Convezione (tesi orale)

INTRODUZIONE

La convezione riguarda lo scambio termico fra un fluido e la superficie di un corpo solido, fra fluido e fluido

(nel caso siano inmiscibili) oppure fra un liquido e un aereoforme. A livello microscopico i meccanismi di

scambio energetico sono i medesimi della conduzione, infatti se il fluido è in quiete il flusso di calore convettivo

equivale a quello conduttivo. Questo significa che a contraddistinguere la convezione saranno i termini di

trasporto mascroscopico dovuto al moto (CONVEZIONE = CONDUZIONE + TRASPORTO ENERGIA = fenomeno

termofluidodinamico).

Appurato che è necessario avere il fluido in moto relativo con la superficie, diverse possono essere le cause di

esso, tramite le quali possiamo distinguere fra:

- CONVEZIONE FORZATA: il moto è causato da un lavoro esterno ( es: ventilatori, pompe...) e le caratteristiche

termofisiche vengono considerate costanti, valutate ad una temperatura media.

- CONVEZIONE NATURALE O LIBERA: le caratteristiche termofisiche del fluido sono costanti, ad eccezione della

densità, che varia con la temperatura. Ilmoto è causato dal gradiente di densità, dipendente dal gradiente di

temperatura, e dall'azione di una forza di volume, quale la gravità.

N.B: In realtà le due convezioni non sono mai separate, ad eccezione di casi rarissimo, ma gli effetti di una delle

due possono essere di un ordine di grandezza differente dall'altra così da poterne trascurare gli effetti.

La convezione all'interfaccia fluido-superficie interessa la parte di fluido radente essa di uno spessore molto

sottile, all'interno del quale possiamo avere, a seconda del numero di Reynolds, regime laminare o turbolento.

- STRATO LIMITE LAMINARE: abbiamo conduzione all'interfaccia e in ottima approssimazione anche a livello

molecolare.

- STRATO LIMITE TURBOLENTO: il contributo dei termini di trasporto è più elevato a causa dei vortici di

mescolamento. La turbolenza aumenta la potenza termica convettiva scambiata.

IL PROBLEMA DELLA CONVEZIONE: IL NUMERO DI NUSSELT

Prendiamo in considerazione la legge di Newton per la convezione (equazione semi-empirica basata sulla

proporzionatilà di tutti i fenomeni convettivi con una temperatura a contorno e una caratteristica del fluido):

 

  

q h dA T T



c c s

q

dove = potenza termica specifica scambiata fra superficie e fluido, h = "coefficiente convettivo locale", T =

c c s



temperatura della superfice (locale), T temperatura flusso "indisturbao". Integrando l'equazione sulla



superfice, considerandola isoterma, abbiamo:

 

   

q h (

T T ) dA (

T T ) h dA

 

c c s s c

A A

1 



h h dA

c c

A A

 

 

q h A T T



c c s

q <h A> K

dove = "flusso temico medio convettivo", e dove = ="CONDUTTANZA CONVETTIVA".

c c c

N.B: In analogia con la legge di Ohm è possibile definire una resistenza termica convettiva, paragonando q ad I

(corrente elettrica= flusso di densità di corrente) e la d.d.p alla differenza di temperatura (che sono le cause dei

rispettivi flussi). 

1 V

   

q T ( I )

c R R

c 1



R

c h A

c

Ai fini pratici ci interessa sapere la potenza schambiata media, che dipende dalla conduttanza media

convettiva. Il problema della convezione si riduce proprio alla ricerca di una espressione analitica relativamente

semplice di questa che la colleghi alle altre variabili caratteristiche. Trovare i vari valori di h non è per niente

c

semplice poichè è una funzione molto complessa e non uniforme sulla superficie delle proprietà termiche, della

geometria e della fluidodinamica del sistema. Considerando il fluido che lambisce la superficie, la condizione di

aderenza ci suggerisce che il flusso convettivo sia equivalente a quello conduttivo. Quindi si può scrivere:



 

q T

   

 

c h (

T T ) K

 

c s

 

A y

 

y 0 y 0

Introducendo la lunghezza caratteristica del sistema ed essendo dT= d(T-Ts):

  



T (

T T )

 

 s

 

 

 

y

h h T T

L 

     

y 0

c c s

L  

 

  

y

K L T T K  

  



s  

 

L

 



y 0

h L

 c

N u K

Def : N = "NUMERO DI NUSSELT" = h L/K = Indice, adimensionale, del coefficiente di convezione.

u c

Fisicamente rappresenta il rapporto fra il flusso effettivamente scambiato per convezione e quello che

verrebbe trasmesso per conduzione nell'ipotesi di fluido fermo.

N.B: il Numero di Nusselt è un valore >1. Assume il valore unitario nel caso di pura conduzione.

STRATO LIMITE TERMICO

Si definisce strato limite termico, analogamente allo strato limite dinamico, la regione di fluido attorno alla

superficie, di spessore molto piccolo, oltre il quale le caratteristiche termofisiche del fluido sono prossime a

quelle asintotiche.

