Contenuti teorici di Meccanica razionale

Teorema del centro di massa

Per come abbiamo definito la quantità di moto totale ed il baricentro si ha che la quantità di moto del sistema equivale a quella di un punto di massa m che si muove come il baricentro.

Teorema del centro di massa: il baricentro di un sistema di N punti si muove come un punto materiale di massa m su cui agisce la risultante R delle forze che agiscono sui singoli punti: mx'' = R.

Si dimostra facilmente derivando rispetto al tempo l'uguaglianza scritta sopra tra la quantità di moto del sistema e quella del baricentro.

Scomponiamo adesso il momento angolare. Infatti, il momento angolare rispetto ad un polo Q ϵ E si può scomporre come somma di due componenti:

La prima corrisponde al momento angolare rispetto a Q di un punto di massa m che si muove come il baricentro del sistema, l'altra corrisponde al momento angolare degli N punti, nel sistema di riferimento del baricentro.

(Σ ). Dimostrazione:B NOTA: la velocità dei punti nel sistema Σ è semplicemente v – v ,B j Bovvero la velocità di trascinamentoè solo v , poiché i versori dei sistemiBΣ e Σ sono paralleli e quindi w = 0.BOsserviamo che nel riferimento del baricentro (Σ ) il momento angolare non dipende dalla scelta del polo,Bpoiché in tale riferimento vale la relazione: 3Scomponiamo adesso il momento risultante delle forze rispetto ad un polo Q ϵ E , come somma di duecomponenti:10Filippo Tabani Ingegneria Aerospaziale a.a. 2021/2022La prima corrisponde al momento rispetto a Q della forza risultante R applicata su un punto di massa m chesi muove come il baricentro B del sistema, la seconda corrisponde al momento risultante delle forze nelriferimento del baricentro e non dipende da Q. Si nota che in questo caso in Σ alle forze F si aggiungono iB jtermini di trascinamento che sono solo –m a perché w = 0.

Dimostrazione: osserviamo che nel riferimento del baricentro (Σ), lungo le soluzioni delle equazioni di Newton, il momento risultante delle forze non dipende dalla scelta del polo, poiché in tale riferimento vale la relazione:

Scomponiamo, infine l’energia cinetica come somma di due componenti: la prima corrisponde all’energia cinetica di un punto materiale di massa m che si muove come il baricentro B del sistema, la seconda corrisponde all’energia cinetica degli N punti nel riferimento Σ, questo risultato è noto come il Teorema di König. Dimostriamolo usando v = (v -v ) + v e sviluppandone il quadrato: il secondo addendo a destra è nullo.

Possiamo scomporre le forze F che agiscono sui punti P come somma vettoriale di due contributi: F = F + F . Il vettore F è la somma delle forze che gli altri punti esercitano su P e si chiama forza interna, F è la somma delle altre forze e si chiama forza esterna.

Dinamica

Dimostriamolo derivando rispetto al tempo p e M lungo le soluzioni delle equazioni di Newton:

QSistemi equivalenti di vettori applicati: S SUn sistema di vettori applicati è un insieme della forma: = {(v ,P ),…,(v ,P )} costituito da un insieme di1 1 N Ncoppie (v ,P ) che rappresentano un vettore e il suo punto di applicazione.j j Rette passanti per P dirette come v si dicono rette di applicazione o linee di azione di vj j j S3Si chiamano risultante e momento risultante rispetto al polo Q ϵ R del sistemaConsideriamo adesso due sistemi di vettori applicati:S Se si dicono equivalenti se hanno la stessa risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad un1 2polo O qualunque. Si osserva quindi che considerando un sistema equivalente alle forze esterne applicate aiS SP si ottengono le stesse equazioni cardinali. Notiamo che se e hanno stessa risultante e stessoj 1 2momento risultante rispetto a un polo Q allora i due sistemi hanno lo stesso momento risultante

Rispetto a qualunque altro polo Q'. Infatti:

Definiamo un sistema di vettori applicati (v, P) j=1,…,N equilibrato se la risultante R e il momento risultantej jN rispetto a un polo Q qualunque sono nulli. Per quanto visto prima, allora, il tali ipotesi il momento Q risultante è nullo rispetto ad ogni polo Q'.

Si introducono delle operazioni elementari eseguibili su un sistema che danno luogo ad un sistema ad esso equivalente:

Si osserva che con tali operazioni si può traslare un vettore sulla sua retta d'azione.

Enunciamo adesso alcune proposizioni sui sistemi di vettori applicati e di alcune di esse diamo dimostrazione.

Prop: ogni sistema di vettori applicati si può ridurre tramite operazioni elementari ad un sistema di 3 vettori applicati in 3 punti non allineati scelti a piacere.

