Teoria Costruzione di macchine

LEGAME COSTITUTIVO ELASTICO

legame tra sforzo e deformazione che lavora in campo elastico. Mi dice che le 6 componenti di

sforzo: (6x f)

I 66x

ex - + G=modulo elasticità tangenziale

= E=modulo di YOUNG (MPa)

J=coefficiente contrazione trasversale o modulo di

(6y f)

65

d POISSON

- +

= 1(6t ))

6(6x 6

5z - + ,

= 6 E

E = 2(1 6)

+

=

U fx

= I

U Jz *

=

= [xz

(xz (2x

= = G

OMOGENEITÀ E ISOTROPIA

un materiale si dice omogeneo se le sue proprietà elastica sono omogenee su tutto il suo dominio.

Un materiale si dice isotropo se le proprietà sono uguali in tutte e 3 le direzioni in cui il materiale può

essere sollecitato

J 3

& 35

0

=

= ,

, =(MPr]

I

Acciaio 2060

&,3 &d

Lega alluminio 70000

3

&,

Vetro 60000

3

&,

Plastiche 300

35

& &

,

Gomma 30

&

35

&,

LEZIONE 8

Un esempio di MATERIALE ANISOTROPO sono i materiali compositi (a matrice o a fibra di rinforzo).

RIPARTIZIONE DELLO STATO DI SFORZO

T

8

TE * z

1 Ty

SMg

8

S P

* Y

M ⑧

My

* Ripartizione dello sforzo è costante

·

P N *X

...

. . . . . . . . . . . . . Na

I Baricentrica

Y(m)

6

Azione assiale x =

Taglio

Momento flettente sz

Momento torcente .......... 6x

* * Y

X

-

Sforzo Deformazione 66x

6x6y )6x67

6 0 & k

&

dx i - -

x = =

= =

&

& & E

E

&

& & St

0

& & a Non ho degli scorrimenti perché non ho

A delle tao nello sforzo

Stato di sforzo che corrisponde ad un’azione di tipo assiale

EX: !

seker

& F

quanto

I Y

- I D

z ~

↑

↑

↑ y

M 38

·

5) P

M

TX

&

7 m Z

8

alluminio

eda

~ ~Artin

↓ i

-

& &A

I 51 ↑

?

↳etwor ↑

9 116mm

, A

&

A

Im ! 30

..............

I -- 18

ruuuuuuuuuuuuuu

F

F 10000N Ear=

200000mpr Ma

e

: addoo

= = ;

D

Piani num esser

Sforze

MEN

Il

&

-

6 MP

IODDDD 3

3

- =-

1X ,

10 30

. 54P

111

100000

62 = -

x =

- ,

30

T ·

A 107

61x 83

Six 16

3 1

- - -

, = ,

= = ZODDDD

E -

66x 6 104)

(

(1 ( 1 37 1

1

33

0 16

- .

- - - . .

- =

= ,

= ,

,

=

E

51z dix

= 10

f(x

fex 111 5 2 02

- -

, -

= =

= ,

7OODD

EAl =

12.10)

(

)(x 10

52y 6

5 z 67

33

0 2

- .

- - -

= =

=

= , , ,

51x 107 10

>Al

bl 3xxl 1

1 116mm

0

16 1000 16

-

= - -

-

.

=

= =

=

, ,

= ,

le 10 1

Alz

(2x 112 11m

12

&2x 2 12 700 -

= = .

- . = ,

= = ,

12

1

52 11 1

116 526mm

0 =

+ ,

,

= ,

LEZIONE 9

FLESSIONE RETTA

Prendiamo un generico concio di trave, noto il baricentro G della mia sezione posso sempre

definire una terna principale di assi d’inerzia.

Se i momenti flettenti sono orientati come gli assi principali d’inerzia della sezione parliamo di

flessione retta (evidenziato in verde). Se invece il momento, fa sempre parte degli assi principali

flessione deviata, evidenziato in rosso

d’inerzia ma non è orientato come loro allora parliamo di

(posso comunque ricondurmi alla flessione retta scomponendo rispetto agli assi e

applicando la sovrapposizione degli effetti).

.......

I

S Esiste in ogni sezione una fibra

................

! 0 (insieme di elementi infinitesimi), che

Y

Il or si trova ad una determinata

↳ My condizione che rimane indeformata e

asse neutro (passa

prende il nome di

X

-

I per il baricentro della mia sezione).

~My B

Traccia baricentrica

della sezione I

Vista da x

Vista laterale da y

-

se

te Az

Fibre Az .

C Z

* tese

Fibre

0

~

x

- - - - -

- . . .

-

. . . . . . . . . X Asse neutro

p ...

compresse Y

Fibre D

. . . . . . . . .

Gi L compresse

Fibre

I + se z va sopra l’asse

- se z va sotto l’asse

↑ 0

t)

0(s

O (

8 L + - z

- =

A = = OS

Lo S

"

O = centro di curvatura Curvatura asta inflessa 1

Me l

-

1

6x 6x Na

M8 485

ME-t

Ed am

= = = =

= X = E

EJw Jr-w

S .

Rigidezza flessionale della trave - Deformazione

-

-

-

- 6x

................... &

&

>

- E -16

&

Sforzo E

6x &&

Gx

6x1 ⑨e

D & -16x

& & E

Sezione rettangolare GrAx Z

Az *

~

/

E

"C C h

↳

- b

6M8

Grx Nu

M8 h

M8 NOK !

z =

= =

= bh2

64522 mum"

Ir-n 2

un

M8 6M8

Smir z = -

= bh2

Ir-n

Sezione circolare 6x

S

sz

Z

8 W

?

