Costruzione di macchine

POLITECNICO DI TORINO

I F I

ACOLTÀ DI NGEGNERIA

C L M I M

ORSO DI AUREA AGISTRALE IN NGEGNERIA ECCANICA

C COSTRUZIONE DI MACCHINE

ORSO DI

A A 2012/2013

NNO CCADEMICO

RIASSUNTI

Docente:

Prof. Ing. Giovanni Belingardi

Allievo:

Galletta Michele

INDICE

1CONTATTO TRA CORPI SOLIDI: TEORIA DI HERTZ..........................................................................................4

1.1Casi particolari............................................................................................................................................................8

1.2Tensioni ideali...........................................................................................................................................................13

2Ruote dentate..................................................................................................................................................................15

2.1Ingranaggi cilindrici denti dritti................................................................................................................................15

2.2Spessore del dente – Profilo ad evolvente.................................................................................................................18

2.3Condizioni di non interferenza..................................................................................................................................19

2.4Strisciamento Specifico.............................................................................................................................................21

2.5Dimensionamento ruote............................................................................................................................................22

2.5.1Metodo di Lewis................................................................................................................................................23

2.5.2Limitazione della massima pressione specifica.................................................................................................28

2.6Ruote corrette............................................................................................................................................................33

3MECCANICA DELLA FRATTURA LINEARE ELASTICA...................................................................................37

3.1Introduzione..............................................................................................................................................................37

3.2La teoria di Griffith...................................................................................................................................................39

3.3Stato di tensione all’apice della cricca......................................................................................................................41

3.3.1Lastra piana con difetto a tutto spessore............................................................................................................43

3.3.2Lastra piana con due difetti ai lati......................................................................................................................44

3.3.3Lastra piana con difetto laterale.........................................................................................................................44

3.3.4Trave inflessa con difetto laterale......................................................................................................................44

3.3.5Provino di trazione CTS....................................................................................................................................45

3.3.6Difetto di tipo ellittico in piastra infinita...........................................................................................................45

3.3.7Difetto superficiale di tipo ellittico....................................................................................................................45

3.4Stato di deformazione all’apice del difetto...............................................................................................................46

3.4.1Raggio Plastico..................................................................................................................................................46

3.4.2COD – CTOD....................................................................................................................................................49

3.5Tenacità alla frattura..................................................................................................................................................50

3.5.1Determinazione sperimentale della tenacità alla frattura...................................................................................50

3.6Caratterizzazione dei difetti......................................................................................................................................54

3.7Applicazione della MFLE al progetto e alla verifica................................................................................................55

3.8Propagazione del difetto sotto carichi ciclici............................................................................................................57

3.8.1Legge di Paris....................................................................................................................................................57

3.8.2Effetto della tensione media...............................................................................................................................60

3.8.3Previsione della durata: carico ad ampiezza costante........................................................................................61

3.8.4Previsione della durata: carico ad ampiezza variabile.......................................................................................62

3.8.5Schema di integrazione lineare nel caso di carico random................................................................................64

4PIASTRE E GUSCI........................................................................................................................................................65

4.1Piastre........................................................................................................................................................................65

4.1.1Trave di De Saint-Venant...................................................................................................................................65

4.1.2Piastra rettangolare............................................................................................................................................66

4.1.3Teorema di Meusnier.........................................................................................................................................67

4.1.4Piastre Circolari.................................................................................................................................................67

4.1.5Equazioni d’equilibrio.......................................................................................................................................69

4.1.6Condizioni al contorno.......................................................................................................................................70

4.2Gusci..........................................................................................................................................................................72

4.2.1Equazioni di equilibrio.......................................................................................................................................73

4.2.2Applicazioni.......................................................................................................................................................74

5FATICA DEI MATERIALI...........................................................................................................................................77

5.1Introduzione..............................................................................................................................................................77

5.2Fatica a basso numero di cicli...................................................................................................................................80

5.2.1Relazione tensione-durata..................................................................................................................................80

5.2.2Relazione deformazione-durata.........................................................................................................................82

5.2.3Effetto della tensione media...............................................................................................................................84

5.2.4Effetto di carichi ad ampiezza variabile.............................................................................................................85

