Controllo ottimale

Controllo Ottimale

C'è poi un modo ulteriore di caratterizzare i sistemi di ottimizzazione

• inserire ulteriori vincoli [sulle variabili fisiche, di comando, o di stato]

Lo stato è vincolato su tutti gli istanti in cui avviene l'evoluzione.

_{vincoli sul comando.}

Dato, date una serie di comandi nel tempo, una sequenza di comandi definisce una strategia di controllo

1. Programmazione dinamica

soluzione dei problemi particolarmente interessante: applicazioni (con sistemi a stati prof.; con problemi di strategie di controllo quando ci sono vincoli particolarmente funzionali)

4. Ottimizzazione gerarchica per sistemi a grandi dimensioni (problemi reali, il numero di variabili incognite è molto alto) uso di algoritmi che riducono ad un capo i problemi di ottimo hanno lo sviluppo di una forte capacità di proprietà che cosa succede. I problemi reali presentano un certo universo di sys di funzionamento che sono abbastanza equivalenti tempo da loro.

È utile cercare di decomporre il sistema grande in una rete di sistemi + semplici e di utilizzare questa decomposizione in modo da esprimere 7 sottoproblemi di ottimizzazione ciascuno in modo comprensibile.

Grafo: rete di conversioni tra nodi (macchine) caratterizzati da

• capacità produttive
• magazzini

I nodi sono collegati da link lungo i quali i semilavorati vengono spostati.

Una struttura di questo genere introduce supplementi sulla dinamica del sistema: riempire i percorsi (es. di macchine produttivi che concorrono alla produzione del pezzo) dei semilavorati.

La dipendenza del servizio delle macchine è stato un andamento nel tempo dell'andamento dei buffer (nei casi vengono i luoghi "finiti").

Obiettivi: massimizzare la produzione in un orizzonte futuro, minimizzare gli immagazzinamenti (un pezzo immagazzinato è un costo x il gestore).

• I pezzi possono essere immagazzinati in modo continuo (nel quel caso occorrono previsioni x indirizzarvi i pezzi sui i percorsi) oppure a lotti o blocchi (alcatena "produttiva" il lotto e poi invilare ciascun pezzo di * percorsi).

esercizio: l'evoluzione del sistema è in tempi discreti.

Condizioni dinamiche e condizioni di vincolo: se il modello comprende

anche i vincoli:

• v₁(x(t)) > 0
• v₂(x(t)) > 0
• v₁(x(t)) + v₂(x(t)) ≤ r

allora: il modello può non essere lineare

Quando i vettori delle variabili che devono soddisfare i

vincoli diventano tali che i vincoli non sono più

soddisfatti a causa delle discontinuità nel modello, questo

può non essere lineare.

Se su questo modello applico un controllo di retroazione la

retroazione non ha più un funzionamento previsto perché

la retroazione viene applicata su un modello lineare.

Se definisco una strategia di controllo, posso includere in tale

strategia i vincoli e gestire il problema della non linearità.

CONTROSSLO IN RETROAZIONE

Per la retroazione uso come variabili di stato i livelli di

magazzino che sono misurabili e sui quali posso fare una

reazione negli stati.

1. tasso di reazione che assegnato alle macchine per

produrre pezzi delle famiglie a deve dipendere solo

dal livello di magazzino di a

analogamente per v₂

Faccio due retroazioni indipendenti

• v₁(x(t)) = k₁[x_r1(t) - x₁(t)]
• v₂(x(t)) = k₂[x_r2(t) - x₂(t)]
• x_r(t): livello di riferimento del magazzino

Il controllore ad ogni istante guarda lo stato e decide il

controllo di conseguenza, essendo presente un valore di stato di riferimento

Abbiamo scritto in modo logico il problema di ottimo, iniziamo di una tenera somma tipologia di controllo. Come funzioni la vecchia della somma di controllo e usato la scrittura in via, mettendo si ci siamo costruiti e formalizzarlo internamente, ottenendo una nuova scrittura (slide 14).

