Controlli Automatici - Appunti

Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Quaderno di appunti

Controlli Automatici

Federico Brunero

A.A. 2015-2016

Sommario

Questo quaderno di appunti ha l’intento di raccogliere le informazioni necessarie al supe-

ramento dell’esame di Controlli Automatici (6 CFU) del secondo anno di Ingegneria delle

Telecomunicazioni. Quanto riportato è frutto della rielaborazione delle lezioni tenute dal

prof. Alessandro Rizzo durante il secondo semestre dell’A.A. 2015-2016.

I

Indice

Sommario I

1 Introduzione ai sistemi di controllo 1

1.1 I sistemi automatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Le specifiche di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Tipi diversi di sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Schemi a blocchi 4

2.1 Convenzioni generali ed elementi base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Dall’equazione allo schema a blocchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Elaborazione di schemi interconnessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Calcolo di funzioni di sistemi interconnessi . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Modelli e modellistica 6

3.1 Modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Modelli in variabili di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Modelli ingresso-uscita (I/O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Variabili a TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.5 Modelli VS nel dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

s

4 Modellistica dei sistemi dinamici elettrici 10

4.1 Elementi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Rappresentazione in variabili di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Modellistica dei sistemi dinamici meccanici 12

5.1 Sistemi meccanici in traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.1.1 Elementi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.1.2 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.1.3 Rappresentazione in variabili di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2 Sistemi meccanici in rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2.1 Elementi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2.2 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2.3 Rappresentazione in variabili di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II

6 Modellistica dei sistemi elettromeccanici 16

6.1 Principi fisici di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.1.2 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.1.3 Coppia di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.1.4 Legge dell’induzione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.2 Motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.2.1 Parti principali di un DC-motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.2.2 Modello di un DC-motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.3 Modalità di funzionamento di un DC-motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.3.1 DC-motor con comando di armatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.3.2 DC-motor con comando di eccitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Proprietà strutturali 21

7.1 Modi propri e modi forzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.2 Analisi di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.2.1 Regola dei segni di Cartesio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.2.2 Criterio di Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.2.3 Criterio di Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.3 Controllabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.4 Osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8 Risposta in frequenza 25

8.1 Le fdt elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.2 DdB di poli complessi coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.3 Osservazioni importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9 Controllo in catena chiusa 27

9.1 Problema del controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.2 Fdt di catena aperta e catena chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.3 Diagramma di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9.4 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9.4.1 Calcolo del numero di giri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

N

9.4.2 Analisi della stabilità con il criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . 29

9.4.3 Estensione del criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

9.5 Sistemi con retroazione positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10 Le specifiche di controllo 1 32

10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.2 Le specifiche come . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

desiderata

10.3 Specifiche di stabilità e di stabilità robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10.4 Margini di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10.4.1 Stabilità robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10.4.2 Indicatori di robustezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10.4.3 Margine di guadagno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

III

10.4.4 Margine di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10.5 Stabilità dalla valutazione dei margini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.5.1 Molteplici punti a modulo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.5.2 (s) a non minima rotazione di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

G a

10.6 Legami fra e stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

M r

10.6.1 Legame fra e funzione d’anello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

M r

10.6.2 I luoghi a modulo costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.6.3 Robustezza della stabilità da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

M r

10.6.4 I luoghi a fase costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.7 Comportamento in regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.7.1 Specifiche in regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.7.2 Reiezione di disturbi in regime permanente . . . . . . . . . . . . . . 38

10.7.3 Precisione in regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.7.4 Funzione di trasferimento d’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

10.7.5 Errore in regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

10.7.6 Sistemi con zeri in = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

s

11 Le specifiche di controllo 2 41

11.1 Specifiche sulla risposta in transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11.1.1 Specifiche sulla precisione al transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11.1.2 Specifiche sulla risposta al gradino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11.2 Analisi della dipendenza di da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

W G a

11.2.1 funzione di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

W G

y a

11.2.2 in bassa e in alta frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

G a

11.2.3 funzione di in BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

W G

y a

11.2.4 funzione di in AF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

W G

y a

11.2.5 Poli in catena chiusa funzione di . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

G a

11.2.6 Parametri caratteristici di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

W y,rif

11.3 Relazioni notevoli per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

W rif

11.3.1 Relazioni notevoli per una generica . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

W

11.3.2 Relazione fra parametri caratteristici di e . . . . . . . . . . . 45

G W

a

11.4 Specifiche di precisione/rapidità in transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11.4.1 Errore di inseguimento in transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11.4.2 Riduzione di e di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

t s

s b IV

Capitolo 1

Introduzione ai sistemi di controllo

1.1 I sistemi automatici

Per sistemi automatici s’intendono sistemi che effettuano delle operazioni automatica-

Per questi sistemi si possono individuare tre componenti fondamentali:

mente.

