Costruzione di macchine

Politecnico di Torino

Facoltà di Ingegneria

C.L.M. in Ingegneria Meccanica

Anno Accademico 2012/2013

Riassunti

Docente: Prof. Ing. Giovanni Belingardi

Allievo: Galletta Michele

Indice

• Contatto tra corpi solidi: teoria di Hertz..........................................................................................4
• Casi particolari............................................................................................................................................................8
• Tensioni ideali...........................................................................................................................................................13
• Ruote dentate..................................................................................................................................................................15
• Ingranaggi cilindrici denti dritti................................................................................................................................15
• Spessore del dente – Profilo ad evolvente.................................................................................................................18
• Condizioni di non interferenza..................................................................................................................................19
• Strisciamento specifico.............................................................................................................................................21
• Dimensionamento ruote............................................................................................................................................22
• Metodo di Lewis................................................................................................................................................23
• Limitazione della massima pressione specifica.................................................................................................28
• Ruote corrette............................................................................................................................................................33
• Meccanica della frattura lineare elastica...................................................................................37
• Introduzione..............................................................................................................................................................37
• La teoria di Griffith...................................................................................................................................................39
• Stato di tensione all’apice della cricca......................................................................................................................41
• Lastra piana con difetto a tutto spessore............................................................................................................43
• Lastra piana con due difetti ai lati......................................................................................................................44
• Lastra piana con difetto laterale.........................................................................................................................44
• Trave inflessa con difetto laterale......................................................................................................................44
• Provino di trazione CTS....................................................................................................................................45
• Difetto di tipo ellittico in piastra infinita...........................................................................................................45
• Difetto superficiale di tipo ellittico....................................................................................................................45
• Stato di deformazione all’apice del difetto...............................................................................................................46
• Raggio plastico..................................................................................................................................................46
• COD – CTOD....................................................................................................................................................49
• Tenacità alla frattura..................................................................................................................................................50
• Determinazione sperimentale della tenacità alla frattura...................................................................................50
• Caratterizzazione dei difetti......................................................................................................................................54
• Applicazione della MFLE al progetto e alla verifica................................................................................................55
• Propagazione del difetto sotto carichi ciclici............................................................................................................57
• Legge di Paris....................................................................................................................................................57
• Effetto della tensione media...............................................................................................................................60
• Previsione della durata: carico ad ampiezza costante........................................................................................61
• Previsione della durata: carico ad ampiezza variabile.......................................................................................62
• Schema di integrazione lineare nel caso di carico random................................................................................64
• Piastre e gusci........................................................................................................................................................65
• Piastre........................................................................................................................................................................65
• Trave di De Saint-Venant...................................................................................................................................65
• Piastra rettangolare............................................................................................................................................66
• Teorema di Meusnier.........................................................................................................................................67
• Piastre circolari.................................................................................................................................................67
• Equazioni d’equilibrio.......................................................................................................................................69
• Condizioni al contorno.......................................................................................................................................70
• Gusci..........................................................................................................................................................................72
• Equazioni di equilibrio.......................................................................................................................................73
• Applicazioni.......................................................................................................................................................74
• Fatica dei materiali...........................................................................................................................................77
• Introduzione..............................................................................................................................................................77
• Fatica a basso numero di cicli...................................................................................................................................80
• Relazione tensione-durata..................................................................................................................................80
• Relazione deformazione-durata.........................................................................................................................82
• Effetto della tensione media...............................................................................................................................84
• Effetto di carichi ad ampiezza variabile.............................................................................................................85
• Effetti della sequenza di carico..........................................................................................................................86
• Metodi di conteggio dei cicli.............................................................................................................................87
• Progetto....................................................................................................................................................................89
• Ruote cilindriche.......................................................................................................................................................89
• Dimensionamento statico a flessione – Metodo di Lewis.................................................................................91
• Dimensionamento a pressione statica – contatto hertziano...............................................................................92
• Dimensionamento a fatica per flessione............................................................................................................93
• Dimensionamento a fatica per pressione di contatto – verifica a Pitting...........................................................96
• Limitazione delle strisciamento specifico........................................................................................................101
• Ruote coniche..........................................................................................................................................................102
• Dimensionamento alberi.........................................................................................................................................103
• Calcolo dei carichi agenti sul sistema..............................................................................................................103
• Verifica a fatica multiassiale............................................................................................................................103
• Intensificazione delle tensioni.........................................................................................................................106
• Scelta e montaggio cuscinetti..................................................................................................................................107

Contatto tra corpi solidi: teoria di Hertz

La teoria di Hertz permette il calcolo delle tensioni e delle deformazioni che si producono premendo l'uno contro l'altro due corpi elastici curvi. Esempi di tale contatto sono quello tra due denti di una ruota dentata o quello tra camma e rullo, dove si ha un contatto di puro rotolamento accompagnato da strisciamento relativo; i problemi che nascono per tali tipologie di contatto sono quelli statici quale l’usura adesiva e quelli legati alla fatica, quale il pitting o vaiolatura della superficie. Si tratta di un problema di elasticità non lineare in quanto il contatto non avviene in un punto o lungo una retta (il che porterebbe la tensione a infinito), ma su di un’area la cui estensione aumenta in funzione del carico applicato: non si ha pertanto diretta proporzionalità tra forza applicata e tensione.

Le ipotesi di base della teoria sono le seguenti: le superfici a contatto sono continue (non puntuali) e possono essere rappresentate da polinomi; solidi omogenei ed isotropi; perfetta elasticità del materiale; le superfici non sono in moto relativo tra loro, che equivale all’ipotesi di assenza di forze d'attrito; superficie di contatto piccola rispetto alle dimensioni dei due corpi a contatto.

