Costruzione di macchine

=C

∆ ε N

p f

In particolare, Coffin e Manson ricercavano un esponente universale D e un coefficiente C correlato alla duttilità,

ottenendo che per una grande varietà di metalli, l’esponente varia da -0,5 a -0,7. Tale legge trova la sua principale

applicazione nella LCF, e dimostra che la relazione deformazione durata può essere modellata tramite legge di potenza;

in una sua formulazione alternativa:

∆ ε p c

=ε' ( )

2 N

f f

2

L’equazione deformazione durata fu sviluppata negli anni ‘60 grazie al lavoro di

Morrow, Landgraf, etc; dal ciclo di isteresi, avremo che:

Sostituendo in questa equazione i valori di ampiezza di

tensione ricavata dalla legge di Basquin, e di ampiezza di

deformazione plastica ricavata da Coffin-Manson, otterremo

l’equazione deformazione-durata ricercata:

Dove:

Dall’equazione si vede come la parte elastica e la parte plastica

dell’ampiezza di deformazione siano due rette a pendenza

negativa (diversa) in scala semilogaritmica; l’ampiezza di

sollecitazione totale è data dalla combinazione delle due, come

mostrato graficamente nella figura a destra. Per basse durate

(LCF) predomina la deformazione plastica, mentre per alte

durate (HCF) predomina la deformazione elastica. Questo metodo permette quindi la caratterizzazione delle proprietà di

fatica di un materiale per tutto l’intervallo della durata, il che risulta essenziale nel caso di storie di carico ad ampiezza

ε’

variabile. È un modello a quattro parametri (σ’ , b, , c), che permettono una migliore interpolazione dei dati, e può

f f

essere usato per una grande varietà di metalli (i dati deformazione durata seguono, per molti materiali, una curva anche

in scala bilogaritmica). L’intersezione tra le curve elastica e plastica rappresenta la durata di transizione Nt, in

corrispondenza della quale il ciclo di isteresi stabilizzato ha eguali componenti di deformazione elastica e plastica. Nt

può essere calcolata eguagliando le due parti dell’equazione: per gli acciai, la durata di transizione diminuisce

all’aumentare della durezza. La durata di transizione può essere usata per determinare l’importanza della deformazione

plastica per una particolare applicazione di progetto a fatica (oltre che come punto di separazione tra LCF e HCF); si

noti inoltre che nella regione HCF, per gli acciai, il modello strain-life, che si riferisce sia alla resistenza che alla

duttilità del materiale, coincide con in modello stress-life (curve di Wohler), che si riferisce solo alla resistenza del

materiale (nell’area HCF, la deformazione plastica è molto bassa); inoltre il modello strain-life non include il

comportamento limite di fatica, il che è più appropriato per applicazioni ad ampiezza variabile.

Vediamo ora come interpretare i dati del metodo strain-life; durante le prove, il provino può non separarsi

completamente, pertanto la durata di un provino 2Nf viene posta uguale alla durata di innesco della cricca in un

componente 2Ni. Per determinare la durata a fatica 2Nf si può osservare il livello di tensione, assumendo come punto di

collasso una perdita di carico del 20% (si tenga conto del fenomeno di softening), oppure osservare la lunghezza del

difetto, assumendo come punto di collasso la formazione di una cricca di data lunghezza, tipicamente 1 mm; tale

lunghezza può quindi essere usata come lunghezza iniziale nell’analisi di propagazione del difetto. La raccolta dei dati

viene effettuata nei seguenti step: 1) selezionare opportuni livelli di ampiezza di deformazione; 2) condurre prove in

campo elastico per determinare il modulo di elasticità per ogni provino; 3) condurre prove e registrare l’ampiezza di

sollecitazione, e dunque 4) condurre prove fino al collasso; 5) determinare la deformazione plastica attraverso

ε’

l’equazione del ciclo di isteresi stabilizzato; 6) determinare le proprietà deformazione durata (σ’ , b, , c) e le proprietà

f f

cicliche tensione deformazione (K’,n’) attraverso l’analisi di regressione. (VEDI VARI ESEMPI SLIDE 6)

5.2.3 Effetto della tensione media

La maggior parte delle prove deformazione durata sono effettuate con ciclo alterno simmetrico, tuttavia, i carichi di

servizio possono determinare una tensione media diversa da zero il cui effetto sulla curva deformazione durata è quello

illustrato in figura. In particolare, nel caso LCF la tensione

media ha uno scarso effetto sul comportamento a fatica, mentre

nel caso di HCF, una tensione media di compressione migliora la

resistenza a fatica, mentre qualla di trazione la peggiora. Questo

si verifica poiché nel caso di LCF, l’elevata deformazione

plastica causa il rilassamento della tensione media, che tende a

zero: pur avendo una storia di deformazioni ad alto valor medio

di trazione, il ciclo di isteresi è quasi alterno simmetrico. Il grado di rilassamento della tensione media dipende dal

materiale e dall’entità della deformazione plastica (rilassamento e softening sono fenomeni diversi) ma questa viene

generalmente trascurata nell’analisi strain-life, essendo l’ampiezza di deformazione il termine più importante per

caratterizzare il danneggiamento del materiale. Per tener conto dell’effetto della tensione media, si utilizza l’equazione

di Morrow, proposta inizialmente per modificare l’equazione tensione

σ' b

¿ −σ

f

(¿ )(2 )

N

0 f

durata: . Il termine della tensione media è

∆σ =¿

2

applicato solo al termine elastico dell’equazione Strain-Life:

La rappresentazione grafica dell’effetto della tensione media di trazione è visibile nel diagramma a lato; tale metodo ci

dice che il rapporto tra deformazione plastica ed elastica dipende dalla tensione media, cosa non vera: i cicli di isteresi

pertanto hanno stessa forma, ma sono spostati nel piano tensione deformazione.