S ↳Y I

* ↳

X

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-

My My

M0 32My

SMAx= 48 b

z =

= . Id

*

Ir-n 2

Id

67

48z 32M8

Grin -

= = Id

Ir-n

Sezione rettangolare at Z ~

* My

spich =h

= 2

Y

D

................ ·

- ~

. . . . . . . .

-7

..................

n6

-

3

6x

Assiale: F

= bb h

6F

6x F E E

6fh 0

f >

=> + = -

= =

z

= + . 6

bh

bh8 bb

bh

M0z

Flessionale: fhz

6x ne

=

= Ir-n bh

C I La eguaglio a zero

-

6M1 6fh 37

= =

bh" bb

2bh

6fh

6x . 27

= = bb

2

bl -

- -

e -

- -

26 -

- -

= -

Grx I

I =

=

Gri=f= E

-

Un asse di simmetria sarà sicuramente un asse principale d’inerzia ma non è vero il viceversa

LEZIONE 10

L’azione assiale, quando essa è baricentrica, la distribuzione degli sforzi può considerarsi costante e

quindi abbiamo delle sigma assiali uniformemente distribuite lungo la sezione.

momento flettente puro,

La ripartizione di un ovvero un momento flettente costante nel concio di

trave e quindi non associato alla presenza di uno sforzo di taglio.

Le valutazioni che faremo oggi non sono generiche e non valgono per ogni tipo di sezione

RIPARTIZIONE DI SFORZI CHE CORRISPONDONO AD UN’AZIONE DI TAGLIO

Vista laterale

& 0

0 A

37 :

6 G ⑰Y

I

p

. . . . . . . . . . . . . ⑳

- - -

Vista laterale Immaginiamo di avere un’azione di

taglio Tz, che deve essere equilibrata

nell’equilibrio alla traslazione,

I

↓ * Tz

Tz ·

*

-

G

↳ Cubetto che uso

Per valutare lo sforzo di taglio dobbiamo fare 2 ulteriori ipotesi limitative, cioè che l’azione di taglio

deve essere orientata come un asse di simmetria.

2 ipotesi:

1) Tz orientata secondo asse di simmetria

2) sezione compatta (piena): significa che non posso avere cavità all’interno della sezione

JOURAWSKY

se io ho una sezione compatta e con un asse di simmetria, lo stato di sforzo che corrisponde ad

un’azione di taglio, se io vado a prendere un cubetto orientato come xyz; la ripartizione di questa

azione di taglio da luogo a delle sollecitazioni tangenziali tao

⑲ Sforzo

" Deformazioni

....... I

Yxz O

0

&

in -Y

G &

00

⑰Y

x . . . . . . . Izx Uzx

&& & &

③X

51 =

Uxx Uex

= :

Vista da y - ↓Z

Yzx Per effetto di queste tao ho uno scorrimento, quindi una variazione

In angolare, evidenziata in viola

A Le tao portano ad una variazione di volume ma lasciano inalterata la

[xz lunghezza delle fibre

* -X

*

Queste tao le considero positive perché se prendo una qualsiasi faccia e guardo com’è orientata la

normale rispetto all’asse parallelo effettivamente se la normale è concorde la tanò è concorde con il

suo asse parallelo.

Lo stato di sforzo nella sua rappresentazione matriciale dipende dal sistema di riferimento in cui lo

guardo. =7

Nel caso di JOURAWSKY se prendo una strisciolina ad altezza z

Momento statico

↑ num

Tz N =M

0 T(z) 5(z) .

-

= A

b) I im num

Az

- Momento d’inerzia di tutta

G la sezione rispetto asse Le tao sono costanti in y e variabili in z

⑳ baricentrico y

y deve essere

perpendicolare

b(z) all’azione di taglio

Corda

SEZIONE RETTANGOLARE JOURAWSKY

nella sezione rettangolare le cose sono più semplici perché effettivamente io al bordo devo sempre

avere la tao che è orientata come la tangente della mia sezione

-

~

- -

- Ebb

- b. :

El

~

Z

* - =

za

h Y

A

6 Devo fare il momento statico di

b quest’area evidenziata in rosso,

rispetto all’asse baricentrico y

Generica quota z e i

Il

In !

I(z) = =

b 1

.

=(4) 5))

z(4) 0

0 = =

= =

te

T- 3 Te

= =

SEZIONE CIRCOLARE JOURAWSKY

Trxx A Inesa

= 3

0

0

0

0

0 0

0 0

La sezione deve essere assialsimmetrica, può non essere compatta, quindi posso avere delle cavità

ma deve anche loro essere assialsimmetriche. Sistema di

riferimento

2

x & polare

nZ

sz & Exe

&

-

14 &

00

A A ⑧ Mt

A'

. . . . . . . . . . .

- - -

- - - ab

a

G Al ~

I 6 Trx &

&

X

W

~ ⑰

17 AD PX ⑧

...........

. . . . . . . . . . . . . . . . . G ·

↳ I

~

W

Momento torcente orientato come x -

de

Le sezioni ruotano, secondo l’asse di applicazione del momento, tenendosi tutte parallele a se

stesse. Quindi il punto A andrà in un punto A’. Quindi ho una deformazione puramente di

scorrimento, cioè io faccio scorrere la sezione l’una sull’altra senza alterare la lunghezza delle fibre

nella direzione assiale.