Controlli Automatici i e II - Appunti completi e esercizi

Controlli Automatici II

micini.stefano@unisi.it

www.deg.unisi.it/simoni

• Sistemi lineari

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

X(s) = (sI - A)^-1x(0) + (sI - A)^-1BU(s)

Y(s) = C(sI - A)^-1BU(s) + C(sI - A)^-1x(0)

- Antitrasformo

y(t) = C∫e^A(t-τ)Bu(τ)dτ + Du(t)

F.d.t. = G(s) = C(sI - A)^-1B + D

C(sI - A)^-1B = C(adj(sI - A)) / det(sI - A) B

• [ ]_l [ ]_m [ ]_n = 1 x 1

Da cui il tutto è uguale a

[n_r(s) / d_r(s) + D]U(s) è uno scalare

grado n

[n'_r(s) + D d₀(s)] / d(s) U(s)

Se D ≠ 0 grado n = grado D

u(t) = imp(t)

s(t) = u(t)

funz. trasf. di Laplace dell risposta all'impulso un impulso s(t)

ʃ δ(t) dt = 1

Se δ(t) =

• 0, t < 0
• 1, t ≥ 0

grado relativo = grado (Q) - grado (P)

grado (N) > grado (D) = sistema improprio

X = T x̅

x̅ = T^-1 X

^̅x = T^-1 x . [A x + Bμ]

= T^-1 A T^-1 X + T^-1 Bμ

NB Cambiamento di base

Es. x = A + Bu Grado che si trova sette attanto. Dipende della funzione

• x: [0 1; 0 0] x + u
• x₁ posizione
• x₂ velocità
• y = [1 0] x

Se sappiamo che avete x̅ = T x

x̅ = x₁ + 2x₂

x' [1 2; 0 1] = [x₁; x₂]

x̅ - T x ^→ x̅ = T^-1 x̅

^̅x - T x = T (A x + B u)

= T^-1 A T^-1 x̅ + T B u

A B

Appello di Controlli Automatici 1, 19 Dicembre 2002

1. Si consideri il sistema non lineare

   x₁(t) = x₂(t)[x₁²(t) - x₂³(t)] - 1

   x₂(t) = -x₂(t) + u(t)

   Si determinino i due stati di equilibrio x_eA ∈ R² e x_eF ∈ R² corrispondenti al valore dell'ingresso u = 1/3.

   Si analizzi la stabilità di ciascuno di tali punti di equilibrio (si assuma che x_eA è lo stato la cui prima componente è minore della prima componente di x_eF).

2. Si consideri il sistema la cui funzione di trasferimento è

   F(s) = (s² + 7s + 12) / (s² + 3s + 2)

   Calcolarne la risposta al gradino unitario con condizioni iniziali nulle.

3. Quali sono le condizioni sugli autovalori di una matrice A affinché esista k ≥ 0 tale che, per k ≥ 2, si abbia A^k = 0? Giustificare la risposta.

Appello di Controlli Automatici 1, 25 Marzo 2004

Esercizio 1

Si consideri il sistema la cui relazione ingresso-uscita è

y(s) = ₁/^{s - 2} u(s)

e il regolatore

u(s) = _{s + α}/^{s + β} [r(s) - y(s)]

• Si determini l'insieme dei valori di α e β per i quali il sistema risulta asintoticamente stabile ad anello chiuso.
• Si dica per quali valori (se ne esistono), detto e(t) = r(s) - y(s), si ha che

lim_t→∞ e(t) = 0.

Esercizio 2

Si consideri il sistema rappresentato dall'equazione non lineare

ẏ(t) = -ωy(t) - _γ/^{γ + y2(t)}

• Si scriva il sistema in variabili di stato e lo si linearizzi.
• Si dica per quali valori di γ il sistema linearizzato risulta asintoticamente stabile e la risposta libera e non presenta oscillazioni (anche se smorzate).

Esercizio 3

La stabilità nei sistemi lineari.

- Dato il controllore con e riferimento

abbiamo che:

Un sistema retroazionato per far diventare un sistema. Vediamo per quali

valori di k questo avviene:

Il denominatore mi dà i dell'anello retroazionato.

Quindi:

Per studiare la stabilità, studio il numeratore (ricordate che il tutto è un denominatore)

quindi:

Stabilità del sistema retroazionato.

