Contenuti teorici di Meccanica razionale

Filippo Tabani Ingegneria Aerospaziale a.a. 2021/2022

Contenuti teorici di Meccanica Razionale

Appunti ricavati da lezioni e note del corso del Prof. Gronchi

Cap. 1 – Sistemi meccanici discreti non vincolati 3

Lo spazio ambiente è uno spazio euclideo tridimensionale, lo indichiamo con E . Esso è uno spazio affine ed

3

è associato a uno spazio vettoriale V dotato di un prodotto scalare “◦”, ovvero una forma bilineare

R.

3 3 3

simmetrica definita positiva V x V su V introduciamo la norma: |u|= √(u◦u) e con questa la distanza

3

tra punti di E : d(P,Q) = |P-Q|. 3

Chiamiamo Spazio-tempo di Galileo lo spazio prodotto G=E xR i cui elementi si chiamano eventi. Ha senso

studiare eventi simultanei della forma: d((P,t ,(Q,t)) = d(P,Q). 

3 3 3 3

Chiamiamo prodotto vettoriale “x” su V un’applicazione V x V V bilineare, antisimmetrica tale che se:

- u ◦ v = 0 allora |u x v | = |u||v|

- u x v ◦ w = v x w ◦ u (circuitazione)

3

Sullo spazio V esistono solo 2 prodotti vettoriali i cui risultati differiscono solo per il segno, ovvero scelta una

3

base ortonormale di V (i,j,k): i x j = k oppure i x j = -k e così via. Di seguito utilizzerò solo terne cartesiane

levogire (rispettano la regola della mano destra) con prodotto vettoriale positivo (i x j = k).

3

∈

Vale la regola del prodotto triplo: (u × v) × w = (u · w) v − (v · w) u con u, v, w V . Da questa si ricava che il

prodotto vettoriale non è associativo.

3 3

Dato v in V ogni vettore u di V si può scomporre in modo unico come combinazione lineare di un vettore

lungo v e di no ad esso perpendicolare.

Dalle relazioni espresse si arriva a definire θ ϵ [0,π] l’angolo compreso tra u e v tale che cosθ = u ◦ v/|u||v|.

3

Alcune relazioni si ricordano meglio se si passa in coordinate, ovvero se si esprimono vettori di V con vettori

3 3

di R . Vediamo come: sia u ϵ V che ha base ortonormale (e ,e ,e ), posso scrivere:

1 2 3

3=1 3

∑

u = dove u = (u ,u ,u ) ϵ R .

1 2 3

Per descrivere il moto di un sistema è necessario introdurre un sistema di riferimento che ci permetta di

individuare la posizione dei punti nello spazio ambiente in cui avviene il moto. Un sistema di riferimento in



3 3 3 3

E è una mappa continua t Σ(t) = (O(t), e (t),e (t),e (t)) ϵ E x (V ) . Definita su R o su intervallo di esso. O in

1 2 3

3 3

E è l’origine del sistema del riferimento ed e ,e ,e in V sono le direzioni degli assi e rappresentano una base

1 2 3

3

ortonormale di V .

1

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Introducendo la rappresentazione in coordinate si ha:



3 3

Il moto di un punto P in E è una mappa t P(t) ϵ E definito su R o su un suo intervallo. Fissato Σ:

con x (t), x (t), x (t) rappresenta la posizione di P in funzione del tempo mediante le

1 2 3

sue coordinate.

Se esistono derivata prima e seconda di xi(t) con i=1,2,3 possiamo definire la velocità e l’accelerazione di P

relative a Σ rispettivamente come: 3

Ed identificare queste quantità con le loro coordinate in R :

Introduciamo la forza attiva Fi. Dato un sistema di N punti materiali, fissato il solito riferimento Σ, la forza

agente sul punto Pi è una funzione: che dipende dalle posizioni xi degli N punti,

dalle vi, rispettive velocità, e dal tempo. È possibile determinare l’evoluzione del moto di un sistema nel

tempo se si conosce lo stato cinetico (x,v) di esso in un istante. In un sistema così definito assumiamo che

valgano le equazioni di Newton (secondo principio della dinamica):

(esprimibile anche in coordinate) che ci porta a scrivere tale sistema del primo ordine:

Trattiamo ora i sistemi di riferimento inerziali nei quali ogni corpo persiste nel suo stato di quiete o di moto

rettilineo uniforme fino a quando non sia costretto a mutare il suo stato dall’azione di una forza.

