Costruzione di macchine 2 Teoria

Lezione 1

Introduzione del corso

L'obiettivo è comune a quello del corso di costruzioni di macchine 1 cioè: valutare l'integrità strutturale di elementi in esercizio. Vediamo le differenze:

Costruzioni di macchine 1

• strutture semplici
• componenti privi di difettosità

Costruzioni di macchine 2

• strutture complesse sia come numero di elementi sia anche come forma di singolo elemento
• componenti hanno sia difetti che cricche che possono essere testi e ipotizzate
• (reali): lab. prove cricche anche erbacee
• (ipotizzate): in entrambi i casi alle spalle comunque è una analisi numerica ipotiz. cricche (oltre a prove cm reali)

materiali metallici tradizionali

materiali compositi

In entrambe i casi si effettua un confronto tra stato di tensione e tensione limite che è proprietà del materiale (Tid < σ limite) ma ci sono delle differenze:

Costruzioni di macchine 1

1. Calcolo SdT:
   • teoria della trave
   • trave curve
   • membrane per sabati in parete sottile
2. Resistenza del materiale
   • curva pratica statica
   • curva Wöhler

Costruzioni di macchine 2

1. Calcolo SdT:
   • metodo elementi finiti
   • gusci spessi
2. Resistenza del materiale
   • prove statiche
   • prove a fatica

Analisi Tecnica

Per l'analisi delle tensioni esistono due metodi, quello teorico e quello sperimentale.

Teorico:

• Metodi analitici (esatti)
• Metodi numerici
  • Soluzioni approssimate delle eq. differenziali (differenze finite)
  • Elementi finiti

Sperimentale:

• Vernici fragili
• Estensimetri elettrici a resistenza
• Fotoplasticità

Metodo degli elementi finiti

Questo metodo consiste in un'idea di discretizzazione di una struttura in porzioni elementari semplici, detti elementi, connessi tra di loro tramite nodi. Nei nodi vengono conservate le variabili strutturali del problema, cioè le forze nodali e gli spostamenti. Usuali sono anche frecce nodali, il termine forza e freccia è generalizzato ed esso può essere anche momenti e rotazioni.

Si definisce un vettore che contiene tutte le frecce nodali:

6) Elemento (membrana)

È l'estremizzazione del caso bidimensionale dell'elemento tipo asta teso

7) Piastra inflessa

È l'estremizzazione del caso bidimensionale dell'elemento tipo inflesso

8) Element shell

Unisce comportamento di membrana + la piastra inflessa

9) Element brick

• 12 Traslazioni
• 1 Traslazione
• 2 rotazioni
• 3 traslazioni
• 2 rotazioni
• 3 traslazioni

prodotto tra matrici

[A] ⋅ [B] = [C]

m × q q × p m × p

numero colonne deve essere uguale a quello delle righe

C_ij = Σ a_ik b_kj

prodotto tra matrice e vettore

2 1 2 2 1

1 2 3 1 1 2

2 × 3 3 × 1 2 × 1

matrice definita positiva

[A] definita positiva

q = ƴ^T [A] ƴ

[A] semi definita positiva

[A] = 3 0 0 2

u = X₁ X₂

q = X₁ X₂ 3 0 X₁

0 2 X₂

3X₁

X₁ X₂ 2X₂

= 3X₁² + 2X₂² > 0

[A] è definita positiva

traccia della matrice

è la somma degli elementi sulla diagonale principale

tr [A] = Σ a_ii

Telai piano 2D

Sono noti E, A e J.

dim [K] = 6x6

Il comportamento strutturale unisce quello dell'elemento asta con quello trave in flessione.

Telai spaziale

dim [K] = 2x6 = 12

(v_i U v_i) = (v U v)

= | 4 2 3 | 91 | 76 |

    | 1 3 4 | 8_.

    | 5 2 1 | 8 69 |

λ_max = 16/9 = 8_.4

          65/8 = 8_.125

          69/8 = 8_.625

3. Metodo della traccia

tr(U) = ∑ⁿ_i=1 λ_i = λ_n

= | 4 2 3 |

    | 1 3 4 |

    | 5 2 1 |

tr(U) = 8 ≈ λ₁

matrice di elemento in coordinate di elemento

è prima cosa bisogna portare le coordinate di elemento dal sistema di

riferimento di elemento a quello di struttura successivamente bisogna

effettuare l'assemblaggio della struttura.

{F}^(e) = [K]^(e) {δ}^(e)

2x2

{F}^(s) = [K]^(s) {δ}^(s)

4x4

si definiscono delle nuove grandezze:

l = cos(x⁰x)

m = cos(x⁰y)

si ottiene:

f₁ = F₁ l + F₂ m

f₂ = -F₁ m + F₂ l

e a livello di matrici:

[f₁] = l m 0 0 -m l 0 0 0 0 l m 0 0 -m l

in generale si ha:

{F}^(s) = [T]^(s) {F}^(e)

analogamente per le forze si ha;

f₁ = F₁ l

Lezione 6

Abbiamo ricavato il set di equazioni algebriche:

{F}=[K]{f₀}

Per il Principio di D'Alembert si può passare dal caso statico al caso dinamico dove le forze variano nel tempo introducendo quelle che sono le forze d'inerzia. La i-esima componente delle forze d'inerzia diventa:

F_i = -m₅ ẍ_i

Le masse si considerano concentrate ai nodi dove ad ogni grado di libertà è associata una massa generalizzata.

Sistemi con masse concentrate

Alla freccia f₁ associo una massa m₁ mentre al f_θ l'inerzia I_θ. Il sistema è regolato da queste relazioni:

[F_i] = _t

La matrice di massa si può costruire in modi diversi:

• Lumped: ad ogni nodo è associata una massa concentrata come in questo caso. Il sistema allora viene così descritto:

-[M]{F} = [K]{f₀}

si sta cioè studiando l'equilibrio tra forze d'inerzia sviluppate dalle masse associate ad ogni grado di libertà con il vincolamento elastico.

Problema delle vibrazioni libere o delle frequenze proprie

Le frecce nodali sono sincrone e tutti i nodi vibrano con pulsazione ω.

{f} = {f₀}senωt

Ma equilibrio quando la forza centrifuga è equilibrata dalla forza di richiamo elastica, cioè:

F_c = F_el

Queste due forze valgono:

F_c = mu² (f + e)

F_el = k ⋅ f

k in generale è sollecitabile (per elicite: k = 3E₀) e si uguagliano l'equilibrio possa ricavare la freccia:

mu² (f + e) = k ⋅ f

f = e ^mu²/_{mu² - K}

Posso costruire un grafico che tracci l'andamento delle forze in funzione della freccia:

F_c

mu²e

mu²e

F_n

F_m

f

Se si aumenta la velocità di rotazione l'intercetta si sposta verso destra e il coefficiente angolare aumenta. Se la retta della forza centrifuga e quella della forza elastica sono parallele si inferisce non ha posizione di equilibrio e la velocità di rotazione si dice velocità critica. In questo caso la freccia F_c scende all'infinito.

f → ∞ se K - mu² = 0 cioè: _wc = √_K/w

Si inferisce a masso concentrica spezza inerzia le velocità critiche coincidono con e frequenze proprie e non dipendono dall'eccentricità e.