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Formule trigonometriche

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin(2α) = 2 sin α cos α
cos(2α) = cos² α - sin² α

sin α = ^2t/_{1 + t²}
cos α = ^{1 - t2}/_{1 + t²}

sin(α/2) = ±√^{1 - cos α}/₂
cos(α/2) = ±√^{1 + cos α}/₂

sin α + sin β = 2 sin( ^{α + β}/₂ ) cos( ^{α - β}/₂ )
cos α + cos β = 2 cos( ^{α + β}/₂ ) cos( ^{α - β}/₂ )

Numeri complessi

Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali (x, y) dove x è la parte reale e y è la parte immaginaria.
Ci sono più modi per rappresentare un complesso:

Con il numero immaginario

J = √(-1)
(x, y) = x + Jy
J² = -1
J³ = -J
J⁴ = 1
J⁵ = J

In corrispondenza dei punti di un piano

I punti del piano possono a loro volta essere messi in corrispondenza biunivoca con vettori. Tale vettore si può esprimere in forma cartesiana o in forma polare:
v = x + Jy = M_L φ = M·e^Jφ
M = modulo
φ = fase
e^Jφ = cos φ + J sin φ

Inoltre valgono le relazioni per passare tra le due rappresentazioni:
N_L = √(x² + y² )
φ = arctan (y/x)
Se x > 0, arctan fornisce -π/2 < φ < π/2
Se x < 0, bisogna sommare una fase φ₀ = π.

La fase φ di un numero complesso

La fase φ di un vettore v del piano e quindi la fase φ del corrispondente numero complesso x + Jy si misura in senso antiorario rispetto al semiasse positivo "reale".
La fase di un vettore v è definita a meno di una costante K.
La fase dei numeri reali positivi è nulla.
La fase dei numeri reali negativi è π.
La fase di un vettore con parte reale negativa (x < 0) è data da π.

Il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli.
La fase del prodotto/rapporto è uguale alla somma/differenza delle fasi.
φ_pos = deg [K] = 0 + 2kπ
φ_neg = deg [-K] = π + 2kπ
φ_x = deg [v] = arctan (y/x)

Operazioni con numeri complessi

(2 + 3J)
(2 - 5J) (-4 + J)
(1 + 3J) = √(2 + 3²) + (√(2√5² + 1√4²)

Funzioni complesse

Funzioni complesse di variabile reale

È una funzione definita su e ad valori in e. Ad esempio, è una funzione che associa ad ogni valore reale un numero complesso con modulo e fase. Queste funzioni sono rappresentabili sul piano in corrispondenza di funzioni complesse di variabile complessa.

Funzioni complesse di variabile complessa

Ad esempio, la trasformata di Laplace per ogni valore della variabile complessa fornisce un numero complesso.

Derivata di una funzione

Si definisce (prima)
lim indica la pendenza di nei intorno.
Equazioni differenziali sono legami algebrici tra una o più funzioni e le loro derivate.

Le equazioni differenziali possono essere:
1) Non lineari
2) Lineari tempo varianti
3) Lineari tempo invarianti

Vengono usate per descrivere il comportamento dinamico conoscendo di un sistema, diviso in:
Con le equazioni differenziali si può calcolare il valore del sistema. Se noto, l'integrale si può ricavare la descrizione 'statica' eventualmente si tiene conto di condizioni iniziali, si risolvono con le trasformate di Laplace.

Equazioni differenziali lineari

I sistemi lineari stazionari sono descritti da equazioni differenziali lineari a coeff. costanti:
∑ a_i * dⁱu(t)/dtⁱ = ∑ b_i * dⁱx(t)/dtⁱ
u(t) - funzione uscita
x(t) - funzione ingresso

Esse una condizione fisica di realizzabilità:
Se n > m il sistema è strettamente proprio
Se n = m il sistema è proprio
Se n < m il sistema è improprio (e non realizzabile)

Per risolvere l'equazione differenziale occorre conoscere:

1. Le condizioni iniziali = y(0); dⁱu/dtⁱ|_t=0 0 < i < T
2. Il segnale di ingresso = x(t)

Si suppone che x(t) sia continua, a tratti, limitato e le condizioni per t = 0 siano nulle.
La soluzione dell'equazione differenziale è la somma di due funzioni u(t) = y_o(t) + y_t(t).

Nel caso delle trasformate di Laplace, applico tale trasformata al problema ottenendo un'equazione algebrica.
La soluzione è quindi facile da trovare. Alla soluzione applico l'antitrasformata di Laplace e ottengo il risultato finale.

