Convezione - Fisica tecnica

DESCRIZIONE DELLA SITUAZIONE

Si immagini che da sinistra ci sia una sorta di ventilatore che produrrà una certa velocità che indichiamo con (il

pedice non indica che la velocità è infinita, ma nella convezione il simbolo indica “indisturbato”).

∞

Questa velocità sarà indisturbata fino a quando non incontrerà la piastra (immaginiamo di accendere un ventilatore

a sinsitra della scrivania: l’aria viaggia indisturbata fino a quando non incontra la superficie della scrivania).

A partire dal Bordo di Attacco ( e fino a esisterà una zona che nominiamo Zona Laminare.

= 0) =

Se infatti consideriamo la velocità e una piastra, si osserva l’insorgere di un campo di velocità che avrà, ad

esempio, ad una quota una distribuzione di questo tipo: cioè in quella sezione le velocità avranno un andamento

,

come quello indicato:

Si immagini di trovarsi in un letto di un fiume: i nostri piedi inizialmente sono sulla parte solida del fiume (quindi i

piedi avranno una quando e per qualsiasi

= 0 = 0 )

Man mano che l’acqua del fluido raggiunge punti più alti del corpo, si avverte che questa velocità aumenta ma lo può

fare fino a non superare il valore di velocità indisturbata:

All’esterno della curva formata dai punti rossi la velocità è indisturbata e quella curva è nota come Strato Limite

Idrodinamico.

Si definisce Strato Limite Idrodinamico quell’altezza in corrispondenza della quale il valore della velocità è

()

pari al 99% del valore della velocità indisturbata: ()|

= 0,99

Abbiamo quindi capito che se prendiamo una piastra piana, la velocità del fluido, prima che questo incontri la

piastra, si muoverà sempre con un valore indisturbato (valore nominale).

La presenza della piastra farà sì che la velocità rallenti e insorga una zona nota come Stato Limite Idrodinamico, cioè

quell’altezza in corrispondenza della quale troviamo una serie di punti per i quali i valori della velocità sono pari al

99% della velocità indisturbata.

In una generica sezione avremo una distribuzione della velocità tale per cui:

=0→ =0

= → = 0,99

Questa distribuzione è dovuta al fatto che i fluidi che stiamo considerando sono Fluidi Newtoniani, cioè fluidi per i

quali se la velocità va da sinistra verso destra, quando il fluido è a contatto con la superficie ruvida, avremo delle

forze di attrito (più specificatamente una tensione, cioè una forza per unità di superficie) che, in un fluido

newtoniano, seguono la legge:

= − ∙

≔ à

Più il Coefficiente di Viscosità Dinamica è alto e maggiore sarà l’attrito che il fluido incontrerà nel muoversi al di

sopra della piastra (relativamente alle velocità).

Nella Zona Laminare il fluido si muove come se avessimo tante lamine (o fogli sottili) che si muovono l’uno sull’altro.

Lungo la direzione ortogonale si ha un profilo di velocità , che è proprio la componente di velocità prevalente:

≫

Inoltre, vale che:

≫

Questo significa che se ad esempio prendiamo un punto e un punto sopra la piastra, spostandoci di un

∆,

quello che accade è che:

≅

Quindi non c’è grande variazione della velocità nel punto A e nel punto B e questo ci porta a dire che:

( ) ( )

= ≅ = → ≅

Se invece consideriamo rispetto :

∗

≫

Vediamo cosa succede in termini di temperatura, supponendo che sulla piastra ci sia una temperatura uniforme e

all’esterno una temperatura indisturbata , succederà che il sistema avrà una zona che nomineremo Spessore dello

Strato Limite Termico per cui avremo una distribuzione della temperatura caratterizzata dal fatto che in tutti i

(),

punti in rosso succederà che: − = 0,99

−

Questo significa che le altezze sono definite come quelle altezze in corrispondenza delle quali, se si prende il

valore di temperatura e sottraiamo il valore di temperatura della piastra e rapportiamo questa quantità al

massimo gradiente di temperatura otterremo un valore di 0,99. L’insieme di questi punti in rosso si

( − ),

definisce proprio Spessore dello Strato Limite Termico.

Quindi nella Zona Laminare:

- Il moto prevalente è quello lungo

- Il fluido si muove per falde parallele

- Vale quanto detto sulle temperature

Superata la Zona Laminare ci sarà una Zona di Transizione, dove le velocità iniziano a diventare irregolari.

Dopodiché si ha la Zona Turbolenta, dove non si ha una sola componente di velocità (come accadeva nella zona

laminare in cui era prevalente ma si hanno si ha sia componente che e questo genererà dei vortici.

)

Questo fa si che la zona di Stato Limite Idrodinamico (curva tracciata precedentemente in blu) diventa in rosso e

denota sempre lo Stato Limite Idrodinamico, che è più alto e denota sempre che = 0,99

Il profilo di velocità, come si può osservare nello schema iniziale, è tale che, dopo una certa quota, la velocità è

prossima al 99% del valore indisturbato già molto prima.