3

Fissato un sistema di riferimento si può passare dallo spazio-tempo di Galileo G=E xR allo spazio delle

G

3

coordinate di Galileo: R xR. In esso definiamo come lo spazio delle trasformazioni affini di G che

mantengono gli intervalli di tempo (con orientazione) e le distanze tra eventi simultanei.

Sia lo spazio delle matrici ortogonali di ordine 3, esse hanno

det= SO(3) O(3) sono le matrici ortogonali di ordine 3

⊆

±1.

che hanno det=1 e rappresentano matrici di rotazione.

G è generato da trasformazioni delle seguenti forme:

i) g (x,t) = (x+tu,t) moto uniforme con velocità u

1

ii) g (x,t) = (x+y,t+s) traslazione dell’origine

2

iii) g (x,t) = (Gx,t) isometria spaziale

3

3

con x,y,u in R , s in R e G in O(3). G,

Dimostriamo che le gi appena definite stanno in ovvero mantengono intervalli di tempo (con orientazione)

e distanze tra eventi simultanei. Sia φ una generica trasformazione affine:

con

L’immagine di tale φ generica è In particolare noi vogliamo w=0, a=1, G in O(3), perché

siano contenute le nostre g .

i T

L’invarianza di intervalli di tempo tra eventi qualunque ci dice: |w (x -x ) + a(t -t )|= | t -t | allora w=0 ed

1 2 1 2 1 2

a=1 perché mantenga l’orientazione.

L’invarianza della distanza per eventi simultanei (stesso t) ci dice che: |G(x -x )|=|x -x | e quindi che G sta in

1 2 1 2

O(3).

Def: Σ è inerziale se le equazioni di Newton per ogni sistema di punti materiali isolato scritte in questo

G,

riferimento sono invarianti per ovvero ogni x soluzione di tali equazioni è trasformata in un’altra soluzione

G.

da ogni g in

2

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Le proprietà di invarianza rispetto al gruppo di Galileo impongono delle restrizioni sulla forma delle equazioni

differenziali, in particolare sulle forze.

A) Invarianza per traslazioni di tempo: se x(t) è soluzione anche x(t+s) lo è. Allora Fi (x,v) non è funzione

del tempo. 3

B) Invarianza per traslazioni uniformi nello spazio E : se x(t) è soluzione anche x(t) + tu+ y lo è, con u e

3

y in R . Segue che Fi (xj-xk,vj-vk) cioè le forze dipendono solo dalle posizioni e dalle velocità relative.

C) Invarianza per rotazioni nello spazio: se x(t) è una soluzione lo è anche Gx(t), segue che

GFi (xj-xk,vj-vk) = Fi(G(xj-xk),G(vj,vk))

Se il sistema è costituito da un solo punto la forza è nulla perché per A e B deve essere costante (non dipende

da t e non ci sono posizioni e velocità relative), inoltre per C deve essere invariante per rotazioni, allora è

nulla ed il moto è rettilineo uniforme.

Cap.2 – Dinamica di un punto materiale libero

Consideriamo un punto materiale P di massa m sul quale agisce una forza F nel riferimento Σ (O,e ,e ,e ), con

1 2 3

x ,v ,a posizione, velocità ed accelerazione in Σ, con coordinate in Σ x ,v ,a introduciamo le seguenti

P P P P P P.

quantità dinamiche per tale punto:

- p = mv Quantità di moto (o momento lineare) 3

- Mq = (P-Q) x mv Momento angolare rispetto a un polo Q in E

2

- T = ½ m|v| Energia cinetica 3

- Nq = (P-Q) x F Momento della forza F rispetto a un polo Q in E

- Π = F ◦ v Potenza della forza F

- δL = F ◦ δx Lavoro elementare della forza F

il lavoro elementare e la potenza della forza sono gli stessi in qualunque base ortonormale si rappresentino

F,v,dx.