• la attività che serve per sondare il mondo esterno, capendo l’azione da

misura:

compiere;

• l’attuazione: la capacità di agire sul sistema rilevando delle misure;

• il il “cervello” dell’attività, ciò che media il rilevamento di una misura e

controllo:

l’azione compiuta.

Si può inoltre fare una distinzione tra controllo a e controllo a

catena aperta catena

chiusa:

• controllo a il controllore agisce sul sistema, secondo il valore di

catena aperta:

riferimento, basandosi unicamente sulla relazione conosciuta fra ingresso e uscita;

• controllo a o l’uscita del sistema da controlla-

catena chiusa in retroazione:

re viene continuamente valutata in modo da modificare opportunamente l’ingresso

del sistema stesso (ad esempio: la lavatrice che scalda l’acqua, per questo tipo di

controllo è necessario essere poco sensibili ai disturbi).

Esempio di controllo: controllo di velocità di un autoveicolo

Per mantenere una velocità è necessario tenere conto di diversi fattori, di conseguenza si

fa più o meno pressione sull’acceleratore. In un situazione simile si possono identificare

alcuni elementi fondamentali:

• sistema: massa sollecitata da una forza;

• posizione pedale: variabile di controllo;

• forza (coppia) sviluppata dal motore/dai freni: variabile di comando;

1

1 – Introduzione ai sistemi di controllo

• lettura del tachimetro: della velocità;

misura

• 80 km/h: velocità desiderata (o di riferimento);

• forza indotta dalla velocità relativa dell’aria e dalla pendenza: disturbi.

Può non essere chiara la differenza tra variabile di controllo e variabile di comando,

pertanto si definisce quanto segue:

• variabile di variabile reale che va ad agire sul sistema;

comando:

• variabile di variabile che viene fuori dal sistema di controllo e che quasi

controllo:

sempre non ha la stessa grandezza fisica della variabile di comando.

1.2 Le specifiche di controllo

Per s’intendono elementi che vanno a definire le prestazioni del

specifiche di controllo

controllo:

• specifiche: sono i in termini di prestazioni;

desiderata

• precisione:

mantenere la velocità entro opportuni

– margini;

insensibilità ai disturbi;

–

• rapidità di risposta: garantire il raggiungimento del riferimento in tempi adeguata-

mente rapidi;

• raggiungimento della velocità obiettivo senza o con nell’intorno (rag-

oscillazioni

giungimento monotòno o con sovraelongazione);

• importante: verificare che l’azionamento riesca a generare il comando opportuno.

Per avere un raggiungimento monotòno dell’obiettivo la velocità con la quale si arriva è di

sicuro ridotta a sfavore della rapidità di risposta.

1.3 Sistemi a tempo discreto

In questo tipo di sistemi il tempo è una variabile ossia non è associato a numeri

discreta,

reali, ma a numeri (in particolare quelli interi). Il sistema quindi è descritto in

razionali

istanti rappresentativi di momenti nel tempo. Questi sistemi sono particolarmente

discreti,

utili quando si elaborano segnali allora non si scrivono più equazioni differenziali,

digitali,

ma equazioni alle Esempi sono l’evoluzione del capitale, il calcolo di un

differenze.

integrale, l’evoluzione di una specie animale isolata con risorse limitate.

2

1 – Introduzione ai sistemi di controllo

1.4 Tipi diversi di sistema

Un sistema, costituito da dispositivi che stanno insieme ed eseguono un compito, è definito

perché lo si vuole isolare dall’ambiente. Spesso viene schematizzato come un rettangolo,

che, interagendo con il mondo, presenta degli (cause) e delle (effetti).

ingressi uscite

All’interno sono presenti trasformazioni energetiche per le quali si ottengono effetti da

determinate cause, tenendo conto del principio di (le cause sono precedenti agli

causalità

effetti).