Def :  = "SPESSORE DELLO STRATO LIMITE TERMICO" = distanza dalla superficie tale che:

t  





T T 

t 0

,

99



T T



s

Def : 

t* = "SPESSORE STRATO STAGNANTE" = spessore in cui il calore è trasmesso principalmente per

conduzione (analogo allo "spessore di spostamento" dello strato limite dinamico).



  (

T T )

     s

q h T T K

 

c c s *

t

K L

  

h N

 

c u

* *

t t

Utilizzando la definizione di quest ultimo possiamo vedere che lo spessore stagnante è direttamente collegato



t*

alla conduttanza convettiva: diminuendo aumenta la potenza termica trasmessa e viceversa. Per diminuire

lo spessore dello strato stagnante possiamo aumentare velocità e turbolenza del flusso.

DETERMINAZIONE NUMERO DI NUSSELT

Il modo più "semplice" e conveniente per determinare il numero di Nusselt, e quindi trovare il coefficente di

convezione, è quello di compiere un'analisi dimensionale raggruppando le variabili in gruppi adimensionali

attraverso il teorema di Buckingham, per poi combinare i risultati con quelli provenienti dagli esperimenti. Con

questo metodo evitiamo di risolvere complesse equazioni. Necessaria è però una conoscenza teorica del

fenomeno per applicare in modo mirato il teorema suddetto.



n = { l, K, v, , c , h } = variabili fisiche del problema

p c

m = { L, M, T, t } = dimensioni fondamentali

  

7-4 = 3 gruppi adimensionali -----> F(

  

l  

a b c d e pf g

K v c h

Prendiamo il generico e sostituiamoci le dimensioni:

c

a -1 -3 b -1 c -3 d -1 -1 e 2 -1 -2 f -1 -3 g

[] = [L] [MLT t ] [LT ] [ML ] [ML t ] [L T t ] [MT t ]

Imponendo che la somma degli esponenti delle singole dimensioni fondamentali sia nulla imponiamo anche



l'adimensionalità alla grandezza Siamo di fronte a un sistema di 4 equazioni in 7 incognite:

   



b d e g 0

      

 a b c 3

d e 2 f 0

      

3

b c e 2 f 3 g 0



    

 b f g 0 

Dobbiamo quindi dare arbitrariamente un valore a tre dei sette esponenti e questa scelta, come accennavamo

sopra, è dettata sia dall'esperienza che dalla conoscenza del fenomeno. I gruppi adimensionali risultanti dal

problema sono: NUMERO DI NUSSELT, NUMERO DI REYNOLDS e NUMERO DI PRANDTL.

 

     

F ( ; ; ) 0 N f R ; P

1 2 3 u e r

N.B: Ricordiamo che il numero di Prandtl è il rapporto fra le due proprietà di trasporto molecolare: VISCOSITA' (

 C

o DIFFUSIVITA') CINEMATICA, , che determina il profilo di velocità, e DIFFUSIVITA' TERMICA, ,

p

che determina il profilo di temperatura. In altre parole il numero di Pr mette in relazione il campo di velocità e

di temperatura nello strato limite.  decrescono

P K

(per i gas perfetti P è circa costante: per l'aria = 0,72-0,73, mentre per i liquindi, dove e con

r

r

T P

, sarà una funzione decrescente della temperatura)

r STRATO LIMITE TERMICO LAMINARE SU LASTRA PIANA

Riprendiamo la teoria dello strato limite, in particolare lo studio di Blasius per la lastra piana. Valgono quindi le

stesse ipotesi della teoria fluidodinamica: fluido bidimensionale, incomprimibile (M<0,4), forze di massa nulle

(siamo in convezione forzata), ingombro della lastra nullo (spessore lastra+spessore strato limite = 0), (/L)<<1.

In più consideriamo il flusso stazionario per semplificare le equazioni. Le equazioni di moto e di conservazione

di massa dello strato limite sono:  

 u v

  0

  

x y



    2

u u u



 



u v

   2

x y y



 

p 

 0



 y

Manca però il bilancio energetico, che in forma entalpica assume la forma:

 

h h

 

   

u v div (q )

 

x y

N.B: il termine di pressione Dp/Dt è trascurabile per la stazionarietà, per il bilancio di moto lungo y e a causa

dell'ipotesi di ingombro trascurabile.

Ed introducendo le equazioni di stato del fluido:





h c T 

p  

   

 2 3

u T T T 

  

      

  

c u v K t u

   

xy p v i

2

 

y x y y i

 

i 1



   

q K T

N.B: il termine in x del laplaciano può essere trascurato secondo un analisi dimensionale.

 IPOTESI DI BASSE VELOCITA':

PER VELOCITA' BASSE POSSIAMO TRASCURARE L'INCREMENTO DI ENERGIA INTERNA DOVUTA AL LAVORO

DELLE FORZE VISCOSE:    2

T T T



 

u v

   2

x y y

dove il primo membro mi rappresenta il termine di trasporto (che come si può notare dipende fortemente dalla

soluzione dell'equazione del moto), mentre il secondo il termine di diffusività termica.

P R

N.B: possiamo vedere la dipendenza dell'equazione dai due gruppi adimensionali ( ; ), ponendola in forma

r e

adimensionale. Lo facciamo introducendo le variabili adimensionali:



T

~ 