- Energia potenziale:

Un campo di forze posizionale F = F(x) è conservativo se ammette un potenziale, ovvero una funzione scalare

U(x) tale che U = F, in tal caso la funzione V = -U si chiama energia potenziale del campo di forze e si ha

∇

F =- V e δL = - V ◦ δx = -dV.

∇ ∇

- Energia totale: se la forza F è conservativa, con energia potenziale V, possiamo definire E = T + V

Consideriamo un punto materiale P di massa m con coordinate x su cui agisce una forza F.

Sia x(t) una qualunque soluzione dell’equazione di Newton allora lungo questa soluzione valgono:

- p’ = F 3

- Mq’ = Nq - mv x v per ogni Q in E

Q

Per dimostrarle basta derivare rispetto al tempo le quantità cinetiche definite.

Teorema dell’Energia Cinetica: sia x(t) una qualunque soluzione dell’equazione di Newton allora lungo questa

soluzione vale: T’ = Π, infatti: Π = F ◦ x’ = mx’’ ◦ x’ = m/2 d/dt (x’◦ x’) = T’.

k

Def: Integrale primo di x’=f(x,t) con x in R k>0. I(x,t) è un integrale primo dell’equazione differenziale scritta

se il suo valore è costante lungo una qualunque soluzione x(t).

Conservazione dell’energia: se il campo di forze F = F(x) è conservativo, con energia potenziale V(x), allora

l’energia totale E = T + V è un integrale primo.

Dim:

Trattiamo ora i problemi integrabili: per alcuni problemi di Cauchy il teorema di Cauchy-Lipschitz ci dice che

esiste una soluzione locale unica ma in alcuni casi non la si riesce a trovare esplicitamente. Ci interesseremo

a problemi la cui soluzione si può scrivere in forma implicita a meno di inversioni e quadrature (calcolo di

primitive), in tal caso diremo che il problema è integrabile alla Liouville. Un esempio di problemi integrabili

alla Liouville è il caso delle equazioni differenziali a variabili separabili: dividendo per f(x) e integrando nel

tempo si può determinare x(t) a meno di inversioni e quadrature.

I moti unidimensionali sono particolari problemi di Cauchy di questa forma:

3

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Dove n=1 e F è diretta lungo una direzione e ed è funzione solo delle coordinate di (P-O) e v lungo e oltre che

del tempo. A meno di applicare trasformazioni galileiane sul riferimento Σ il problema si riduce a:

Dove F1 = -V’(x) perché siamo in un’unica variabile.

Vediamo che tale problema è integrabile secondo Liouville: per la conservazione dell’energia, posto E (x ,v )

o o o

2

abbiamo che 1/2mx’ (t) + V(x(t)) = E , allora lungo le soluzioni x(t) si ha che E - V(x) ≥ 0.

o o

I valori di x in cui E - V(x) = 0 con V’(x) ≠ 0 si chiamano punti di inversione del moto poiché la velocità si annulla

o

ma non la forza applicata, i valori di x in cui E - V(x) = 0 con V’(x) = 0 si chiamano punti di equilibrio, perché

o

la forza applicata è nulla.

Ricaviamo allora la soluzione:

Il segno lo attribuiamo in base alla condizione inziale v , se v = 0 potremmo essere nel caso di punto di

0 0

inversione ed allora attribuiamo ad x’ il segno della forza F(x ) che è quello di x’’(0) ed almeno inizialmente

0

deve coincidere con il segno di x’. Se invece si tratta di equilibrio la soluzione è la soluzione costante x(t)=x .

0

Diciamo che E è un valore critico dell’energia se nell’insieme delle coppie (x,v) il cui valore di energia totale

o

è E c’è un punto in cui si annulla v ed anche V’, ovvero un equilibrio, altrimenti si dice che E è un valore

o o

regolare.

