Controlli Automatici - Appunti

A

Questo non accade quando il numeratore e il denominatore della funzione di trasferimento

hanno fattori comuni, in tal caso le radici del polinomio caratteristico del modello I/O

sono un di quelle del polinomio caratteristico del modello in VS.

sottoinsieme

Quanto detto fin’ora vale allo stesso modo, con le opportune modifiche, per sistemi in

tempo discreto (nel modello in variabili di stato descritto precedentemente basta sostituire

la variabile continua con la variabile discreta

s z).

9

Capitolo 4

Modellistica dei sistemi dinamici

elettrici

4.1 Elementi fondamentali

Quando si parla di si parla di sistemi costituiti da elementi fondamentali

sistemi elettrici

quali il il e l’induttore. Ad ogni elemento sono associate le già

resistore, capacitore

studiate equazioni costitutive nel dominio del tempo e nel dominio delle trasformate di

Laplace.

4.2 Rappresentazione in variabili di stato

Si seguono i seguenti passaggi:

• si scrivono le soltanto per i componenti con memoria (con-

equazioni costitutive

densatori e induttori);

• si scrivono le della rete elettrica, applicando le leggi di

equazioni topologiche

Kirchhoff (ai nodi e alle maglie) o un qualsiasi altro metodo di analisi di circuiti

elettrici (potenziali ai nodi, correnti cicliche);

• si introduce una per ogni componente con memoria, scegliendo

x

variabile di stato i

in particolare:

la tensione applicata ad ogni condensatore;

– la corrente che scorre in ogni induttore;

–

• si associa una ad ogni generatore ideale di tensione o di

u

variabile di ingresso j

corrente;

• si ricavano le del tipo

equazioni di stato

dx (t)

i

(t) = = (t,

ẋ f x(t), u(t))

i i

dt

10

4 – Modellistica dei sistemi dinamici elettrici

a partire dalle equazioni costitutive e topologiche precedenti, esprimendo soltanto

ẋ i

in funzione di variabili d’ingresso e stato, se necessario ricorrendo anche ad equazioni

costitutive di eventuali resistori;

• si ricavano le del tipo

equazioni di uscita

(t) = (t,

y g x(t), u(t))

k k

esprimendo ogni variabile di interesse soltanto in funzione di variabili di ingresso

y

k

e di stato.

Rete degenere

Una rete elettrica è detta se contiene:

degenere

• maglie di condensatori;

• tagli di induttori.

Nelle reti degeneri il numero totale di condensatori e induttori presente è maggiore della

dimensione del sistema, poiché le tensioni sui condensatori o le correnti negli induttori

n

non sono tutte indipendenti. In generale la dimensione del sistema è pari al numero di

n

variabili di stato linearmente indipendenti. 11

Capitolo 5

Modellistica dei sistemi dinamici

meccanici

5.1 Sistemi meccanici in traslazione

5.1.1 Elementi fondamentali

Corpo puntiforme in traslazione

Per un corpo puntiforme in traslazione di massa la II legge di Newton dà l’equazione

m

del moto d

2 x(t)

= = (t) = (t),

X

mẍ(t) M F F

i

dt 2 i

in cui (t) sono le forze esterne agenti sul corpo:

F

i

• se concordi con il sistema di riferimento;

positive

• altrimenti.

negative

Molla ideale

La forza elastica della molla è data da

(t) = [x (t) (t)]

−

F K x ,

−

+

proporzionale allo spostamento relativo delle due estremità della molla (x e sono le

x −

+

posizioni delle due estremità rispetto alla posizione di riposo).

Smorzatore ideale

La forza di attrito dovuto allo smorzatore vale

(t) = [v (t) (t)] = [ (t) (t)]

− −

F β v β ẋ ẋ ,

− −

+ +

proporzionale alla velocità relativa dei due elementi che compongono lo smorzatore stesso.

12

5 – Modellistica dei sistemi dinamici meccanici

5.1.2 Equazioni del moto

Si introducono assi di riferimento concordi fra loro per indicare le posizioni di ogni corpo

in traslazione. Per ogni massa (o punto materiale in traslazione avente = 0), con

m m

i i

posizione e velocità , vale la II legge di Newton espressa come

x ẋ

i i (t) = (t) (t),

X X

est int

−

m ẍ F F

i i k ij

k j,j /

=i

dove:

• le forze esterne tengono conto dell’azione del mondo esterno sull’elemento

est

F m

i

k

e compaiono con segno positivo o negativo secondo la convenzione precedentemente

descritta;

• le forze interne tengono conto dell’interazione tra l’elemento considerato e gli

int

F m

i

ij

altri corpi tramite le relazioni per molle e smorzatori precedentemente descritte.

m

j

Se si vuole interpretare le equazioni del moto, si può dire quanto segue:

• le forze esterne trasmettono direttamente il moto a , incrementandone o riducen-

m

i

done la forza d’inerzia, a seconda del loro verso di applicazione;

• le forze interne trasmettono invece il moto agli altri corpi tramite molle o

m j

smorzatori, riducendo la forza d’inerzia di .

m

i

5.1.3 Rappresentazione in variabili di stato

Si seguono i seguenti passaggi:

