Convezione (tesi orale)

Premessa

Scopo di questa tesi sarà di presentare, qualitativamente, il fenomeno della trasmissione di calore per convezione dal punto di vista fluidodinamico, concentrandoci sul legame che unisce il moto di un fluido sulla superficie e i flussi termici associati al gradiente di temperatura. Partendo dall'equazione di Newton per il raffreddamento, spiegheremo le variabili caratterizzanti il problema, per poi passare allo studio dello strato limite (dinamico e termico) nel caso della lastra piana, il quale ci consentirà di sviluppare un'analogia fra trasporto di quantità di moto ed il trasporto d'energia, a seconda del tipo di moto (laminare o turbolento) o della causa del moto (convezione naturale o forzata).

N.B: Le conoscenze di fluidodinamica saranno date per acquisite oppure non verranno spiegate in dettaglio. Per ogni riferimento consultare gli appunti del corso di fluidodinamica.

Introduzione

La convezione riguarda lo scambio termico fra un fluido e la superficie di un corpo solido, fra fluido e fluido (nel caso siano immiscibili) oppure fra un liquido e un aeriforme. A livello microscopico i meccanismi di scambio energetico sono i medesimi della conduzione; infatti se il fluido è in quiete il flusso di calore convettivo equivale a quello conduttivo. Questo significa che a contraddistinguere la convezione saranno i termini di trasporto macroscopico dovuto al moto (CONVEZIONE = CONDUZIONE + TRASPORTO ENERGIA = fenomeno termofluidodinamico).

Appurato che è necessario avere il fluido in moto relativo con la superficie, diverse possono essere le cause di esso, tramite le quali possiamo distinguere fra:

• Convezione forzata: il moto è causato da un lavoro esterno (es: ventilatori, pompe...) e le caratteristiche termofisiche vengono considerate costanti, valutate ad una temperatura media.
• Convezione naturale o libera: le caratteristiche termofisiche del fluido sono costanti, ad eccezione della densità, che varia con la temperatura. Il moto è causato dal gradiente di densità, dipendente dal gradiente di temperatura, e dall'azione di una forza di volume, quale la gravità.

N.B: In realtà le due convezioni non sono mai separate, ad eccezione di casi rarissimi, ma gli effetti di una delle due possono essere di un ordine di grandezza differente dall'altra così da poterne trascurare gli effetti.

La convezione all'interfaccia fluido-superficie interessa la parte di fluido radente essa di uno spessore molto sottile, all'interno del quale possiamo avere, a seconda del numero di Reynolds, regime laminare o turbolento.

• Strato limite laminare: abbiamo conduzione all'interfaccia e in ottima approssimazione anche a livello molecolare.
• Strato limite turbolento: il contributo dei termini di trasporto è più elevato a causa dei vortici di mescolamento. La turbolenza aumenta la potenza termica convettiva scambiata.

Il problema della convezione: il numero di Nusselt

Prendiamo in considerazione la legge di Newton per la convezione (equazione semi-empirica basata sulla proporzionalità di tutti i fenomeni convettivi con una temperatura a contorno e una caratteristica del fluido):

   q h dA T Tc c sq

dove q = potenza termica specifica scambiata fra superficie e fluido, h = "coefficiente convettivo locale", T_s = temperatura della superficie (locale), T_∞ = temperatura flusso "indisturbato". Integrando l'equazione sulla superficie, considerandola isoterma, abbiamo:

    q h (T T ) dA (T T ) h dA c c s s cA A1 h h dAc cA A  q h A T Tc c sq K

dove q = "flusso temico medio convettivo", e dove K = "conduttanza convettiva".

N.B: In analogia con la legge di Ohm è possibile definire una resistenza termica convettiva, paragonando q ad I (corrente elettrica= flusso di densità di corrente) e la d.d.p alla differenza di temperatura (che sono le cause dei rispettivi flussi).

1 V   q T ( I )c R Rc 1Rc h Ac

Ai fini pratici ci interessa sapere la potenza scambiata media, che dipende dalla conduttanza media convettiva. Il problema della convezione si riduce proprio alla ricerca di una espressione analitica relativamente semplice di questa che la colleghi alle altre variabili caratteristiche. Trovare i vari valori di h non è per niente semplice poiché è una funzione molto complessa e non uniforme sulla superficie delle proprietà termiche, della geometria e della fluidodinamica del sistema. Considerando il fluido che lambisce la superficie, la condizione di aderenza ci suggerisce che il flusso convettivo sia equivalente a quello conduttivo. Quindi si può scrivere:

 q T    c h (T T ) K c s A y y 0 y 0

Introducendo la lunghezza caratteristica del sistema ed essendo dT= d(T-T_s):

  T (T T )  s   yh h T TL      y 0c c sL     yK L T T K    s   L y 0h L cN u K

Def : N = "Numero di Nusselt" = h L/K = Indice, adimensionale, del coefficiente di convezione. Fisicamente rappresenta il rapporto fra il flusso effettivamente scambiato per convezione e quello che verrebbe trasmesso per conduzione nell'ipotesi di fluido fermo. N.B: il Numero di Nusselt è un valore >1. Assume il valore unitario nel caso di pura conduzione.

Strato limite termico

Si definisce strato limite termico, analogamente allo strato limite dinamico, la regione di fluido attorno alla superficie, di spessore molto piccolo, oltre il quale le caratteristiche termofisiche del fluido sono prossime a quelle asintotiche.

Def : _t = "Spessore dello strato limite termico" = distanza dalla superficie tale che:

 T T t 0,99T Ts

Def : _t* = "Spessore strato stagnante" = spessore in cui il calore è trasmesso principalmente per conduzione (analogo allo "spessore di spostamento" dello strato limite dinamico).

  (T T )     sq h T T K c c s *tK L  h N c u* *t t

Utilizzando la definizione di quest'ultimo possiamo vedere che lo spessore stagnante è direttamente collegato a _t* alla conduttanza convettiva: diminuendo _t* aumenta la potenza termica trasmessa e viceversa. Per diminuire lo spessore dello strato stagnante possiamo aumentare velocità e turbolenza del flusso.

Determinazione numero di Nusselt

Il modo più "semplice" e conveniente per determinare il numero di Nusselt, e quindi trovare il coefficiente di convezione, è quello di compiere un'analisi dimensionale raggruppando le variabili in gruppi adimensionali attraverso il teorema di Buckingham, per poi combinare i risultati con quelli provenienti dagli esperimenti. Con questo metodo evitiamo di risolvere complesse equazioni. Necessaria è però una conoscenza teorica del fenomeno per applicare in modo mirato il teorema suddetto.

n = { l, K, v, ρ, c_p, h } = variabili fisiche del problema
m = { L, M, T, t } = dimensioni fondamentali  7-4 = 3 gruppi adimensionali -----> F(  l  a b c d e pf gK v c hPrendiamo il generico e sostituiamoci le dimensioni:ca -1 -3 b -1 c -3 d -1 -1 e 2 -1 -2 f -1 -3 g[] = [L] [MLT t ] [LT ] [ML ] [ML t ] [L T t ] [MT t ]Imponendo che la somma degli esponenti delle singole dimensioni fondamentali sia nulla imponiamo anche l'adimensionalità alla grandezza Siamo di fronte a un sistema di 4 equazioni in 7 incognite:

   b d e g 0       a b c 3d e 2 f 0      3b c e 2 f 3 g 0     b f g 0 Dobbiamo quindi dare arbitrariamente un valore