Dato specificare a)‹α, molte visibilità {duro spesso b) : vincoli di modello} creiamo la traiettorie cioè gli schiamanti della vico

PROBLEMA DI OTTIMIZZAZIONE

minimizzare j=I rispetto a v1,v2,t incognita in presenza di

• x₄ + w₁T - o1v1τ₁ o=0
• x₂ + w₂T - o2v2τ₁ o=0
• v1 + v2 ≤ l
• v1 ≥0 v2≥0

Non una dimensione di problema è facile, in z è anche ficile capire il tipo intermiento del problema, si poss fare una rappresentazione matematica

INDICE DI COMPORTAMENTO J : oggetto matematico funzione delle incognite V1 e V2 (C.c.h, che a sua volta dipende da V1 e V2)

È possibile, come nel caso monodimensionale, dare una rappresentazione grafica del su indice di comportamento.

j

L'indice di comportamento è una funzione di 2 variabile : qui cerco il punto nello sparo di 2 dimensioni che sono due soluzioni minimon o il vuoto delle funz vuoi che v'intende alla soluzione e animosillibità definita da

I vincoli semplificano sempre la ricerca dell'ottimo.

Tuttavia se i vincoli sono ben organizzati e la regione di ammissibilità è ben definita, allora il mio problema di ottimo si limita a cercare un certo insieme di vettori ammissibili.

Esempio

min(C₁x₁ + C₂x₂)

s.a

0 ∈ x₁ ∈ a₁

0 ∈ x₂ ∈ a₂

x₁ + x₂ ∈ b

La regione di ammissibilità è ben definita

x ∈ a₁ e a₂, a₁ ∈ b, a₂ ∈ b, x₁, x₂ e b sono molto piccoli.

Se la regione di ammissibilità è molto piccola, posso cercare non un ottimo, ma un valore che soddisfa i vincoli.

Ciò va molto bene + sistemi molto complessi, ma è condizionato dall'abilità del progettista di costruire vincoli coerenti

1) Problemi con vincoli

Il nostro obiettivo realistico non sarà cercare regioni di ammissibilità particolarmente belle, ci accontentiamo di onestare, non + giustificare.

Variabili di Lagrange

Possono + potere trasformare un problema di ottimizzazione vincolata in uno non vincolato.

Nel caso di costo quadratico il punto di stazionarietà è

l'origine, e nel caso di costo misto il punto di stazionarietà è nullo.

È interessante il caso in cui la matrice Q è diagonale, la

soluzione del problema di ottimo se il costo è quadratico puro o

della soluzione di un problema indipendente. Questo vale anche a un

problema quadratico misto con Q sempre diagonale.

Quando la soluzione completa è data dall'insieme delle soluzioni

marginali; questo è importante nei problemi di grandi dimensioni

in cui si ritiene utile di risolvere il tipo preliminare.

La considerazione del prodotto scalare produce della fattura del costo

puro del flusso semplice non: problema di ottimizzazione, sia

parametrico che dinamica.

11 MINIMIZZAZIONE SOGGETTA A VINCOLI DI UGUAGLIANZA

Il numero di condizioni da verificare aumenta notevolmente se

introduce dei vincoli, poiché tali vincoli introducono delle condizioni (...).

La soluzione del problema di ottimo in generale non corrisponde

a un punto della generale della incognita che soddisfa alle

condizioni di minimo o di massimo, ma che soddisfa anche a

delle condizioni di modello: il punto delle modifiche delle condizioni

di vincolo e a delle condizioni di ottimo che possono anc

non emerere quelle viti in precedenza.

È presso molto importante l'analisi preliminare delle funzioni

di costo: abbiamo il problema di ottimizzazione definito da

• costo
• vincolo di uguaglianza

Cerchiamo di capire cosa succede dal punto di vista logico

se in un problema si vuole il minimo del costo quadrato.

L(x) = _1/2 [x₁ x₂] [0 0]^T [x₁ x₂]

soggetto al vincolo lineare di uguaglianza

[1 1]^T [x₁ x₂] = L⁰