Trasformazioni

Stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra funzioni oggetto e funzioni immagine.
Problema oggetto → trasformazione → Problema immagine → Soluzione immagine

Orientamento di un sistema dinamico

Un'equazione differenziale è correttamente orientata se la variabile di uscita del sistema è quella a cui è associato il massimo grado di derivazione. (n > m)
So che l'energia accumulata dal sistema è E(t) = 1/2 * C * V²
Ottengo 0 infatti, se pongo un ingresso un gradino di dimensione(1). Significa che ho una variazione istantanea dell'energia, associo quindi una potenza v_Ci_c infinita, (non è) possibile! Nell'altro caso, invece, è corretto.

Trasformate di Laplace

Assegna ad una generica funzione reale del tempo f(t) una funzione complessa F(s) della variabile complessa s.
F(s) = L [f(t)]
F(s) = ∫ f(t) e^-st dt

L'antitrasformata è l'operazione inversa della trasformazione:
f(t) = L^-1 [F(s)]
f(t) = ₁/^2πj ∫ F(s) e^st ds

La funzione F(s) è definita in un dominio di convergenza (semipiano del piano s, posta destra di un retta parallela del Im(s)).
La funzione f(t) è trasformabile se f(t) = 0 t. Ovvero quello che succede prima dell'istante zero non lo consideriamo.

f(t) è continua a tratti e limitata al finito se t > 0
∃ ∫ |f(t) e^-σt|

Trasformate di Laplace dei segnali più comuni

∫ [tⁿ e^-at] = _n!/^(s+a)n+1
Gradino unitario (n=0, a=0) x(t) = u(t) ↔ X(s) = ₁/^s
Rampa unitario (n=1, a=0) x(t) = t ↔ X(s) = ₁/^s2
Parabola unitaria (n=2, a=0) x(t) = _t²/² ↔ X(s) = ₁/^s3
Esponenziale (n=0, a>0) x(t) = e^-at ↔ X(s) = ₁/^s+a
Sinosuide (n=0, a>0) x(t) = sin(ωt) ↔ X(s) = _ω/^s2+ω2
Cosinosuide x(t) = cos(ωt) ↔ X(s) = _s/^s2+ω2

Proprietà della trasformata di Laplace

Linearità: L[c₁·f₁(t) + c₂·f₂(t)] = c₁·F₁(s) + c₂·F₂(s)
con c₁, c₂ ∈ ℂ f₁(t), f₂(t) funzioni del tempo
F₁(s), F₂(s) relative trasformate

Traslazione nel tempo: L[f(t - t₀)] = e^(-t₀s) F(s)
con f(t) = 0 per t
Nel trasformato, moltiplicare per e^(-t₀s) significa traslare di un tempo t₀ nel tempo

Trasformata dell'integrale: L[∫₀ᵗ f(τ)dτ] = 1/s · F(s)
Nel trasformato, moltiplicare per 1/s significa calcolare l'integrale del segnale f(t) nel tempo

Trasformata della derivata: L[df/dt] = s·f(s) - f(0⁻)
con f(0⁻): valore di f(t) all'istante t=0⁻
Nel caso di condizioni iniziali nulle, nel trasformato moltiplicare per s significa calcolare la derivata del segnale f(t) nel tempo

Teorema del valore iniziale:
lim t→0⁺ x(t) = lim s→∞ s·X(s)
è sempre valido con X(s) = L[x(t)]

Teorema del valore finale:
lim t→∞ x(t) = lim s→0 s·X(s)
è valido solo per funzioni con tutti i poli a parte reale negativa, tranne per un polo nell'origine con X(s) = L[x(t)]

Impulso di Dirac:
È un segnale ideale che approssima un impulso di area unitaria
F(s) = ℒ [ δ(t) ] = 1
Ponendo la trasformata dell’impulso di Dirac = 1, ne consegue che la risposta di un sistema all’impulso di Dirac coincide con l’antitrasformata della funzione di trasferimento
Y(s) = G(s) X(s) = G(s)
y(t) = ℒ⁻¹ { G(s) } = g(t)

Teorema della traslazione in s:
ℒ [ e⁻ᵃᵗ f(t) ] = F(s + a)

Derivate di ordine superiore al primo:
ℒ [ df/dt ] = S F(s) - f(0)
ℒ [ d²f/dt² ] = S² F(s) - S f(0) - d f(t)/dt |_t=0
ℒ [ dⁱf/dtⁱ ] = Sⁱ F(s) - ∑_j=0^i-1 Sʲ dⁱ⁻¹⁻ʲ f(t)/dtⁱ⁻¹⁻ʲ |_t=0

Teorema della trasformata del prodotto integrale:
ℒ [ ∫₀^t f₁(γ) · f₂(t-γ) dγ ] = F₁(s)·F₂(s)
L’integrale di convoluzione gode della commutativa
∫₀^∞ f₁(γ)·f₂(t-γ) dγ = ∫₀^∞ f₂(γ)·f₁(t-γ) dγ