Si possono definire due tipi di sistemi:

• sistema un sistema che evolve nel tempo;

dinamico:

• sistema un sistema che rimane fisso nel tempo.

statico:

Andando più nel dettaglio, un sistema è un sistema in cui l’evoluzione della

dinamico

variabile d’uscita non dipende solo dall’andamento della variabile d’ingresso all’istante di

osservazione, ma anche da tutto il passato dell’ingresso (ad esempio: l’andamento della

tensione su un condensatore attraversato da una certa corrente). La variabile che condensa

tutta la storia passata del sistema in un solo valore, quello all’istante convenzionale = 0,

t

è detta Questo concetto permette di non sapere la condizione del

variabile di stato.

sistema fino al valore −∞.

Un sistema è invece semplicemente un sistema in cui le relazioni tra ingresso e

statico

uscita sono esprimibili da funzioni istantanee nel tempo (ad esempio: l’andamento della

corrente in una resistenza sottoposta ad una determinata tensione).

Si possono poi ancora dividere i sistemi in due categorie:

• sistema tempo sistema in cui i (non le variabili) variano;

variante: parametri fisici

• sistema tempo sistema in cui i parametri fisici variano.

non

invariante:

In linea di principio tutti i sistemi sono tempo varianti, ma uno stesso sistema può essere

modellizzato in diversi modi: come sistema tempo variante o come sistema tempo inva-

riante.

Infine si può parlare ancora di due tipi di sistemi:

• sistema gode del degli effetti:

lineare: principio di sovrapposizione

se il sistema alla causa reagisce con effetto e alla causa reagisce con

U Y U

– A A B

un effetto , esso alla causa + reagirà con effetto + ;

Y U U Y Y

B A B A B

ad una causa il sistema reagirà con effetto .

αU αY

– A A

• sistema non gode del principio sopracitato.

non lineare: 3

Capitolo 2

Schemi a blocchi

2.1 Convenzioni generali ed elementi base

Gli costituiscono un semplice ed efficace metodo di rappresentazione

schemi a blocchi

grafica del modello di un sistema dinamico. Si costruiscono dalle equazioni del corri-

spondente modello matematico, formulato introducendo opportune variabili di ingresso,

di uscita ed interne, espresso nel dominio del tempo oppure in quello della variabile com-

plessa s.

I quattro costitutivi degli schemi a blocchi sono i seguenti:

elementi base

• i rappresentati da archi orientati, ad essi sono associate le variabili di ingresso,

rami:

di uscita ed interne;

• i ad essi è associata la funzione fra la variabile entrante e quella uscente

blocchi:

dal blocco stesso;

• i essi permettono di trasferire una medesima variabile su

punti di derivazione:

diversi rami di uscita, senza apportare modifiche;

• i la variabile di uscita di un sommatore è data dalla somma algebrica

sommatori:

delle variabili associate ai rami entranti.

Estensione ai sistemi MIMO

Gli schemi a blocchi possono essere utilizzati anche per rappresentare sistemi multiva-

(o In questi casi ad ogni ramo è associata la corrispondente

riabili MIMO). variabile

e ad ogni blocco la fra il vettore di ingresso e quello

vettoriale matrice delle relazioni

di uscita.

2.2 Dall’equazione allo schema a blocchi

È possibile associare alle equazioni di un sistema il corrispondente schema a blocchi, rea-

lizzando le operazioni richieste per mezzo degli elementi base introdotti e mantenendo

inalterate le relazioni esistenti fra le variabili di ingresso, di uscita ed interne.

4

2 – Schemi a blocchi

2.2.1 Elaborazione di schemi interconnessi

Esistono regole di che permettono di ridurre schemi complessi a

algebra dei blocchi

strutture più semplici, che possono essere applicate singolarmente o combinate fra loro.

Di seguito le si descrive:

• la funzione complessiva di due (o più) blocchi in cascata è data

cascata di blocchi:

dal prodotto delle funzioni dei singoli blocchi;

• la funzione complessiva di due (o più) blocchi in parallelo è

parallelo di blocchi:

data dalla somma delle funzioni dei singoli blocchi;

• è possibile spostare un blocco rispetto

spostamento rispetto ad un sommatore:

ad un nodo di somma

da monte a valle: si tutti i rami entranti nel sommatore per la

– dividono

funzione del blocco da spostare;

da valle a monte: si tutti i rami entranti nel sommatore per la

– moltiplicano

funzione del blocco da spostare;

• è possibile spostare un

spostamento rispetto ad un punto di derivazione:

blocco rispetto ad un punto di derivazione

da monte a valle: si tutti i rami uscenti dal punto di derivazione

&n