Considerati due punti di inversione consecutivi xmin e xmax di un valore E regolare dell’energia, tali che il

o

moto si possa svolgere all’interno dell’intervallo [xmin,xmax] diciamo che una soluzione x(t) è un moto

periodico di periodo T>0 se x(t+T) = x(t) e tale periodo è

Per i moti per valori critici, ipotizzando che tale moto si verifichi in un intervallo sinistro di x punto di

o

equilibrio, si vede che, sviluppando con Taylor la funzione E – V(x) centrata in x questa tende a

o o

2 ∞ (

-1/2 V’’(x)(x- x ) ed il periodo quindi diverge a + come 1/x) mentre nei moti regolari convergeva (come

o

1/√x) perché nello sviluppo di Taylor compare il termine –V’(xmin) (x-xmin).

Il ritratto di fase di un moto unidimensionale conservativo è un disegno nel piano delle fasi in con coordinate

x,v, delle traiettorie delle soluzioni del moto unidimensionale, in tale sistema abbiamo l’integrale primo

dell’energia totale per cui le traiettorie giacciono sulle curve di livello C = ((x,v) : E(x,v)=E ).

E o

Cap.3 – Moti centrali

Trattiamo ora le forze centrali a simmetria sferica e mostriamo come queste danno luogo a problemi

integrabili, alcuni di essi molto noti come il problema di Keplero.

R

3 3 3

Si dice che F: R \(0) è un campo di forze centrale con centro O se per ogni x ϵ R \(0) vale la relazione:

R

+ 1

F(x) = f(ϱ) x/ϱ dove ϱ=|x| ed f:R è una funzione di classe C .

R

3 3 3

∀x ∀R

Si può dimostrare che un campo di forze F: R \(0) è centrale se e solo se F(Rx) = RF(x) ϵ R \(0), ϵ

SO(3). Notiamo che in questo caso le equazioni di newton sono invarianti solo per rotazioni (g ) ma non per

3

traslazioni dell’origine che è il centro di forza. 3

∀xϵR

Il moto centrale è integrabile alla Liouville, consideriamo un problema di questo tipo: mx’’=F(x)=f(ϱ)x/ϱ

′

=

{

Il sistema risultante sarà: 1

′

= (x)

V − (ϱ)dϱ

Si ha che F(x) è conservativa con energia potenziale V(x)=V (ϱ(x)) e (ϱ) = infatti:

∫

Per cui si conserva l’energia totale E=T+V, inoltre abbiamo pertanto si

conservano M ed E.

0

Trattiamo prima il caso in cui M =0 e mostriamo che il moto in questo caso si svolge su una retta passante

0 3

∈

per O. Poiché M = mx × x˙ = 0, possiamo trovare un vettore unitario e R con x(0) = ρ e, x˙(0) = ρ˙ e.

0 0 0

Se t → ρ(t) è la soluzione del problema di Cauchy unidimensionale mρ¨ = f(ρ), ρ(0) = ρ , ρ˙(0) = ρ˙ ,

0 0

4

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che si può scrivere a meno di inversioni e quadrature, allora t → x(t) = ρ(t)e è la soluzione di mx¨ = F(x), con

dati iniziali x(0), x˙(0), e il moto è quindi rettilineo, su una retta passante per O.

Osserviamo che vale anche il viceversa: se il moto avviene lungo una retta passante per O allora x(t), x˙(t)

sono sempre paralleli, quindi M = 0. Il problema di Cauchy può essere scritto nella forma

0

con ed è quindi integrabile secondo Liouville.

Prendiamo ora il caso con M ≠ 0, abbiamo che

0

Ci dice che il vettore x è sempre ortogonale a M e quindi ruotando il sistema così da avere M ||e , il moto

0 0 3

si svolge sul piano

Introduciamo le coordinate polari ϱ,θ definite dai versori:

valgono le relazioni , possiamo quindi scrivere:

e le equazioni di Newton proiettate sui versori introdotti:

la seconda equazione ci dice che il momento angolare lungo e si conserva essendo il momento delle forze

3

nullo (x lungo e e la forza lungo e nulla). Allora la terza componente del momento angolare sarà:

ϱ θ 2

fissiamo un valore c per questa componente del momento e sostituendo θ’=c/mϱ nella prima equazione di

Newton si ottiene: che è un problema unidimensionale che possiamo scrivere nella

forma con il potenziale con tale funziona è