Prop: ogni sistema di vettori applicati si può ridurre tramite operazioni elementari ad un sistema di 2 vettori applicati in 2 punti di cui uno può essere

Prop: ogni sistema di vettori applicati equilibrato si può ridurre ad un sistema nullo, cioè di soli vettori nulli, tramite operazioni elementari.

Prop: sistema equilibrato formato da soli 3 vettori. Allora le rette di applicazione di tali vettori sono coplanari. Inoltre, tali rette sono concorrenti in un punto oppure parallele.

12Filippo Tabani Ingegneria Aerospaziale a.a. 2021/2022

Q ϵ r , allora (P -Q),(P -Q) || r12 e12 1 2(P -Q) x v ◦ (P -P ) = 01,2 1,2 2 1

Poiché N = 0 , essendo il sistemaQequilibrato

Prop: dati due sistemi equivalenti di vettori applicati possiamo sempre ridurre l'uno all'altro tramite operazioni elementari.

Asse centrale: dato un sistema di vettori applicati con risultante R non nulla, esiste 3 un'unica retta r, detta asse centrale, formata da tutti e soli i punti Q ϵ E tali che N x R = 0.

Q(Q-Q') x R = 0 perché paralleli

Risultato del prodotto triplo, essendo (O'-Q ) R⟂013

Filippo Tabani

Ingegneria Aerospaziale a.a. 2021/2022

Dalle relazione espresse segue anche: N ◦ R = N ◦ R per ogni P,Q ϵ R che prende il nome di trinomioP Qinvariante e si vede facilmente moltiplicando scalarmente per R i membri dell’uguaglianza (5.11).

Se si scrive N come somma di 2 vettori ortogonali:Qin cui il primo termine è costante per il trinomioinvariante, mentre il secondo si annulla per i punti dell’asse centrale. Allora, per i punti Q dell’asse centraleosi ha che:

si osserva, infine, che per un punto dell’asse centrale, N = 0 se e solo se lo è il trinomio invariante,Q0calcolabile in punto qualsiasi.

Coppie di vettori applicati: una coppia di vettori applicati è un sistema della forma {( v ,P ),( v ,P )} tali che1 1 2 2v +v = 0, se v ≠0. Il braccio della coppia, ovvero la distanza tra le rette di applicazione P v e P v , è la1 2 1 1 1 2 2quantità.

Vediamo che il momento di una coppia non dipende dal polo Q: NOTA: si osserva che

Filippo Tabani Ingegneria Aerospaziale a.a. 2021/2022

Sistemi meccanici conservativi: le forze interne di tipo classico ammettono energia potenziale: con ciò valgono le relazioni:

dove

Possiamo anche scrivere: dove il fattore 1/2 viene dal fatto che ϱ = ϱ , si osserva che

ij jikI kI

Con tale notazione i potenziali V (x) soddisfano la relazione con F e anche la somma di tali contribuiti che, senza fattore 1/2 terrebbe conto di un contributo doppio per ogni coppia i,j.

Introduciamo la potenza delle forze interne ed esterne: I E

In questa notazione abbiamo che Π = Π + Π

Teorema dell'energia cinetica: Sia x(t) = (x (t),...,x (t)) una

qualunque soluzione delle equazioni di Newton.

Allora, lungo questa soluzione vale la relazione: ΔΠ = ΔΠ + ΔΠ, se le forze interne sono di tipo classico, con energia potenziale V allora si può scrivere

La forza esterna F che agisce sul punto P si dice conservativa se è puramente posizionale cioè ∇×F = 0.

E esiste una funzione scalare V(x) tale che F = -∇V, se tutte le forze esterne sono conservative il sistema meccanico si dice conservativo e la funzione V si dice energia potenziale del sistema.

Filippo Tabani Ingegneria Aerospaziale a.a. 2021/2022

Conservazione dell'energia: l'energia totale di un sistema di N punti materiali soggetto a forze interne di tipo classico e forze esterne conservative è un integrale primo.

Cap.6 - Il corpo rigido

Un corpo rigido discreto è un sistema formato da N punti materiali che mantengono invariate nel tempo le loro distanze mutue.

Un corpo rigido continuo è un

Un sistema formato da una distribuzione continua di punti che mantengono invariate nel tempo le loro distanze mutue.

Sviluppiamo la teoria del corpo rigido discreto. Questo è formato da N punti P₁, ..., Pₙ di masse m₁, ..., mₙ.

Fissato Σ=Oe e i P sono individuati dai vettori Pᵢ-O, con coordinate x in Σ e le distanze mutue ϱ =|xᵢ-xⱼ| tra punti diversi sono tali che: ϱᵢⱼ = cᵢⱼ, i,j=1,...,N, i≠j per certe costanti c > 0.

Essendo le coordinate dei punti del sistema soggette a tali relazioni, il caso del corpo rigido discreto è...