Costruzione di macchine 1

Analisi Cinematica

Obiettivo dell'analisi cinematica è avere un numero sufficiente di equazioni linearmente indipendenti in modo da risolvere il problema dell'equilibrio di un corpo rigido soggetto a forze.

Gradi di Libertà

Numero di parametri indipendenti da fissare per fissare il punto nello spazio.

Un punto si dice vincolato quando perde 1 o più gradi di libertà.

se perde 2 → costretto a muoversi su di una linea

se perde 1 → costretto a muoversi su di un piano

Un sistema di N punti possiede 3N gradi di libertà

Da essi possiamo definire N(N-1)/2 equazioni di vincolo, sebbene non tutte fra di esse siano linearmente indipendenti.

• Sistema IPOSTATICO: pdv < pdl
• Sistema ISOSTATICO: pdv = pdl (caso ideale)
• Sistema IPERSTATICO: pdv > pdl→ pensati per rinascere nel caso di rottura di un vincolo

Tipi di Vincoli - Riepilogo

• Incastro
• Cerniera
• Pattino
• Manicotto
• Carrello
• Appoggio
• Bipattino

Movimenti non consentiti

Movimenti consentiti

3 pdv

2 pdv

2 pdv

2 pdv

1 pdv

1 pdv

1 pdv

Dal sistema che tiene in equilibrio dell'equilibrio derivano le

EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA

{

R̄ = 0 → 3 equazioni per equilibrio della TRASLAZIONE (in x, y, z)

R̄ = 0 → 3 equazioni per equilibrio della ROTAZIONE (attorno x, y, z)

I vincoli ideali sono:

• Fissi: la reazione vincolare non ha componenti nelle direzioni di moto non vincolate
• Bilateri: il verso delle reazioni vincolari può essere qualsiasi
• Perfetti: l'intensità delle forze non è limitata (il vincolo non si rompe e lo spostamento è rigorosamente nullo)

Le reazioni vincolari non compiono lavoro e non dissipano energia

_S = _Sm + _Sn

_S = _S · Â

Dunque

Î_m = Â^τ · _S = Â^τ Â^τ î_m

Î_m = √|_S|² - Î_m²

Una fibra di materiale infinitesima subisce un allungamento lungo x, definito come:

Δu = u (x+δx,y,z) - u (x,y,z)

Posso definire allo stesso modo v (lungo y) e w (lungo z) e dunque

ε_x = ∂u/∂x

ε_y = ∂v/∂y

deformazioni ligate agli spostamenti u,v,w di una fibra

ε_z = ∂w/∂z

Definito γ lo scorrimento angolare:

γ_xy = ∂v/∂x + ∂u/∂y

γ_yz = ∂w/∂y + ∂v/∂z

γ_zx = ∂u/∂z + ∂w/∂x

T_x = N/A + M_y J_x / J_yz Legge di Navier

Asse neutro, ossia in corrispondenza del quale le fibre non sono nè tese nè compresse

Si dimostra che l'asse neutro passi dall'inbaricentro della sezione

← l'asse neutro è

Se il momento è applicato su un asse principale d'inerzia (asse per cui i momenti centrifughi sono nulli), l'asse neutro coincide con l'asse di applicazione del momento flettente.

Si definisce L_max = ∫₀^f F(f') df

Il lavoro massimo omoteto delle anche,

nel caso lineare L_max = 1/2 f_max f_max L_max = 1/2 E_max ψ_max

L'energia elastica immagazzinata in corpo di volume V è definita come

u = ∫_V σ_ij E_ij / 2 dV

Nel caso costante => u_σ = o_c² V /2δ

u_o o = E_c² V /2g

m = coefficiente di utilizzo della nebbia, con m = l_max / l_max

• m = 0 -> nelle sollecitazioni uniformemente (romano - conferme)
• m < 1 -> sollecitazioni generalizzate di un particelle (romano - fiamme)

Per minimizzare il coefficiente di utilizzo proprio per comparizie le sove e più spesso momento flessibile con le sciarri e più alto momento di inerzia

Criterio di Huber-Hencky

L’indice del pentolo è un punto esso, il valore della sollecitazione tangenziale aedreale (τ_xy).