• si scrivono le per ogni corpo puntiforme di massa in

m

equazioni del moto i

traslazione, avente posizione e velocità ;

x ẋ

i i

• si introducono due per ogni elementi in traslazione, scegliendo

m

variabili di stato i

in particolare

la posizione ;

x

– i

la velocità ;

ẋ

– i

tale scelta permette di trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale

del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine;

• si associa una ad ogni forza esterna applicata al sistema

variabile di ingresso

meccanico in traslazione;

• si ricavano le nella forma già descritta nella Sezione 4.2 a partire

equazioni di stato

dalle precedenti equazioni del moto, esprimendo soltanto in funzione di variabili

ẋ i

di stato e di ingresso, se necessario esplicitando il legame di derivazione temporale

fra variabili di stato;

• si ricavano le nella forma già descritta nella Sezione 4.2.

equazioni di uscita 13

5 – Modellistica dei sistemi dinamici meccanici

5.2 Sistemi meccanici in rotazione

5.2.1 Elementi fondamentali

Corpo puntiforme in rotazione

Per un corpo puntiforme in rotazione di inerzia la II legge di Newton dà l’equazione del

I

moto d

2 θ(t)

= = (t) = (t),

X

I θ̈(t) I T T

i

dt 2 i

in cui (t) sono le coppie esterne agenti sul corpo:

T

i

• se concordi con il sistema di riferimento;

positive

• altrimenti.

negative

Molla ideale

La coppia elastica della molla è data da

(t) = [θ (t) (t)]

−

T K θ ,

−

+

proporzionale alla rotazione relativa delle due estremità della molla (θ , sono le posi-

θ −

+

zioni angolari delle due estremità rispetto alla posizione di riposo).

Smorzatore ideale

La coppia di attrito dovuta allo smorzatore vale h i

(t) = [ω (t) (t)] = (t) (t)

− −

T β ω β θ̇ θ̇ ,

− −

+ +

proporzionale alla velocità angolare relativa dei due elementi che compongono lo smorza-

tore.

5.2.2 Equazioni del moto

Si introducono sistemi di riferimento (e quindi versi di rotazione) concordi fra loro per

indicare le posizioni angolare di ogni corpo in rotazione. Per ogni corpo (o punto

I

i

materiale in rotazione con = 0), con posizione angolare e velocità angolare , vale la

I θ θ̇

i i i

II legge di Newton nella forma (t) = (t) (t),

X X

est int

−

I θ̈ T T

i i k ij

k j,j /

=i

dove:

• le tengono conto dell’azione del mondo esterno sull’elemento

est

T I

coppie esterne i

k

e compaiono con segno positivo o negativo secondo la convenzione precedentemente

descritta; 14

5 – Modellistica dei sistemi dinamici meccanici

• le tengono conto dell’interazione tra l’elemento considerato e

int

T I

coppie interne i

ij

gli altri corpi tramite le relazioni per molle e smorzatori precedentemente descritte.

I j

Se si vuole interpretare le equazioni del moto, si può dire quanto segue:

• le coppie esterne trasmettono direttamente il moto a , incrementandone o riducen-

I

i

done la coppia d’inerzia, a seconda del loro senso di rotazione;

• le coppie interne trasmettono invece il moto agli altri corpi tramite molle o

I

j

smorzatori, riducendo la coppia d’inerzia di .

I i

5.2.3 Rappresentazione in variabili di stato

Si seguono i seguenti passaggi:

• si scrivono le per ogni corpo in rotazione di inerzia (even-

I

equazioni del moto i

tualmente nulla),con posizione angolare e velocità angolare ;

θ θ̇

i i

• si introducono due per ogni elementi in traslazione, scegliendo

I

variabili di stato i

in particolare

la posizione angolare ;

θ

– i

la velocità angolare ;

θ̇

– i

tale scelta permette di trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale

del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine;

• si associa una ad ogni coppia esterna applicata al sistema

variabile di ingresso

meccanico in rotazione;

• si ricavano le nella forma già descritta nella Sezione 4.2 a partire

equazioni di stato

dalle precedenti equazioni del moto, esprimendo soltanto in funzione di variabili

ẋ i

di stato e di ingresso, se necessario esplicitando il legame di derivazione temporale

fra variabili di stato;

• si ricavano le nella forma già descritta nella Sezione 4.2.

equazioni di uscita 15

Capitolo 6

Modellistica dei sistemi

elettromeccanici

6.1 Principi fisici di funzionamento

6.1.1 Introduzione

I operano una conversione elettromeccanica di energia:

sistemi elettromeccanici

• conversione di energia elettrica in energia meccanica;

motori elettrici:

• o conversione di energia meccanica in

generatori elettrici dinamo elettriche:

energia elettrica.

6.1.2 Forza di Lorentz

Un conduttore elettrico di lunghezza percorso da una corrente e immerso in un campo

l i(t)

magnetico d’intensità è sottoposto alla

B(t) forza di Lorentz:

= ×

li(t)

F(t) B(t).

6.1.3 Coppia di Lorentz

Una spira conduttrice di superficie percorsa da una corrente e imme