Un altro modo per tener conto dell’effetto della tensione media è l’equazione di Smith-Watson-Topper, che usa la

tensione massima del ciclo d’isteresi in luogo della tensione media; per un ciclo alterno-simmetrico:

ε-N

Moltiplicando l’equazione per questo termine, otterremo:

L’equazione ha forma generale:

Indefinita quando la tensione massima è negativa; l’interpretazione fisica è che non si ha danneggiamento da fatica

quando la tensione massima è minore di 0.

5.2.4 Effetto di carichi ad ampiezza variabile

Per tener conto di carichi ad ampiezza variabile possiamo avvalerci dell’ipotesi del Miner; i dati di cui abbiamo bisogno

sono: storia di carico (in servizio) del componente, dati di base (ad ampiezza costante) del materiale (curve stress-life e

strain-life). La storia di carico deve essere correlata ai dati del materiale; per farlo, è necessario dare una definizione di

danneggiamento e stabilire un metodo per riconoscere l’evento di danneggiamento in una storia di carico, estraendo da

questa eventi ad ampiezza costante della storia di carico reale (metodo di conteggio dei cicli), oltre alla definizione di

un metodo che permetta di sommare il danneggiamento progressivo del materiale (metodo lineare).

Per quanto riguarda il calcolo del tempo di propagazione, il parametro danneggiamento viene in genere posto pari alla

lunghezza della cricca: questa ha il vantaggio di poter essere direttamente misurata, pertanto l’analisi della durata può

essere combinata con i metodi di ispezione, oltre a permettere la previsione di intervalli di ispezione, ritirando

eventualmente i pezzi danneggiati. Per l’analisi del tempo di innesco della cricca, il danneggiamento dipende da effetti

microscopici (moto dislocativo, slip bands, microcricche) ed è pertanto difficile da analizzare; quindi in genere si

assume il danneggiamento pari alla “frazione di vita usata”; in tal caso, la durata sarà pari alla durata necessaria per il

collasso di un provino caricato in controllo di tensione o di deformazione. Nell’ipotesi di danneggiamento lineare, si

definisce il rapporto tra i cicli n/N, dove n è il numero di cicli applicati al livello di carico considerato, mentre N è il

numero di cicli a rottura a tale livello di carico. Definita la frazione di danneggiamento, si ha rottura quando

∑ D ≥1

Nel caso di ipotesi lineare di danneggiamento, la frazione di danneggiamento i-esima per il livello di tensione i-esimo è

pari al rapporto tra i cicli i-esimo. L’ipotesi alla base di tale ragionamento è che un dato carico causa lo stesso

danneggiamento indipendentemente dalla sua posizione nella storia di carico, cioè si trascura l’effetto della sequenza.

L’ipotesi di Miner, più precisamente, dice che si ha il collasso quando la sommatoria dei rapporti tra i cicli è maggiore o

tuttalpiù uguale ad una costante C, variabile tra 0,5 e 2 (prove sperimentali); per una storia di carico casuale, C è circa

unitaria. Questo implica che il metodo del danneggiamento lineare, pur è essendo molto semplice, funziona solo per

storie di carico casuali, ed è necessario utilizzare altri metodi per quei casi ove l’effetto della sequenza di carico

dev’essere tenuto in conto. In ogni caso, è possibile utilizzare un valore conservativo della costante C (0,2-0,3) a scopi

progettuali. Dato quindi un tipico spettro di carico, questo può essere ridotto, tramite il metodo del conteggio dei cicli

ad una serie di eventi ad ampiezza costante; lo spettro di carico così ottenuto può quindi essere combinato con la regola

del Miner e il modello carico durata opportuno (Stress-life o Strain-life) per calcolare la durata a fatica di un

componente. (VEDI ESEMPI SLIDE 7 DA PG 27

5.2.5 Effetti della sequenza di carico

La sequenza di carico ha vari effetti:

sulla tensione media locale; per tenerne conto, possiamo usare le equazioni cicliche tensioni deformazioni e di isteresi:

o le equazioni Deformazione durata, considerando anche la tensione media:

Effetti di sovraccarico: sovraccarichi periodici causano la perdita del comportamento a fatica:

l’uso del limite di fatica (Se) per storie ad ampiezza variabile (con tensioni >Se) è

problematico e può condurre a previsioni non conservative della durata;

l’equazione deformazione durata mostra un continuo decremento per durate

elevate.

Accumulo del danneggiamento: si ha generalmente in storie di carico ben definite (basso-alto o alto-basso), quando si

ha un carico sul componente che varia a gradino durante la vita di servizio. Per tenerne conto, possiamo utilizzare

modelli di propagazione della cricca, o la regola del danneggiamento lineare, unitamente ad una costante di Miner

appropriata (C>1 nel caso basso-alto, C<1 nel caso alto-basso carico), o anche at