Inoltre, nel moto turbolento, sia che sono la somma di una componente di velocità lungo e media e una

velocità oscillante: = + = +

Anche il profilo di temperatura sarà molto più omogeneo: ci sarà una prima zona in cui c’è della variabilità ma poi si

arriverà presto a convergenza fino ad individuare una serie di punti per i quali diremo che lo Spessore dello Strato

Limite Termico sarà tale che: () − = 0,99

−

Similmente a come accade nella Zona Laminare, nella Zona Turbolenta lo Spessore dello Strato Limite Termico è

caratterizzato dal fatto che il rapporto tra la temperatura tra tutti i punti in blu meno la temperatura sulla parete e

fratto il massimo gradiente di temperatura è pari a 0,99.

TROVARE LA FINE DELLA ZONA LAMINARE (UTILITA’ DEL NUMERO DI REYNOLDS)

Definiamo il Numero di Reynolds:

=

∙ ∙

=

Vale che: = 5 ∙ 10 = →=

Dove (" segna la fine della Zona Laminare

")

ESEMPIO

Consideriamo che si ha un fluido (aria) con e immaginiamo di avere una piastra con e

= 7/ = 80°

supponiamo che l’aria si trova ad una temperatura Vogliamo sapere dove termina la Zona Laminare.

= 20°.

Nella Tabella 10 delle Proprietà Termofisiche dell’Aria, possiamo ricavare e e lo faremo proprio in corrispondenza

della temperatura media (nota anche come Temperatura di Film):

+ 80 + 20

= = = ° = 50°

2 2

Dalla tabella non si individua proprio 50° (dovremmo interpolare tra 38 e 93), ma per semplicità consideriamo i valori

in corrispondenza di 38° e quindi = 1,136 = 1,91/10

Imponiamo che: = 5 ∙ 10 1,91

5 ∙ 10 ∙

∙ ∙ ∙ 10

= → = = = 1,2

∙ 1,136 ∙ 7

LEGAMI TRA STRATO LIMITE IDRODINAMICO E STRATO LIMITE TERMICO (UTILITA’ DEL NUMERO DI PRANDTL)

Definiamo ora il Numero di Prandtl: ∙

=

Questo numero si trova direttamente inserito nella Tabella 10 e per l’aria rimane costante per un valore di 0,72 da in

un campo che va da 0°C a 93°C.

Questo numero ci permette di capire se sarà più grande lo spessore dello strato limite idrodinamico o lo spessore

dello strato limite termico.

Varrà che: = 1 → =

< 1 → >

> 1 → <

Il Legame tra i due strati limiti è: = ∙ Pr (∗)

Considerando che: 5

()

= ( )

Varrà che, per la (∗): 5

() = ∙ Pr

POTENZA SCAMBIATA TRA PIASTRA CALDA E FLUIDO (UTILITA’ DEL NUMERO DI NUSSELT)

Consideriamo di avere una piastra calda (ad esempio, alla temperatura di e dell’aria a

= 100°) 20°,

supponendo anche di avere un certo Strato Limite Idrodinamico.

Ci si chiede quale possa essere la potenza termica tra questa piastra (che avrà una certa larghezza) e l’aria che si

trova al di sopra).

Per trovare una soluzione bisogna applicare la Legge di Newton:

=ℎ∙∙ −

Diventa complesso andare ad individuare il Coefficiente di scambio termico convettivo ℎ

Per arrivare a definire è necessario utilizzare il Numero di Nusselt:

ℎ ℎ

=

Si consideri che in Zona Laminare vale che:

( < 500000)

ℎ ,

= = 0,332 ∙ ∙ ( > 0,6)

, ,

ℎ = 0,332 ∙ ∙ ∙ ()

Vediamo l’andamento del Coefficiente di Scambio Termico Convettivo lungo la piastra.

Quando il coefficiente va ad infinito e poi tende a diminuire fintanto che rimaniamo nella zona laminare:

= 0

Dalla (): , ,

∙

∙ ∙

ℎ = 0,332 ∙ ∙ ∙

Ora, consideriamo che la potenza termica (se consideriamo la piastra fino ad una certa lunghezza la si può

)

esprimere in questo modo: = ℎ() () ∆

La piastra ha una sua larghezza (guarda la prima figura) e quindi vale che:

() = ∙

= ℎ()()∆ = ℎ() ∙ ∙ −

Ora dovremmo sostituire ad l’espressione illustrata, ma ciò complicherebbe troppo i calcoli, per cui andremo a

ℎ()

considerare un valore medio calcolato tra ed potendo quindi scrivere:

ℎ 0 ,

= ℎ()()∆ = ℎ() ∙ ∙ − =