dei minimi, alcuni

σ massimi e alcuni minimi più piccoli non

min 1 vengono considerati (es il max P).

1

σ

+ METODO BIPARAMETRICO

a 1 Questa volta non suppongo una tensione

media costante per tutti i cicli ma faccio

variare anche quella. Pertanto per ogni ciclo

σ in divido un massimo e un minimo da cui:

m 1 ;

σ

− a 1

Raggruppo i cicli così ottenuti in base alla tensione media (ad esempio avrò che il

20% dei cicli avrà una tensione media compresa tra 500 e i 400 MPa e così via).

Per ogni gruppo ricavo la curva di Wohler corrispondente (cioè con quella tensione

media). All’interno di ogni gruppo dovrò poi ancora raggruppare rispetto alla

tensione alterna per avere infine gli spettri di carico.

FATICA DEL MATERIALE E FATICA DEL COMPONENTE

σ La curva di Wohler del materiale è indicativa del

a Il non cambia molto per numero di cicli basso. solo comportamento del materiale. Ci sono però

k

σ =

N c una serie di fattori che fanno differenziare la

a curva del componente da quella del materiale che,

k

σ =

N c presa così è praticamente inutile.

c

a c La curva di Wholer del materiale avrà parametri:

Materiale σ k =

N c

a

Componente La curva di Wohler del componente avrà invece:

σ k =

N c

c

a c

N

Cerchiamo ora di ricavare la curva di fatica del componente.

Cominciamo dal fatto che esiste una relazione tra la forza e la tensione del tipo generale:

β

σ = ⋅

F g

a β

Dove è un esponente che generalmente vale 1 (il rapporto tra tensione forza è in genere

g

proporzionale ma ad esempio nei cuscinetti non è così) e è un parametro geometrico che

generalmente è pari all’inverso della sezione su cui calcolo la tensione.

Possiamo inoltre ricavare una relazione diretta tra il numero di cicli fatti dal provino e il numero

N

di iterazioni specifiche che il componente fa nel suo esercizio (ad esempio il numero di pezzi

L

prodotti se si tratta di un tornio o il numero di chilometri percorsi se si tratta di un automezzo):

= ⋅

N D L

Sostituendo queste relazioni nella curva di Wohler del componente è possibile ottenere la curva di

fatica del componente: γ β

= ⋅ k c

β ⋅ β

⋅ ⋅ ⋅ =

k

F g D L c γ c

⋅ =

=> dove

F L W

c =

c c

W ⋅

k

g D

c

Anche per la curva di fatica del componente vale la legge di Miner per cui abbiamo:

γ

l F

l

∑ ∑

γ ⋅ =

=1

i =

F L W i a i 1

; =>

L a i

i W

i ∑ ∑

γ γ

l F l F

∑ γ γ γ

= = = =

i a i a

l F W F L i i

F

=> => ∑

i a a tot a

i eq eq L l

tot i

∑ ∑

∑ γ l p

l F = =

i i

=

i a L W W

i L W => ∑ ∑

∑ γ γ

tot

tot l F p F

l i a i a

i i i

Generalmente noi, se siamo fortunati, disponiamo della curva di Wohler del materiale, che

purtroppo non ci serve a nulla. Per ottenere la curva di fatica del componente si potrebbe fare della

prove (che richiedono provini e tempo), altrimenti si risale alla curva di fatica del componente

tramite coefficienti correttivi:

⋅ ⋅

c c c

σ σ

comp mat

= 1 2 3

a a k f

FATTORI CHE INFLUENZANO LA FATICA DI UN COMPONENTE

- materiale carico di rottura – in genere se è alto la curva di Wohler si alza (la resistenza

 a fatica aumenta)

trattamento superficiale –

 • Meccanico Rullatura - bombardo il provino

 con sfere d’acciaio dure, la

compressione superficiale che si

crea arresta le cricche.

Pallinatura – si esegue uno

 schiacciamento della superficie,

in genere si pratica su gole di

scarico.

• Termico Tempra – sottopongo il

 materiale ad alte temperature a

poi raffreddo rapidamente. I

grani risultano pensionati e

conferiscono resistenza

meccanica (aumenta il carico di

rottura).

Cementazione e nitrurazione –

 arricchisco di carbonio la

superficie del pezzo

immergendolo in un bagno,

ottengo durezza superficiale

maggiore.