I piani traduci hanno normale formate tra angoli uguali con gli assi principali avsario

α = β = δ = 54,7° e

M_x = M_y = M_z = ±1 / √3

Si ritrova che τ_ott = 1/3 √((σ_x - σ_y)² + (σ_y - σ_m)² + (σ_m - σ_x)²)

Si ottiene, infine, lo stesso sforzo equivalente di Von Mises, ovvero

σ*_eq = √(σ_x² + σ_y² + σ_m² - σ_xσ_y - σ_yσ_m - σ_mσ_x)

Casi Particolari

Nel caso di pure FLESSIONE-TORSIONE esistono costalorie che ci permettono di bypassare il ededlo degli forsi principali, ovvero

σ*_UT = √(σ² + 4 τ²)

σ*_HT = √(σ² + 3 τ²)

Le prove di fatica avvengono su provini standard:

• d = 10 mm
• h₀ = 0,3 am (lucidatura)
• h_f = 1
• n_f = 2
• R = 1

per questi parametri si ottiene che:

J_fat = 0,4 - 0,6 mm

T_fat = 0,3 - 0,45 mm

G_fat = 0,23 - 0,33 mm

Verifica e fatica del provino:

L_frag ≤ J_lfe

Per progettare in plastica un componente reale non si possono utilizzare

direttamente i risultati delle prove di flessione rotante, o delle simulaz, effettuate su provini anche se dello stesso materiale, occorre tener conto di:

• effetto prudente
• convergenza delle lavorazioni
• coefficiente di magnelo
• spost resului

Note che:

A bassa non esiste l'effetto degli sforzi medi, almeno finché la tensione massima non supera le Rn.

FATICA IN STATO DI SFORZO MULTIASSIALE

Si introduce il criterio di Gough-Pollard, utilizzabile in caso di presenza contemporanea di stati di torsione e flessione variabili nel tempo in maniera sinusoidale e in fase.

• stesso periodo
• corrispondenza di massimi e minimi

per provino dei principi restanti durante il ciclo

Per PROVINI STANDARD stampo:

σ_GP* = √[ (σ_c/σ_FAP)² + (τ_t/τ_FA)² ] ≤ σ_FAP

Nel caso di componenti meccanici:

[ (σ_a/σ_FAP)² + (τ_ca/τ_FA)² ] = 1

σ_GP* = √[ (σ_c/σ_FAP)² τ_c² ] ≤ σ_FAP

H

σ_GP* = √[ σ_c² + H² τ_c² ] ≤ σ_lim

Note che in presenza di sforzo medio si ha che

H = σ_lim / σ_FA

VERIFICA A FATICA CUSCINETTI (per vite fluida)

Definizioni:

L₁₀: durata di base in milioni di giri (della parte interna rispetto all'esterna) con probabilità di cedimento del 10%.

C: coefficiente di carico dinamico ovvero il carico che consente la durata di 10⁶ giri per il 90% dei cuscinetti provati.

P: carico equivalente equivalente, che assume tutti i carichi agenti sul cuscinetto.

L₁₀ = ( C_P )^p

p = 3 sfere

p = 0³ rulli

Se m>1[m] la velocità dell'albero:

L_10κ = 10⁶_60*m L₁₀

è la durata di base in ore per la velocità m dell'albero in condizioni ideali di prove.

In condizione reali di prove si ottiene:

L_na = a₁ a₂ a₃ L₁₀

Sigmio durata in milioni di giri con probabilità del (100-m)% con probabilità relativa.

a₁ = qualità dei materiali dei cuscinetti.

a₂ = lubrificazione.