Continuità e teoremi sulla continuità - Analisi 1

Indice documento

• Continuità
• Teorema locale limitatezza
• Teorema esistenza degli zeri
• Teorema esistenza valori intermedi
• Teorema di Weierstrass
• Teorema funzioni inverse
• Teorema funzioni composte
• Uniforme continuità
• Condizione sufficiente per uniforme continuità
• Teorema di Cantor

Continuità

Siano f: X → ℝ e X₀ ∈ X (X₀ punto di accumulazione per il dominio). Diciamo che f è continua in X₀ se ∀ε>0 ∃ δ>0 : ∀x₀ 0 0 - x - x₀ x f(x).

Teorema dell'esistenza degli zeri

Sia f: [a,b] → ℝ e f continua in [a,b]. Supponiamo che f(a) > 0 f(b). Se la funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b], assume segni estremi e passa attraverso qualche valore.

Dimostrazione

Dimostriamo utilizzando la tecnica di distinzione. Per ipotesi a > b ⇒ f non è continua se esistono c, b derivate da a. Supponiamo che b₁ = a + 0 per esempio. Consideriamo [a₁; b₁] dove a₁ = a e b₁ = b₁ +. Consideriamo b₁ - a₁ = dimostriamo - Supponiamo b₁ ↓ 0. Consideriamo l'intervallo [a_n; b_n] dove a₂ = a₂ = a_n, b₁ = b₁.

Continuando così, dopo suddivisioni usiamo le due successioni {b_n}, {a_n} qui f di a₁ b_n - f di a₁ b_n.

Teorema esistenza valori intermedi

Sia f: (a,b) → R (continua in [a,b]). Siano α, β ∈ Imf (immagine di f). ∃ c ∈ ]a;b[ | f(c) = λ | Appross. x₀, x₁ | f(c) = β. Sia f una funzione definita nell’intervallo (a,b) e continua in esso allora f assume nel suo intervallo di definizione tutti i valori compresi fra il suo sup e il suo inf.

Dimostrazione

α, β ∈ Im f ⇒ ∃ x₁, x₂ ∈ (a,b) | f(x₁) = α, f(x₂) = β. Consideriamo x₁, x₂ | x₁, x₂ x₂ | f: c∈[x₁, x₂] tale che f(c) y Essendo α, β ⇒ α 2) f F(x_a).

Teorema di Weierstrass

Sia F: (a,b) → R. F continua su (a,b). Si patronee min e max f max f. Quindi ∃ x_m ∈ (a,b) tali che f(x) | x₁ (a,a,b) riteniamo il maggiore inf. H inf f su (a,b).

Dimostrazione

Dimostriamo che min ou mai sono... Consideriamo f inf F e supponiamo che x_mn1.

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• Continuità
• Teorema locale limitatezza
• Teorema esistenza degli zeri
• Teorema esistenza valori intermedi
• Teorema di Weierstrass
• Teorema funzioni inverse
• Teorema funzioni composte
• Uniforme continuità
• Condizione sufficiente per uniforme continuità
• Teorema di Cantor