• Elettrochimico In genere si depositano

 elettrochimicamente (cella

galvanica) strati di materiali che

fungono da protezione.

lavorazioni pregresse – fattore che dipende da come è stato ottenuto il pezzo,

 ad esempio la fusione è diversa dalla laminazione perché nel secondo caso

nascono tensioni interne di compressione che aumentano la resistenza

meccanica.

- tipo di carico forma del diagramma di carico – (è un fattore che non ha influenza).

 Tensione media – è un fattore fondamentale perché se la tensione media

 cresce la curva di Wohler si abbassa.

Tensione alterna – anche questa è fondamentale, basti guardare il

 funzionamento principale della curva di Wohler.

Frequenza – (è un fattore che non ha influenza), in genere è importante

 conoscere il tipo di carico e non con che tempi viene esercitato.

Il tipo di sollecitazione – il materiale resiste meglio a flessione, peggio a

 trazione e peggio ancora a torsione.

σ σ

,

max min Perché correggo a torsione:

1 Cioè la tensione equivalente

dovuta alla torsione è più

0,84 grande del 70% rispetto a

1 quella a flessione. Pertanto:

0,52

0,7

0,6 σ m

Flessione Trazione Torsione

Perché correggo a trazione:

La cricca parte dalla superficie poi procede verso l’interno. Nel caso della

flessione però a mano a mano che procede incontra tensioni sempre minori,

dunque si può dire che il provino resiste di più a flessione

- Ambiente esterno

Temperatura – il calore riduce il carico di rottura e anche la resistenza a

 fatica. Certamente però i rischi maggiori si hanno per basse temperature. Per

acciai da costruzione (ferracci con basse %C) la resilienza crolla sotto i 10°C,

un materiale a basse temperature infragilisce e le cricche si propagano con

maggiore facilità. Generalmente questo fattore è molto pericoloso se

combinato con la presenza di saldature o intagli.

Ambiente corrosivo – i danni superficiali dovuti alla corrosione sono gravi

 perché è proprio in superficie che si innesca la cricca.

- Geometria Macro – in genere il provino usato per le prove di trazione ha diametro di 10

 mm, spesso i componenti hanno diametri maggiori e bisogna quindi tenere

conto del fatto che in genere, aumentando il diametro la resistenza a fatica

peggiora.

Macro/micro – sono caratteristiche molto piccole ma non ancora

 microscopiche e riguardano gli intagli. Gli intagli sono elementi di

discontinuità che interrompono l’omogeneità di una superficie (gole di

Definiamo fattore di

forma:

σ

σ id re Esso può tendere ad

infinito perché se

Definiamo fattore di effetto

d’intaglio: Con intaglio Senza intaglio

Che non tende ad infinito ma

è compreso nel seguente

intervallo:

scarico). In prossimità di questi intagli le tensioni hanno andamenti reali ben

diversi da quelli ideali:

Micro – parliamo di finitura superficiale (rugosità).



ESEMPIO DI FATICA DEL COMPONENTE – CUSCINETTI ∑ γ

l F

γ = i a i

F

Avevamo ricavato per un componente qualsiasi la formula: ∑

a eq l

i

∑ γ

l P

γ = i i

P

Adesso la applichiamo ai cuscinetti: ∑

eq l

i

v t p

Per i cuscinetti abbiamo le velocità d’esercizio e i tempi (percentuali del tempo

i i i

totale) da cui si ottiene il numero di iterazioni:

=

l t v

i i i =

l v p T

=> i i i tot

=

t p T

i i tot ∑ ∑

γ γ

T v p P v p P

γ = =

tot i i i i i i

P ∑ ∑

eq T v p v p

tot i i i i p v

α = i i

Sapendo che ogni percentuale di storia di carico è si può scrivere:

∑

i p v

i i

γ = 3

∑

γ γ ∑

α

= γ

α

P P γ

=

=> dove

P P γ =

eq i i 10 / 3

eq i i

RUOTE DENTATE e

s π

2 R

p

+ = π

=

s e p = =

z

m

; ; dove 3

,

1416

π p

Il profilo del dente (escludendo lo smusso in punto e il raggio di raccordo alla base) è ad evolvente

di cerchio. Il pr