Geometria della zona di contatto

Dato un punto P non singolare di una superficie S1, siano: A il piano tangente ad S1 in P, N la normale in P ad S1, T una generica retta in A e passante per P, B un piano per T e normale ad A. La misura di quanto una superficie si discosti dall’essere piana viene detta curvatura, che può essere definita in modi diversi a seconda dell'ente geometrico cui è applicata. Il modello più semplice di misura della curvatura è offerto dalla circonferenza: circonferenze con raggio maggiore hanno una curvatura minore, e viceversa. La curvatura della circonferenza viene allora definita come il reciproco del suo raggio.

1ρ=± R

La retta, che si può identificare con la circonferenza di raggio infinito, ha curvatura nulla. Su una superficie bidimensionale, la curvatura varia a seconda della direzione in cui viene calcolata, ma è possibile darne una misura a partire da alcune direzioni significative; si considerano tutti i piani passanti per la normale alla superficie in P: l'intersezione di ogni piano con la superficie determina una curva piana di cui è possibile calcolare la curvatura, con la seguente convenzione: la curvatura è positiva se la curva devia nello stesso verso della normale, negativa nel caso opposto (mentre i raggi di curvatura sono sempre positivi per definizione – sono lunghezze – la curvatura è una grandezza definita in modo differenziale ed è una grandezza con segno). I valori massimi e minimi di curvatura così ottenuti sono detti curvature principali, le rispettive direzioni sono dette direzioni principali. Detti R e R11 12 rispettivamente raggi di curvatura massimo e minimo della superficie in P e dunque ρ e ρ le curvature minime e11 12 massime, per il teorema di Eulero il raggio di curvatura R, in P, di una curva ottenuta come intersezione di S1 con un piano per N e che forma un angolo φ con il piano che individua R è dato da:

Scelto un sistema di riferimento cartesiano x, y, z con origine in P e con z coincidente con N, x e y individuano allora il piano tangente ad S per P. L'equazione della superficie S1, nel sistema di riferimento x, y, z è un polinomio del tipo:

z =f(x,y); In assenza di singolarità di S1 in P si ha:

1 ∂ ∂( )= ( )= ( )=0f x , y f x , y f x , y∂x ∂x

Come già detto, il contatto hertziano è un fenomeno locale, circoscritto in una piccola zona a ridosso del punto di contatto, ovvero in un suo intorno; pertanto è possibile studiare la superficie interessata tramite lo sviluppo in serie di Taylor (troncato al secondo ordine) nell’intorno di P, di coordinate x ,y , della funzione che la descrive. Otterremo:

0 0 1 1' ' '' 2 '' 2 ''( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )≅ + −x + + + + (xz f x , y f x , y x f x , y y− y f x , y x−x f x , y y− y f x , y0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 xx 0 0 0 yy 0 0 0 xy 0 02 2' '( ) ( )=0;=0f 0,0 ; f 0,0Per definizione di piano tangente si ha: x ye per come è stato scelto il sistema di riferimento, x =0; y =0 => f(x ,y )=0, possiamo scrivere:0 0 0 01 1' ' 2 ' ' 2 ' '( ) ( ) ( )≅ + +fz f 0,0 x f 0,0 y 0,0 xyxx yy xy2 2Se l’intorno del punto P considerato è molto piccolo, le due superfici in esame presentano in tale zona pendenza molto piccole; in tal caso, le derivate seconde della funzione f assumono il significato di curvature: l’equazione diventa:

Se gli assi x,y coincidono con le tangenti principali si ha: Ponendo in contatto con S1 in P un'altra superficie S2, i piani tangenti alle due superficie e le normali coincideranno. La distanza AB = z - z di due punti delle superficie S e S che giacciono su di una retta parallela alla normale N in P può essere descritta in diversi modi, a seconda del sistema di riferimento:

• Riferimento per ciascuna superficie agli assi x1, y1 e x2, y2 coincidenti con le tangenti principali:
• Riferimento ad un unico sistema di assi x, y con z coincidente con N1:
• Riferimento ad un unico sistema di assi x*, y* opportunamente orientato:

Con riferimento al piano tangente le relazioni che legano tra loro i due sistemi di riferimento principali ed il sistema di riferimento x*, y* sono: Sostituendo nella (1) i valori di x ,y ,x ,y , e svolgendo i passaggi matematici (vedi slide pg 16-20) si ottiene: Risolvendo il sistema si hanno i valori di C e D per calcolare la distanza AB: Il piano z = 0 passa per P e, dato che i due corpi non possono compenetrarsi dev’essere: allora sia C che D devono avere lo stesso segno di z1 - z2 l’equazione rappresenta perciò una ellisse luogo dei punti di S e S giacenti su rette parallele a z e aventi la stessa distanza tra loro. Se si ammette che i due corpi premuti tra loro vengano a contatto contemporaneamente in punti equidistanti, allora la proiezione su di un piano perpendicolare a z delluogo dei punti di contatto è una ellisse di cui ω’ (rotazione di x*, y* rispetto a x , y ) fornisce l'orientazione del semiasse maggiore rispetto al1 1 piano di curvatura principale del corpo delimitato da S . Si può pertanto1 prevedere che due corpi elastici a contatto, premuti l'uno contro l'altro si scambieranno, attraverso una superficie ristretta (di forma generalmente ellittica) delle pressioni la cui risultante sarà appunto la forza applicata. Immaginiamo ora di applicare separatamente questa distribuzione di pressione ai due corpi; siano α e α gli spostamenti di P, w e w gli spostamenti di un altro1 2 1 2 punto nell'area di contatto e distanti inizialmente z e z dal piano tangente. Quando i corpi saranno a contatto dovrà essere: => (1)