Si considera il sistema la cui

- Calcolo della r.p. a gradino con (u=0).

dove è la Trasformata del gradino, quindi:

Con le formule dei residui calcoliamo e

Quindi:

y(t) è stabile e si comporta in questo modo:

non oscilla perché non si ha parte immaginaria

del 23-09-04

Es. 1 Dato il sistema

\[

\begin{cases}

x_1(t) = x_2(t) \\

\dot{x}_2(t) = \sen[x_1(t)] \left[ 2x_2(t) - (x_2(t))^3 + x_3(t) \right] \\

x_3(t) = -x_3(t) \\

y(t) = x_1(t)

\end{cases}

\]

1.1. linearizziamo il sistema nel punto di equilibrio t.c. \(\bar{x}_1 = \xi\)

\[

\begin{cases}

\dot{x}_2 = 0 \\

\sen \bar{x}_1 \, \bar{x}_2 - \frac{\bar{x}_2^3}{2} + \bar{x}_3 = 0 \\

-\bar{x}_3 - \bar{u} = 0

\end{cases}

\]

\( \bar{x}_1 = 0 \)

\[

\begin{cases}

\sen \bar{x}_1 - \bar{u} = 0 \\

\bar{x}_3 = -\bar{u}

\end{cases}

\]

\[

\begin{cases}

\bar{x}_2 = 0 \\

\bar{u} = \sen \bar{x}_1 = \sen \xi \\

\bar{x}_3 = -\sen \xi \\

\bar{x}_1 = \xi

\end{cases}

\]

Trovo la matrice \(A\) con \(x_1, x_1, x_3\) \((\omega + \xi = 0)\)

\[

A = \begin{bmatrix}

\frac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{x_3}} \\

\frac{\partial{g_2}}{\partial{x_1}} & \frac{\partial{g_2}}{\partial{x_2}} & \frac{\partial{g_2}}{\partial{x_3}} \\

\frac{\partial{g_3}}{\partial{x_1}} & \frac{\partial{g_3}}{\partial{x_2}} & \frac{\partial{g_3}}{\partial{x_3}}

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

0 & 1 & 0 \\

0 & \omega x_1 - 2 \cdot 3 x_2^2 & 1 \\

0 & 0 & -1

\end{bmatrix}\]

\( = \begin{bmatrix}

0 & 1 & 0 \\

1 & -2 & 1 \\

0 & 0 & -1

\end{bmatrix}\)

Troviamo anche le matrici \(B\) e \(C\) \((\Delta \neq 0 \, perché \, g \, non \, dipende \, da \, u)\)

\[

B = \begin{bmatrix}

0 \\

0 \\

-1

\end{bmatrix}\]

\[

C = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0

\end{bmatrix}\]

Δ = 0

n.b. Ordine di una eq. differ... derivata MASSIMA che compare

n.b. Le eq. indef. del sistema tengono conto dei loro infin. sia x_i(t) che y_i(t) dipendono da tutti

Def A questo punto possiamo descrivere i sistemi dinamici con questo due equazioni:

• x(t) = f(x(t); u(t))
• y(t) = g(x(t); u(t))

dove il secondo differenziale fornisce l'evoluzione temporale delle variabili che descrivono la situazione considerata. ** sistema è capace di determinare l'uscita ad un specifico istante di tempo. p.e. h.

Def Il sistema si dice puramente dinamico e strettamente proprio se la funzione g non dipende dall'ingresso ma solo da variabile h(t) Ls g = N grado D

p.e. al limite y(t) = g(h(t); t)

Vi è ancora il sistema si definisce differente

Def Il sistema si dice statico (statale) se non è necessaria l'utilizzo di variabile ad atampo pre descrivere il comportamento del modulo:

g(t) = g(u(t); t)

! è un caso particolare di un sistema differente

Def Il sistema è detto invariavante (stazionario) nel caso in cui le funzioni f e g non dipendono esattamente dal tempo. diritti:

• x(t) = g(x(t), u(t))
• y(t) = g(x(t), u(t))

ma gli legami tra C e variabile non variano!

Def Il sistema è variabile se anche una sola delle funzioni f o g dipende dal tempo

Es. x₁(t) = t x₂(t) + b₁(t)

g(t) = -

Def Quando le funzioni f e g sono lineari ... x e u il sistema si può scrivere nella forma:

• x(t) = A(t)x(t) + n(t)u(t)
• y(t) = C(t)x(t) + n(t)u(t)

SISTEMA LINEARE DIO INVARIANTE

dove le matrici A ∈ ℝ^n×l, B ∈ ℝ^l×m, C ∈ ℝ^n×r e Δ ∈ ℝ^n×m

n.b. Il sistema è lineare e invariato se A, B, C e Δ sono costanti!