5.2.5Effetti della sequenza di carico..........................................................................................................................86

5.2.6Metodi di conteggio dei cicli.............................................................................................................................87

6PROGETTO....................................................................................................................................................................89

6.1Ruote cilindriche.......................................................................................................................................................89

6.1.1Dimensionamento statico a flessione – Metodo di Lewis.................................................................................91

6.1.2Dimensionamento a pressione statica – contatto hertziano...............................................................................92

6.1.3Dimensionamento a fatica per flessione............................................................................................................93

6.1.4Dimensionamento a fatica per pressione di contatto – verifica a Pitting...........................................................96

6.1.5Limitazione delle strisciamento specifico........................................................................................................101

6.2Ruote coniche..........................................................................................................................................................102

6.3Dimensionamento alberi.........................................................................................................................................103

6.3.1Calcolo dei carichi agenti sul sistema..............................................................................................................103

6.3.2Verifica a fatica multiassiale............................................................................................................................103

6.3.3Intensificazione delle tensioni.........................................................................................................................106

6.4Scelta e montaggio cuscinetti..................................................................................................................................107

1 CONTATTO TRA CORPI SOLIDI: TEORIA DI HERTZ

La teoria di Hertz permette il calcolo delle tensioni e delle deformazioni che si producono premendo l'uno contro l'altro

due corpi elastici curvi. Esempi di tale contatto sono quello tra due denti di una ruota dentata o quello tra camma e rullo,

dove si ha un contatto di puro rotolamento accompagnato da strisciamento relativo; i problemi che nascono per tali

tipologie di contatto sono quelli statici quale l’usura adesiva e quelli legati alla fatica, quale il pitting o vaiolatura della

superficie. Si tratta di un problema di elasticità non lineare in quanto il contatto non avviene in un punto o lungo una

retta (il che porterebbe la tensione a infinito), ma su di un’area la cui estensione aumenta in funzione del carico

applicato: non si ha pertanto diretta proporzionalità tra forza applicata e tensione. Le ipotesi di base della teoria sono le

seguenti: le superfici a contatto sono continue (non puntuali) e possono essere rappresentate da polinomi; solidi

omogenei ed isotropi; perfetta elasticità del materiale; le superfici non sono in moto relativo tra loro, che equivale

all’ipotesi di assenza di forze d'attrito; superficie di contatto piccola rispetto alle dimensioni dei due corpi a contatto.

Geometria della zona di contatto: Dato un punto P non singolare di una superficie S1, siano: A il piano tangente ad

S1 in P, N la normale in P ad S1, T una generica retta in A e passante per P, B un

piano per T e normale ad A. La misura di quanto una superficie si discosti

dall’essere piana viene detta curvatura, che può essere definita in modi diversi a

seconda dell'ente geometrico cui è applicata. Il modello più semplice di misura

della curvatura è offerto dalla circonferenza: circonferenze con raggio maggiore

hanno una curvatura minore, e viceversa. La curvatura della circonferenza viene

allora definita come il reciproco del suo raggio .

1

ρ=± R

La retta, che si può identificare con la circonferenza di raggio infinito, ha curvatura nulla. Su una superficie

bidimensionale, la curvatura varia a seconda della direzione in cui viene calcolata, ma è possibile darne una misura a

partire da alcune direzioni significative; si considerano tutti i piani passanti per la normale alla superficie in P:

l'intersezione di ogni piano con la superficie determina una curva piana di cui è possibile calcolare la curvatura, con la

seguente convenzione: la curvatura è positiva se la curva devia nello stesso verso della normale, negativa nel caso

opposto (mentre i raggi di curvatura sono sempre positivi per definizione – sono lunghezze – la curvatura è una

grandezza definita in modo differenziale ed è una grandezza con segno). I valori massimi e minimi di curvatura così

ottenuti sono detti curvature principali, le rispettive direzioni sono dette direzioni principali. Detti R e R

11 12

rispettivamente raggi di curvatura massimo e minimo della superficie in P e dunque ρ e ρ le curvature minime e

11 12

massime, per il teorema di Eulero il raggio di curvatura R, in P, di una curva ottenuta come intersezione di S1 con un

piano per N e che forma un angolo φ con il piano che individua R è dato da:

