Controlli Automatici i e II - Appunti completi e esercizi

Controlli automatici

E-mail: imiani.stefano@univ.it

Website: www.diegm.univ.it/simoni

Sistemi lineari

x'(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)

Trasformata di Laplace

X(s) - x(0) = AX(s) + BU(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s)

X(s)Y(s) = [C(gammaI - A)^-1B + D]U(s) + C(gammaI-A)^-1x(0)

Inoltre, l'evoluzione libera tende asintoticamente a zero. Il tempo che si impiega a tendere a 0 dipende dagli autovalori.

Antitrasformata di Y(s)

y(t) = C ∫₀^t e^A(t-tau) B u(tau)d tau + D u(t)

Funzione di trasferimento (F.d.t.)

G(s) = C(gammaI-A)^-1B + D

C(gammaI-A)^-1B = C(adj_s(gammaI-A))/det(gammaI-A) B

Il tutto è uguale a [ m(s) ][ d(s) ] = [ ]ⁿ [ n₁(s) + D d(s) ] U(s)

Se D ≠ 0, il grado = grado D

Controlli automatici II

Sistemi lineari

X(t) = A X(t) + B U(t)
y(t) = C X(t) + D U(t)

Trasformata di Laplace

X(s) - x(0) = A X(s) + B U(s)
Y(s) = C X(s) + D U(s)

X Y(s) = [_C (s I - A)^-1 B + D] U(s) + C (s I - A)^-1 x(0)

Antitrasformata di Y(s)

y(t) = C ∫+ 0(t)

Funzione di trasferimento (F.d.t.)

G(s) = C (s I - A)^-1 B + D

Se D ≠ 0, grado n = grado D

u(t) = imp(t) ⇒ ∂(t)=1

f.d.t. = trasf. di Laplace della risposta all'impulso

impulso ⇒ S(t)
∫₀^tS(t)dt=1

Gradino ⇒ S_o(t) = 0 t<0
1 t≥0

Grado relativo = grado (Q) - grado (P)

Grado (μ) > grado (D) = SISTEMA IMPROPRIO

Cambiamento di base

X = T x̅
ẋ̅ = T^-1 ẋ = T^-1 (A x + B μ)
= T^-1 A T x̅ + T^-1 B μ

Es. ẋ = A x + B_u μ
| ẋ : || 0 1 | | x | | 0 ||
0 0 | | 1 | | μ |y = | 1 0 | x

Se suppongo di avere | x̅₁ | = | x₁ + 2x₂ || x̅₂ | = | x₂ |
= | 1 2 | | x₁ || 0 1 | | x₂ || T |x̅ = T x → x = T^-1 x̅

ẋ̅ = T^-1 ẋ = T (A x + B μ) = T^-1 A T x̅ + T^-1 B μ = A̅ + B̅

ẋ = Ax + Buz = Txx̂ = Âx + B̂uy = Cx + DuĜ(λ) = C(nI - Â)^-1B̂ + DC(T - (nI - TA^-1)^-1TB + DC(T^-1(TI - TAT^-1)^-1TB + DC(T(T(nI - A)T^-1)^-1TB + DC(T^-1T(nI - A)^-1T^-1TB + DC(nI - A)^-1B + D

Inviluppo

|ξ| < 1

Per passare da una rampa a inviluppo tra le due linee di Attivazione abbiamo che(n ≈ ρ ⁱ) pξ (n ≈ pⁱ + 1) = p_i(1 + n T_i) dove T_i = ¹/_ρi

ATT per il libro il polo si indica con -ρ_i

ATT Supponiamo di avere G(λ) = ^λ-1/_λ⁺¹ g = ; ρ⁼¹

Se n ≠ #1 mi toglie ∀n a più su ∀t limite μ = lim G(n)

Per avere stabilità asintotica (dipende solo dai p_i)T_i > 0 ... u.c.f: (1 + n T_i) → n = ^-1/_Tin_i² = 2ξ_iω_i ≠ 0

n_i-ξ_iω_i ± &sqrt;ξ²ω² - ω²1 - ξ_iω_i ± &sqrt;^ξ2-1 = -ξ_iω_i ± ω_i&sqrt;^1-ξ2

u(t) = _sₐ(t) ⇒ u(n) = ᵥy(n) = G(n) ᵥ [C(nI-A)⁻¹(B + I)] ᵥlimt→∞ y(t) = limn→∞ y(n) = limₐ(n) ᵥ = G(0)y(t) = limn→∞ [C(nI-A)⁻¹B + O] ᵥ = [-cAⁿ⁻¹B + O]

21-04-85

G{_αn³ + 3n² + n} = h(α)h(α) = h(α)n(α²+3α +1)

Ritardo

Se ho u₁(t) e u₂(t) allora g₁(t) = u₁(t-ƶ)g₂(t) = u₂(t-ƶ)u(t) = α u₁(t) + β u₂(t)y(t) = u(t-ƶ) = αu₁(t-ƶ) + βu₂(t-ƶ)

Il ritardo nella transf. di Laplace èX(t) ⟶ X(λ) [X(t-ƶ)] ⟶ ∫ x(t-ƶ)e^-nt dt= e^-nƶX(n)

P.s.t. t-ƶ=qd t = dqX(t-ƶ) ⟶ e^-nƶX(n)close e^-nƶ è la funzione di trasf. di ritardo.

Appello di Controlli Automatici 1, 02 Dicembre 2002

1. Si consideri il sistema ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t), dove A = _01-5