11

Scelto un sistema di riferimento cartesiano x, y, z con origine in P e con z coincidente con N, x e y individuano allora il

1 1

piano tangente ad S per P. L'equazione della superficie S1, nel sistema di riferimento x, y, z è un polinomio del

1 1

tipo:z =f(x,y); In assenza di singolarità di S1 in P si ha:

1 ∂ ∂

( )= ( )= ( )=0

f x , y f x , y f x , y

∂x ∂x

Come già detto, il contatto hertziano è un fenomeno locale, circoscritto in una piccola zona a ridosso del punto di

contatto, ovvero in un suo intorno; pertanto è possibile studiare la superficie interessata tramite lo sviluppo in serie di

Taylor (troncato al secondo ordine) nell’intorno di P, di coordinate x ,y , della funzione che la descrive. Otterremo:

0 0

1 1

' ' '' 2 '' 2 ''

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

≅ + −x + + + + (x

z f x , y f x , y x f x , y y− y f x , y x−x f x , y y− y f x , y

0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 xx 0 0 0 yy 0 0 0 xy 0 0

2 2

' '

( ) ( )=0;

=0

f 0,0 ; f 0,0

Per definizione di piano tangente si ha: x y

e per come è stato scelto il sistema di riferimento, x =0; y =0 => f(x ,y )=0, possiamo scrivere:

0 0 0 0

1 1

' ' 2 ' ' 2 ' '

( ) ( ) ( )

≅ + +f

z f 0,0 x f 0,0 y 0,0 xy

xx yy xy

2 2

Se l’intorno del punto P considerato è molto piccolo, le due superfici in esame presentano in tale zona pendenza molto

piccole; in tal caso, le derivate seconde della funzione f assumono il significato di curvature: l’equazione diventa:

Se gli assi x,y coincidono con le tangenti principali si ha:

Ponendo in contatto con S1 in P un'altra superficie S2, i piani tangenti alle due superficie e le normali coincideranno. La

distanza AB = z - z di due punti delle superficie S e S che giacciono su di una retta parallela alla normale N in P può

1 2 1 2

essere descritta in diversi modi, a seconda del sistema di riferimento:

 riferimento per ciascuna superficie agli assi x1, y1 e x2, y2 coincidenti con le tangenti principali:

 riferimento ad un unico sistema di assi x, y con z coincidente con N1:

 riferimento ad un unico sistema di assi x*, y* opportunamente orientato:

Con riferimento al piano tangente le relazioni che legano tra loro i due sistemi di riferimento principali ed il sistema di

riferimento x*, y* sono:

Sostituendo nella (1) i valori di x ,y ,x ,y , e svolgendo i passaggi matematici (vedi slide pg 16-20) si ottiene:

1 1 2 2

Risolvendo il sistema si hanno i valori di C e D per calcolare la distanza AB:

Il piano z = 0 passa per P e, dato che i due corpi non possono compenetrarsi dev’essere:

allora sia C che D devono avere lo stesso segno di z1 - z2

l’equazione rappresenta perciò una ellisse luogo dei punti di S e S giacenti su rette parallele a z e aventi la stessa

1 2

distanza tra loro. Se si ammette che i due corpi premuti tra loro vengano a contatto contemporaneamente in punti

equidistanti, allora la proiezione su di un piano perpendicolare a z del

luogo dei punti di contatto è una ellisse di cui ω’ (rotazione di x*, y*

rispetto a x , y ) fornisce l'orientazione del semiasse maggiore rispetto al

1 1

piano di curvatura principale del corpo delimitato da S . Si può pertanto

1

prevedere che due corpi elastici a contatto, premuti l'uno contro l'altro si

scambieranno, attraverso una superficie ristretta (di forma generalmente

ellittica) delle pressioni la cui risultante sarà appunto la forza applicata. Immaginiamo ora di applicare separatamente

questa distribuzione di pressione ai due corpi; siano α e α gli spostamenti di P, w e w gli spostamenti di un altro

1 2 1 2

punto nell'area di contatto e distanti inizialmente z e z dal piano tangente. Quando i corpi saranno a contatto dovrà

1 2

essere: => (1)

È